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2.5 一元二次方程的根与 系数的关系-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·丰南月考）若，是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
故选：A．
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
2．（2025九上·游仙期中）已知x1，x2是一元一次方程x2-7x-2=0的两个根，则x1+x2+x1 x2的值为（　　）
A．-5 B．-9 C．5 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ x1，x2是一元一次方程x2-7x-2=0的两个根，
∴，，
∴．
故选：C．
【分析】若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，然后求和．
3．（2025九上·江油月考）若关于x的一元二次方程x2+（k-2）x-1=0的两实数根互为相反数，则k的值为（　　）
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相反数的意义与性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由韦达定理可知
∵两根互为相反数
∴
∴
∴k=2
故答案为：B .
【分析】利用韦达定理得到两根之间的关系，结合两根互为相反数建立关于k的等式，求解即可。
4．（2025九上·长沙开学考） 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则式子的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意知，
a+b=-n，ab=-1，
∴
=-n2-2.
故答案：D.
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为用两根之和与两根之积表示的形式，最后代入计算得出结果.
5．（2025九上·上城开学考）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）
A．10 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：得的值，然后利用完全平方公式代入数值进行求解即可.
6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x1，x2，若 则 m 的值为(　　).
A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2知，
解得m>-1且m≠0.
∵，
∴
∴m=2或-1，
∵m>-1，
∴m=2.
故答案为：A.
【分析】由根与系数的关系，可得，，又由，即可求得m的值.
7．关于x的一元二次方程. 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程 同样有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根； .其中正确结论的个数是(　　).
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，
x1·x2=2n>0，y1y2=2m>0，y1+y2=-2n<0，x1+x2=-2m<0，这两个方程的根都为负根，①正确；
②由根判别式有：Δ=b2-4ac=4m2-8n≥0，Δ=b2-4ac=4n2-8m≥0，
∵4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，m2-2m+1+n2-2n+1=m2-2n+n2-2m+2≥2，
(m-1)2+(n-1)2≥2，②正确；
③由根与系数关系可得
2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1，由y1、y2均为负整数，
故(y1+1)·(y2+1)≥0，故2m-2n≥-1，
同理可得：
2n-2m=x1x2=x1+x2-(x1+1)(x2+1)-1，得2n-2m≥-1，即2m-2n≤1，故③正确；
故答案为：D. .
【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2-2n≥0以及n2-2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解.
8．（2024九上·蔡甸期中）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】估算一元二次方程的近似解；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，再分别利用根的判别式列出不等式（组）求出m的取值范围即可.
二、填空题
9．（广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷）关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第　 　象限．
【答案】三
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x方程的两根为1和5，
∴，，
∴，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴一次函数图形经过一、二、四象限，不经过第三象限；
故答案为：三
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得b，c值，再根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
10．（2025九上·长沙月考）已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 分别是一元二次方程； 的两个根，
故答案为：
【分析】利用根与系数的关系，可得出 再将其代入 中，即可求出结论.
11．（2025九上·成都月考）若x1，x2是方程x2-6x=2024=0的两个实数根，则代数式的值等于 　 　 .
【答案】2036
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2-6x-2024=0的两个实数根，
∴，x1+x2=6，
∴
∵
=2024+2×6
=2024+12
=2036.
故答案为：2036.
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，x1+x2=6，将x1+x2=6，变形后得到，由此即可求解.
12．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1，x2，且. 则 的值为　 　.
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1·x2=k2-k，
∵，
∴(2k)2-2(k2-k)= 4，
2k2+2k-4=0，
k2+k-2=0，
k=-2或1，
∵Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k)≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1·x2=k2-k= 0，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1·x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值.
13．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
三、解答题
14．（2024九上·乐山期中）已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果满足不等式>且m为整数，求m的值．
【答案】（1）解： 是一元二次方程的两个实数根，
△，即，
解得．
故实数的取值范围是。
（2）解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
解得，
又且为整数，
的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，对应的判别式△，列式计算即可；
（2）由根与系数的关系，，代入求出m的取值范围，并结合（1）的m的范围，找到m的整数值即可。
（1）解：方程有两个实数根，
△，即，
解得．
故实数的取值范围是；
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
∴
，
解得，
又且为整数，
的值为．
15．（2024九上·黄陂月考）已知方程的两根为，，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：∵方程的两根为，，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式变形应用，可得出，再整体代入求值，即可求得结果；
（2）由根与系数的关系得到，再把进行运算可得出．然后整体代入，即可求解。
（1）解：∵方程的两根为，，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴．
16．（2025九上·广州月考）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】解：存在，理由如下：
∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴+，，
∵，
∴，
∴，
∴，化简得，解得：，
∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴.
∴存在实数， 使等于44 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据，是关于的一元二次方程的两个实数根得
+，，+，，即，再根据可得解出的值即可.
17．（2025九上·广州月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根满足，求k的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
18．（2025九上·江油月考）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0．
（1）当方程有一个根为-1时，求k的值及另一个根；
（2）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围；
（3）若方程有两个实数根x1，x2且满足x12+x22=5，求k的值．
【答案】（1）解：把x=-1代入一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0得：（-1）2-（2k+1）+k2+1=0，
整理得：k2-2k+1=0，
解得：k=1，
即原方程为：x2+3x+2=0，
∴x1 x2=2，
∵x1=-1，
∴x2=-2，
即k的值为1，另一个根为-2；
（2）解：根据题意得：Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k-3＞0，
解得：k
即k的取值范围为k．
（3）解：根据题意得x1+x2=-2k-1，x1 x2=k2+1，
∵x21+x22=5，
∴（x1+x2）2-2x1 x2=（-2k-1）2-2（k2+1）=5，
整理得k2+2k-3=0，解得k1=-3，k2=1，
∵方程有两个实数根时，k≥，
∴k=1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的定义可求k=1，将k=1代回原方程得x2+3x+2=0，求解可知另一个根为-2；
(2)一元二次方程有两个不相等的实数根对应的是根的判别式大于0，建立关于k的不等式，求解即得；
(3)利用韦达定理得到两根之和与两根之积的关系，将x21+x22变形为（x1+x2）2-2x1 x2，再代入求解，结合(2)排除多余的k值即可。
19．（2025九上·肇庆期中）【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
【答案】解：（），
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据二次方程根与系数的关系可得，，由，整体代入即可求出答案.
20．（2024九上·雨花开学考）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”如：一元二次方程的两根为，，因为，
，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求的值；
（3）若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围．
【答案】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：
(x+2)(x+7)=0，
解得
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：由根与系数的关系，得
∴k=2或-1；
①当k=2时，
∴k=2符合题意；
②当k=-1时，
∴k=-1(不合题意， 舍去)。
∴k的值为2；(3)
（3）解：解此方程得： x= - 1或m，
∵此方程为“限根方程”，
∴△ >0， 且m<0， 即(
∴m<0且m≠-1；
①当-1②当m<-1时，
∴-4综上所述，m的取值范围为 或-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断；
(2)由根与系数的关系，得 根据 可得 或 ，再分两种情况讨论即可求解；
(3)解此方程得： 或m，分两种情况：①当- 时，②当 时，进行讨论即可求出m的取值范围.
21．（2025九上·坪山月考）阅读材料：
材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，若实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如若实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n，且，满足、，则的值为　 　；
（2）若关于x的方程有两个实数根，，若满足，求的值；
（3）已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值.
【答案】（1）
（2）解：∵方程两个实数根，，若满足，
∴
∴
，无解
或
，
．
（3）解：∵，，
∴将a、b看作是方程的两实数根；
∵，
而，
∴，
∴，
即，
∴c的最大值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵实数m、n，且，满足、
∴可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根
∴
故答案为：
【分析】（1）根据题意可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根，再根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）由题意可得，解方程可得 ，再根据二次方程根与系数的关系可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
22．（2024九上·湘西期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】（　　）解：∵一元二次方程两个根为，
∴，；
故答案为：2，.
（2）解：∵，，
∴
∴；
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得答案；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再计算即可；
（3）先求出，，再将代数式变形为，再计算即可．
1 / 12.5 一元二次方程的根与 系数的关系-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·丰南月考）若，是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·游仙期中）已知x1，x2是一元一次方程x2-7x-2=0的两个根，则x1+x2+x1 x2的值为（　　）
A．-5 B．-9 C．5 D．9
3．（2025九上·江油月考）若关于x的一元二次方程x2+（k-2）x-1=0的两实数根互为相反数，则k的值为（　　）
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
4．（2025九上·长沙开学考） 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则式子的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·上城开学考）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）
A．10 B．9 C．7 D．5
6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x1，x2，若 则 m 的值为(　　).
A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在
7．关于x的一元二次方程. 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程 同样有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根； .其中正确结论的个数是(　　).
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2024九上·蔡甸期中）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
二、填空题
9．（广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷）关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第　 　象限．
10．（2025九上·长沙月考）已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ．
11．（2025九上·成都月考）若x1，x2是方程x2-6x=2024=0的两个实数根，则代数式的值等于 　 　 .
12．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1，x2，且. 则 的值为　 　.
13．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为　 　．
三、解答题
14．（2024九上·乐山期中）已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果满足不等式>且m为整数，求m的值．
15．（2024九上·黄陂月考）已知方程的两根为，，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
16．（2025九上·广州月考）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
17．（2025九上·广州月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根满足，求k的值．
18．（2025九上·江油月考）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0．
（1）当方程有一个根为-1时，求k的值及另一个根；
（2）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围；
（3）若方程有两个实数根x1，x2且满足x12+x22=5，求k的值．
19．（2025九上·肇庆期中）【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
20．（2024九上·雨花开学考）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”如：一元二次方程的两根为，，因为，
，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求的值；
（3）若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围．
21．（2025九上·坪山月考）阅读材料：
材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，若实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如若实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n，且，满足、，则的值为　 　；
（2）若关于x的方程有两个实数根，，若满足，求的值；
（3）已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值.
22．（2024九上·湘西期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
故选：A．
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ x1，x2是一元一次方程x2-7x-2=0的两个根，
∴，，
∴．
故选：C．
【分析】若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，然后求和．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相反数的意义与性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由韦达定理可知
∵两根互为相反数
∴
∴
∴k=2
故答案为：B .
【分析】利用韦达定理得到两根之间的关系，结合两根互为相反数建立关于k的等式，求解即可。
4．【答案】D
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意知，
a+b=-n，ab=-1，
∴
=-n2-2.
故答案：D.
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为用两根之和与两根之积表示的形式，最后代入计算得出结果.
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：得的值，然后利用完全平方公式代入数值进行求解即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2知，
解得m>-1且m≠0.
∵，
∴
∴m=2或-1，
∵m>-1，
∴m=2.
故答案为：A.
【分析】由根与系数的关系，可得，，又由，即可求得m的值.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，
x1·x2=2n>0，y1y2=2m>0，y1+y2=-2n<0，x1+x2=-2m<0，这两个方程的根都为负根，①正确；
②由根判别式有：Δ=b2-4ac=4m2-8n≥0，Δ=b2-4ac=4n2-8m≥0，
∵4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，m2-2m+1+n2-2n+1=m2-2n+n2-2m+2≥2，
(m-1)2+(n-1)2≥2，②正确；
③由根与系数关系可得
2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1，由y1、y2均为负整数，
故(y1+1)·(y2+1)≥0，故2m-2n≥-1，
同理可得：
2n-2m=x1x2=x1+x2-(x1+1)(x2+1)-1，得2n-2m≥-1，即2m-2n≤1，故③正确；
故答案为：D. .
【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2-2n≥0以及n2-2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解.
8．【答案】D
【知识点】估算一元二次方程的近似解；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，再分别利用根的判别式列出不等式（组）求出m的取值范围即可.
9．【答案】三
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x方程的两根为1和5，
∴，，
∴，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴一次函数图形经过一、二、四象限，不经过第三象限；
故答案为：三
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得b，c值，再根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 分别是一元二次方程； 的两个根，
故答案为：
【分析】利用根与系数的关系，可得出 再将其代入 中，即可求出结论.
11．【答案】2036
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2-6x-2024=0的两个实数根，
∴，x1+x2=6，
∴
∵
=2024+2×6
=2024+12
=2036.
故答案为：2036.
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，x1+x2=6，将x1+x2=6，变形后得到，由此即可求解.
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1·x2=k2-k，
∵，
∴(2k)2-2(k2-k)= 4，
2k2+2k-4=0，
k2+k-2=0，
k=-2或1，
∵Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k)≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1·x2=k2-k= 0，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1·x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
14．【答案】（1）解： 是一元二次方程的两个实数根，
△，即，
解得．
故实数的取值范围是。
（2）解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
解得，
又且为整数，
的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，对应的判别式△，列式计算即可；
（2）由根与系数的关系，，代入求出m的取值范围，并结合（1）的m的范围，找到m的整数值即可。
（1）解：方程有两个实数根，
△，即，
解得．
故实数的取值范围是；
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
∴
，
解得，
又且为整数，
的值为．
15．【答案】（1）解：∵方程的两根为，，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式变形应用，可得出，再整体代入求值，即可求得结果；
（2）由根与系数的关系得到，再把进行运算可得出．然后整体代入，即可求解。
（1）解：∵方程的两根为，，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴．
16．【答案】解：存在，理由如下：
∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴+，，
∵，
∴，
∴，
∴，化简得，解得：，
∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴.
∴存在实数， 使等于44 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据，是关于的一元二次方程的两个实数根得
+，，+，，即，再根据可得解出的值即可.
17．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
18．【答案】（1）解：把x=-1代入一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0得：（-1）2-（2k+1）+k2+1=0，
整理得：k2-2k+1=0，
解得：k=1，
即原方程为：x2+3x+2=0，
∴x1 x2=2，
∵x1=-1，
∴x2=-2，
即k的值为1，另一个根为-2；
（2）解：根据题意得：Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k-3＞0，
解得：k
即k的取值范围为k．
（3）解：根据题意得x1+x2=-2k-1，x1 x2=k2+1，
∵x21+x22=5，
∴（x1+x2）2-2x1 x2=（-2k-1）2-2（k2+1）=5，
整理得k2+2k-3=0，解得k1=-3，k2=1，
∵方程有两个实数根时，k≥，
∴k=1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的定义可求k=1，将k=1代回原方程得x2+3x+2=0，求解可知另一个根为-2；
(2)一元二次方程有两个不相等的实数根对应的是根的判别式大于0，建立关于k的不等式，求解即得；
(3)利用韦达定理得到两根之和与两根之积的关系，将x21+x22变形为（x1+x2）2-2x1 x2，再代入求解，结合(2)排除多余的k值即可。
19．【答案】解：（），
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据二次方程根与系数的关系可得，，由，整体代入即可求出答案.
20．【答案】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：
(x+2)(x+7)=0，
解得
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：由根与系数的关系，得
∴k=2或-1；
①当k=2时，
∴k=2符合题意；
②当k=-1时，
∴k=-1(不合题意， 舍去)。
∴k的值为2；(3)
（3）解：解此方程得： x= - 1或m，
∵此方程为“限根方程”，
∴△ >0， 且m<0， 即(
∴m<0且m≠-1；
①当-1②当m<-1时，
∴-4综上所述，m的取值范围为 或-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断；
(2)由根与系数的关系，得 根据 可得 或 ，再分两种情况讨论即可求解；
(3)解此方程得： 或m，分两种情况：①当- 时，②当 时，进行讨论即可求出m的取值范围.
21．【答案】（1）
（2）解：∵方程两个实数根，，若满足，
∴
∴
，无解
或
，
．
（3）解：∵，，
∴将a、b看作是方程的两实数根；
∵，
而，
∴，
∴，
即，
∴c的最大值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵实数m、n，且，满足、
∴可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根
∴
故答案为：
【分析】（1）根据题意可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根，再根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）由题意可得，解方程可得 ，再根据二次方程根与系数的关系可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
22．【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】（　　）解：∵一元二次方程两个根为，
∴，；
故答案为：2，.
（2）解：∵，，
∴
∴；
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得答案；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再计算即可；
（3）先求出，，再将代数式变形为，再计算即可．
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