资源简介

2.3用公式法求解一元二 次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2021九上·尧都期中）一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=5，
∴ =b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
∴方程没有实数根.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.
2．（2025九上·游仙期中）在判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况时，用公式得Δ=32-4×（-2）×（-4）=-23，则此方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别为（　　）
A．2，3，-4 B．-2，3，-4 C．2，-3，4 D．-2，-3，4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在判断一元二次方程 的根的情况时，
公式得： ，
此方程的二次项系数为、一次项系数为，常数项为．
故选：B ．
【分析】一元二次方程根的判别式为，其中二次项系数为、一次项系数为，常数项为，据此解答即可．
3．（2023九上·城厢开学考）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选C．
【分析】根据二次方程没有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
4．（2025九上·广州月考）已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
根据图像得：的，，
∴，
∵
∴没有实数根.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据图像得，，进一步得，再计算可得没有实数根.
5．（2025九上·红桥月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得，
∴k的值可以是.
故选：D．
【分析】由“一元二次方程有两个不相等的实数根“可知一元二次方程的根的判别式Δ＞0，解不等式可得，结合选项即可得出结论．
6．（2025九上·南宁月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：由条件可知：，解得，
分式方程，
去分母得，
解得，
分式方程的解为正整数，
为负整数，
，
，
或或，
整数或或，
当时，，则有，产生增根，故舍去，
当或时，，满足条件
则所有满足条件的整数的值之和为．
故选：A．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式可得，将分式方程去分母，转换为整式方程，解方程可得，再根据题意分类讨论即可求出答案.
7．（2025九上·江油月考）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算： =ad-bc．例如： =36-45=-2 ．则关于x的方程=0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：依题意(k-x)x-2×(-3)=0
化简为
∵
∴该方程由两个不相等的实数根
故答案为：A .
【分析】根据题目的定义不难将=0 转化为关于x的方程，再利用一元二次方程根的判别式来判断方程的根的情况。
8．（2024九上·孝感月考）对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，故④正确．
故选：B．
【分析】
① 若，则；
② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根；
③ 若是方程的一个根， 则，所以或；
④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即．
二、填空题
9．（2024九上·深圳期中）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】k＜9且k≠0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0．
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可.
10．（2024九上·嘉祥月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，
解得a＜3且a≠﹣1．
故答案为：a＜3且a≠﹣1．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到：a+1≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分，解答即可．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2a(a为常数，a>0)，则BC=　 　时，AC+BC最大.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设BC=x，AC+BC=k，则 消去 AC，得 由 得 当 时，
故答案为：.
【分析】设BC=x，利用勾股定理可知，再根据根的判别式进而即可得出答案.
12．关于x的方程 有以下三个结论：
①当m=0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；
③无论m 取何值时，方程都有一个负数解.
其中正确的是　 　.
【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，
，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x-m+1=0分解为(x+1)(mx-m+1)=0
当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；
故答案为：①③.
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而填空.
13．（2024九上·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为　 　．
【答案】或．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
【解析】解：因为 一元二次方程在范围内有且只有一个根，
可得，整理得：，
解得：，
又因为，解得，所以，
因为方程在的范围内有实数根，
可得或，
由，此时不等式无解，
由得出，
所以的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】根据一元二次方程有且仅有一个实数根，得到和二次函数的性质，解得，再结合 ，利用二次函数的性质，列出不等式组，取得不等式组的解，可得出答案．
三、计算题
14．（2024九上·九龙坡期末）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
∴，；
（2）解：
，，，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据题意配方，进而即可解方程；
（2）根据公式法结合题意即可求解。
15．（2024九上·渠县期末）解方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
【答案】（1）解：，
移项得，
配方得，即，
∴，
∴，；
（2）解：，
，，，，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先根据配方法的步骤将原方程转换为， 再利用直接开平方法解方程即可；
（2）根据求根公式解方程即可.
四、解答题
16．（2024九上·江岸月考）关于的一元二次方程有两个不等实根．若方程的一个根是，求的值及另一个根．
【答案】解：∵一元二次方程有两个不等实根，
∴，即，
解得：，
把代入方程得，
解得：，
当时，方程为，
解得，．
∴的值为，另一根为．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，即，求出k的取值范围，再将代入方程得，求出k的值，最后求出方程的解即可.
17．（2024九上·岳阳期中）已知关于的一元二次方程为．
（1）当为何值时，该方程有实数根；
（2）当时，求出这个方程的两个根．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴当时，该方程有实数根；
（2）解：当时，有，
整理得：，
解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，即可列出不等式进行求解；
（2）将的值代入原方程并解方程即可.
（1）∵方程有实数根，
∴，
即，解得，
∴当为何值时，该方程有实数根；
（2）将代入原方程得，即，
∴，
即，．
18．（2025九上·黄州月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得：；

（2）解：是方程的一个实数根，
，即，
代入中，得：
，
整理得，，
解得或，
∵；
∴．
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）将x=m代入方程可得，再整体代入，解方程即可求出答案.
（1）解：根据题意得，
解得：；
（2）解：是方程的一个实数根，
，即，
代入中，得：
，
整理得，，
解得或，
∵；
∴．
19．（2023九上·疏勒期中）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第　 步开始出错的，其错误原因是　 　．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】
（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求解；
（2）根据一元二次方程的解法即可求解．
20．（2024九上·长顺期中）已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解：是等腰三角形，
理由：当时，，
化简得：，
是等腰三角形；
（2）解：是直角三角形，
理由：方程有两个相等的实数根，
，
，
是直角三角形；
（3）解：是等边三角形，
，
原方程可化为：，
即：，
，
，，
即：这个一元二次方程的根为，．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据方程的解的意义可得出，即可得出是等腰三角形；
（2）根据方程的根的情况可得出根的判别式为0，可得出，即可得出是直角三角形；
（3）根据等边三角形的性质可得出，可得出方程，解方程求解i可。
（1）解：是等腰三角形，
理由：当时，，
化简得：，
是等腰三角形；
（2）解：是直角三角形，
理由：方程有两个相等的实数根，
，
，
是直角三角形；
（3）解：是等边三角形，
，
原方程可化为：，
即：，
，
，，
即：这个一元二次方程的根为，．
21．（2024九上·盘州期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式的最值．
解：
（分离常数项）
（提二次项系数）
当时，代数式取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式的最值；
（2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：
当时，代数式取得最大值是5
（2）证明：
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法的计算方法分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式及配方法的计算方法分析求解即可.
22．（2023九上·浑源月考）阅读与思考
请阅读下列材料，完成后面的任务：
一元二次方程根的两个性质及其应用
我们知道，一元二次方程的求根公式是，由公式可知，一元二次方程的根是由它的系数决定的，即它的根与系数有着密切的关系，那么一元二次方程的根与系数有何关系 下面介绍一元二次方程的两个根与系数关系的另外两个性质（非根与系数的关系定理，即非韦达定理）：
性质1：在一元二次方程中，若（即各项的系数和为0），则一元二次方程的两个根分别是，．下面我们给出它的证明过程：
证明：∵，∴，
∴，
∴，．
性质2：在一元二次方程中，若，则一元二次方程的两个根分别是，．
证明：……．
任务：
（1）填空：下列方程的根是的是　 　，根是的是　 　．（填序号）
．；．；．；．．
（2）请参考小论文中性质1的证明过程，写出性质2的证明过程．
【答案】（1）A、B；C、D
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
即一元二次方程的两个根分别是，．
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当x=1时，；
；
；
；
当x=-1时，；
；
；
；
∴方程的根是的是 A、B； 根是的是C、D，
故答案为：A、B；C、D。
【分析】（1）把x=1和x=-1代入方程计算求解即可；
（2）利用一元二次方程的求根公式计算求解即可。
1 / 12.3用公式法求解一元二 次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2021九上·尧都期中）一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．（2025九上·游仙期中）在判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况时，用公式得Δ=32-4×（-2）×（-4）=-23，则此方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别为（　　）
A．2，3，-4 B．-2，3，-4 C．2，-3，4 D．-2，-3，4
3．（2023九上·城厢开学考）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣
4．（2025九上·广州月考）已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
5．（2025九上·红桥月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·南宁月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·江油月考）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算： =ad-bc．例如： =36-45=-2 ．则关于x的方程=0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．（2024九上·孝感月考）对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．（2024九上·深圳期中）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
10．（2024九上·嘉祥月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2a(a为常数，a>0)，则BC=　 　时，AC+BC最大.
12．关于x的方程 有以下三个结论：
①当m=0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；
③无论m 取何值时，方程都有一个负数解.
其中正确的是　 　.
13．（2024九上·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为　 　．
三、计算题
14．（2024九上·九龙坡期末）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
15．（2024九上·渠县期末）解方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
四、解答题
16．（2024九上·江岸月考）关于的一元二次方程有两个不等实根．若方程的一个根是，求的值及另一个根．
17．（2024九上·岳阳期中）已知关于的一元二次方程为．
（1）当为何值时，该方程有实数根；
（2）当时，求出这个方程的两个根．
18．（2025九上·黄州月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
19．（2023九上·疏勒期中）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第　 步开始出错的，其错误原因是　 　．
（2）写出此题正确的解答过程．
20．（2024九上·长顺期中）已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．（2024九上·盘州期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式的最值．
解：
（分离常数项）
（提二次项系数）
当时，代数式取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式的最值；
（2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
22．（2023九上·浑源月考）阅读与思考
请阅读下列材料，完成后面的任务：
一元二次方程根的两个性质及其应用
我们知道，一元二次方程的求根公式是，由公式可知，一元二次方程的根是由它的系数决定的，即它的根与系数有着密切的关系，那么一元二次方程的根与系数有何关系 下面介绍一元二次方程的两个根与系数关系的另外两个性质（非根与系数的关系定理，即非韦达定理）：
性质1：在一元二次方程中，若（即各项的系数和为0），则一元二次方程的两个根分别是，．下面我们给出它的证明过程：
证明：∵，∴，
∴，
∴，．
性质2：在一元二次方程中，若，则一元二次方程的两个根分别是，．
证明：……．
任务：
（1）填空：下列方程的根是的是　 　，根是的是　 　．（填序号）
．；．；．；．．
（2）请参考小论文中性质1的证明过程，写出性质2的证明过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=5，
∴ =b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
∴方程没有实数根.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在判断一元二次方程 的根的情况时，
公式得： ，
此方程的二次项系数为、一次项系数为，常数项为．
故选：B ．
【分析】一元二次方程根的判别式为，其中二次项系数为、一次项系数为，常数项为，据此解答即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选C．
【分析】根据二次方程没有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
根据图像得：的，，
∴，
∵
∴没有实数根.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据图像得，，进一步得，再计算可得没有实数根.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得，
∴k的值可以是.
故选：D．
【分析】由“一元二次方程有两个不相等的实数根“可知一元二次方程的根的判别式Δ＞0，解不等式可得，结合选项即可得出结论．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：由条件可知：，解得，
分式方程，
去分母得，
解得，
分式方程的解为正整数，
为负整数，
，
，
或或，
整数或或，
当时，，则有，产生增根，故舍去，
当或时，，满足条件
则所有满足条件的整数的值之和为．
故选：A．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式可得，将分式方程去分母，转换为整式方程，解方程可得，再根据题意分类讨论即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：依题意(k-x)x-2×(-3)=0
化简为
∵
∴该方程由两个不相等的实数根
故答案为：A .
【分析】根据题目的定义不难将=0 转化为关于x的方程，再利用一元二次方程根的判别式来判断方程的根的情况。
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，故④正确．
故选：B．
【分析】
① 若，则；
② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根；
③ 若是方程的一个根， 则，所以或；
④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即．
9．【答案】k＜9且k≠0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0．
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可.
10．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，
解得a＜3且a≠﹣1．
故答案为：a＜3且a≠﹣1．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到：a+1≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分，解答即可．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设BC=x，AC+BC=k，则 消去 AC，得 由 得 当 时，
故答案为：.
【分析】设BC=x，利用勾股定理可知，再根据根的判别式进而即可得出答案.
12．【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，
，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x-m+1=0分解为(x+1)(mx-m+1)=0
当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；
故答案为：①③.
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而填空.
13．【答案】或．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
【解析】解：因为 一元二次方程在范围内有且只有一个根，
可得，整理得：，
解得：，
又因为，解得，所以，
因为方程在的范围内有实数根，
可得或，
由，此时不等式无解，
由得出，
所以的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】根据一元二次方程有且仅有一个实数根，得到和二次函数的性质，解得，再结合 ，利用二次函数的性质，列出不等式组，取得不等式组的解，可得出答案．
14．【答案】（1）解：
∴，；
（2）解：
，，，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据题意配方，进而即可解方程；
（2）根据公式法结合题意即可求解。
15．【答案】（1）解：，
移项得，
配方得，即，
∴，
∴，；
（2）解：，
，，，，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先根据配方法的步骤将原方程转换为， 再利用直接开平方法解方程即可；
（2）根据求根公式解方程即可.
16．【答案】解：∵一元二次方程有两个不等实根，
∴，即，
解得：，
把代入方程得，
解得：，
当时，方程为，
解得，．
∴的值为，另一根为．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，即，求出k的取值范围，再将代入方程得，求出k的值，最后求出方程的解即可.
17．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴当时，该方程有实数根；
（2）解：当时，有，
整理得：，
解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，即可列出不等式进行求解；
（2）将的值代入原方程并解方程即可.
（1）∵方程有实数根，
∴，
即，解得，
∴当为何值时，该方程有实数根；
（2）将代入原方程得，即，
∴，
即，．
18．【答案】（1）解：根据题意得，
解得：；

（2）解：是方程的一个实数根，
，即，
代入中，得：
，
整理得，，
解得或，
∵；
∴．
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）将x=m代入方程可得，再整体代入，解方程即可求出答案.
（1）解：根据题意得，
解得：；
（2）解：是方程的一个实数根，
，即，
代入中，得：
，
整理得，，
解得或，
∵；
∴．
19．【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】
（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求解；
（2）根据一元二次方程的解法即可求解．
20．【答案】（1）解：是等腰三角形，
理由：当时，，
化简得：，
是等腰三角形；
（2）解：是直角三角形，
理由：方程有两个相等的实数根，
，
，
是直角三角形；
（3）解：是等边三角形，
，
原方程可化为：，
即：，
，
，，
即：这个一元二次方程的根为，．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据方程的解的意义可得出，即可得出是等腰三角形；
（2）根据方程的根的情况可得出根的判别式为0，可得出，即可得出是直角三角形；
（3）根据等边三角形的性质可得出，可得出方程，解方程求解i可。
（1）解：是等腰三角形，
理由：当时，，
化简得：，
是等腰三角形；
（2）解：是直角三角形，
理由：方程有两个相等的实数根，
，
，
是直角三角形；
（3）解：是等边三角形，
，
原方程可化为：，
即：，
，
，，
即：这个一元二次方程的根为，．
21．【答案】（1）解：
当时，代数式取得最大值是5
（2）证明：
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法的计算方法分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式及配方法的计算方法分析求解即可.
22．【答案】（1）A、B；C、D
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
即一元二次方程的两个根分别是，．
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当x=1时，；
；
；
；
当x=-1时，；
；
；
；
∴方程的根是的是 A、B； 根是的是C、D，
故答案为：A、B；C、D。
【分析】（1）把x=1和x=-1代入方程计算求解即可；
（2）利用一元二次方程的求根公式计算求解即可。
1 / 1

展开更多......

收起↑