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2.6 应用一元二次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·游仙期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　）
A．5+5x+5x2=20 B．5（1+x）2=20
C．5（1+x）3=20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2=20
2．（2024九上·平山月考）商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·广州月考）如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米 若设小路的宽为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·坪山月考） 在 2025 年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元，调查发现：当销售价为 2900 元时，平均每天能销售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价 x 元，根据题意，可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2018九上·盐池期中）学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·永修期中） 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·贵港期末）《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（　　）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
8．（2024九上·江津期末）对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”． 例如：对作“差绝对值运算”，得到，则
对作“差绝对值运算”的结果是；对进行“差绝对值运算”的结果是，则；对（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有种．
以上说法中正确的个数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025九上·大兴月考）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为　 　
10．（2025九上·大兴期末）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为　 　．
11．（2025九上·江油月考） 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有 　 　人．”
12．（2024九上·衡阳期中）某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则　 　米．
13．（2023九上·东城开学考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为　 　．
三、解答题
14．（2025九上·麻章期末）如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．
（1）要围成生态园的面积为，请求出的长．
（2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由．
15．（2025九上·成都月考）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出　 　个水杯，月销售利润是　 　元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出　 　个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
16．（2024九上·晋城月考）现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展. 据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0. 6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
17．（2024九上·汉川月考）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
18．（2024九上·张北月考）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
19．（2025九上·顺德月考）根据以下素材，完成探索任务.
深索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元.
（1）【任务一：解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.】
①请直接写出纵向道路宽度x的取值范围.
②若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求.
（2）【任务二：解决果园种植的预期利润问题.（总利润=销售利润-承包费）】若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从让利购买草莓的客户角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
20．（2023九上·新北月考）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一周票房为亿元，增长率为，
第二周票房为亿元，第三周票房为亿元，
三周累计票房达亿元，
．
故选：D．
【分析】 设增长率为x， 根据“ 第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元 ”列方程即可.
2．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为，
由题意得：，
故选：D．
【分析】设降价元，则每件利润为元，销售量为，再根据题意建立方程即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：将图中小路平移如下图：
根据题意可列方程 ：.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据平移性质把小路平移，再根据矩形面积公式得即可.
4．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每台冰箱定价 x 元
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设每台冰箱定价 x 元，根据题意建立方程即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： ，故答案为：B.
【分析】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，根据赛制为单循环形式，可得x个队比赛的场数为，据此列出方程即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则，
，即：；
故答案为：C．
【分析】第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即竹竿的长度为尺，
则（尺）
即门的高度是8尺．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程的其他应用；定义新运算；实数的绝对值
【解析】【解答】解：对作“差绝对值运算”得到：
，故正确；
对进行“差绝对值运算”得到：
，
∴，
解得(舍去)或，故错误；
对(互不相等)进行“差绝对值运算”得到：，
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
综上，的“差绝对值运算”的化简结果一共有种，故错误；
∴正确的个数为个，
故答案为：．
【分析】根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出对应式子计算即可判断①，根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出一元二次方程求解即可判断②，根据分类讨论的思想，分出所有a，b，c大小比较的情况并根据新定义求出所有对应的结果，据此即可求解。
9．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为，
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，
根据题意得：
故答案为：
【分析】设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，利用增长率模型列一元二次方程即可．
11．【答案】19
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这群人有x人，依题意
解得x=19
故答案为：19 .
【分析】根据题意不难列出方程，方程左边求和是关键，这里需要用到等差数列求和公式才能顺利求解。
12．【答案】11
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设仓库的宽为x米（米），则仓库的长为米，
根据题意得：，
（舍），，
故为11米．
故答案为：11．
【分析】设仓库的宽为x米，则仓库的长为米，由等量关系：仓库总面积为440平方米，列出方程并解方程即可．
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得：
，
故答案为：.
【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．
14．【答案】（1）解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
当时，不符合题意，舍去，
答：的长为米．
（2）解：由（1）得：，
整理得：，
∴，
∴方程无解，
∴围成生态园的面积不能达到．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设米，则米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由面积可得，再根据判别式，可得方程无解，即可求出答案.
（1）解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
当时，不符合题意，舍去，
答：的长为米．
（2）由（1）得：，
整理得：，
∴，
∴方程无解，
∴围成生态园的面积不能达到．
15．【答案】（1）550；8250
（2）600-10x
（3）解：依题意得（40+x-30）（600-10x）=10000，
整理得x2-50x+400=0，
解得x1=10，x2=40，
当x=10时，600-10x=600-10×10=500，
当x=40时，600-10x=600-10×40=200，
又∵要尽量减少库存，
∴x=10，
∴40+x=40+10=50．
答：每个水杯的售价为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)600-10×(45-40)=600-10×5=600-50=550(个)
(45-30)×550=15×550=8250(元)
故答案为：550；8250.
(2)依题意得：若每个水杯售价上涨x元(x>0)，每月能售出(600-10x)个水杯.
故答案为：(600-10x).
【分析】(1)利用平均每月的销售量=600-10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润=每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；
(2)利用每月的销售量=600-10×每个水杯上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每个水杯售价上涨x元时的月销售量；
(3)利用月销售利润=每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入(40+x)中即可求出每个水杯的售价为50元.
16．【答案】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：由题意知，6月份的投递任务为：（万件），
（万件），
∵，
∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，
∵（万件），
∴，
∴需要再添加3名快递员．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出6月份的投递任务，再比较大小可得该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，再根据题意列式计算即可求出答案.
（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：由题意知，6月份的投递任务为：（万件），
（万件），
∵，
∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，
∵（万件），
∴，
∴需要再添加3名快递员．
17．【答案】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
答：A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
故答案为：A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故答案为：购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故答案为：B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“ 用850元购进A、B两款钥匙扣共30件 ”列出二元一次方程组 ，再求解即可；
（2）设销售利润为元，得到，利用一次函数的性质随着m的增大而增大，结合m的范围，求出最大利润即可；
（3）设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，根据“平均每天销售利润为90元”得到方程(4+2a)(12-a)=90，再求解即可．
（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
18．【答案】（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
，
解得：，
，四边形是菱形，边长；
（2）解：根据题意得：，
解得：，则，
解得：，
的长为2，
，
平行四边形的周长是；
（3）解：，
方程的两个实数根分别为，
，，
，
解得：．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）因为菱形的两边是方程的两个实数根，可得出根的判别式，解方程可得m的值，即可得出原方程，进而解原方程。即可得出菱形的边长；
（2）的长为2， ，也就是方程的一个根为2，只需求出方程的另一个根，即可求得周长。
（3）把进行整理。可得出，再利用根与系数的关系，可得出，解方程即可求得m的值。
（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
，
解得：，
，四边形是菱形，边长；
（2）解：根据题意得：，
解得：，则，
解得：，
的长为2，
，
平行四边形的周长是；
（3）解：方程的两个实数根分别为，
，，
，
，
解得：．
19．【答案】（1）解：①5≤x≤12
②由题意可得：
(300-2x)(200-2×2x)=44800
解得：x=10或x=190(舍去)
∵5≤x≤12
∴路面设置的宽度符合要求
（2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元
由题意可得：
解得：y=12或y=48
∵利购买草莓的客户角度考虑
∴y=48
∴每平方米草莓平均利润下调48元
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：5≤x≤12
故答案为：5≤x≤12
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据题意建立方程，解方程，再比较大小即可求出答案.
（2）设每平方米草莓平均利润下调y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】解：（1）-2；1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为：-2；1；
【分析】（1）此方程左边先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法继续分解到每一个因式都不能再分解为止，然后根据几个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为三个一元一次方程，解三个一元一次方程即可得出原方程的解；
（2）方程两边同时平方，把无理方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（3）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD=3cm，设AP的长为xm，则PD=(8-x)m，根据勾股定理分别表示出BP、CP，然后由BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解再检验即可.
1 / 12.6 应用一元二次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·游仙期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　）
A．5+5x+5x2=20 B．5（1+x）2=20
C．5（1+x）3=20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2=20
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一周票房为亿元，增长率为，
第二周票房为亿元，第三周票房为亿元，
三周累计票房达亿元，
．
故选：D．
【分析】 设增长率为x， 根据“ 第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元 ”列方程即可.
2．（2024九上·平山月考）商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为，
由题意得：，
故选：D．
【分析】设降价元，则每件利润为元，销售量为，再根据题意建立方程即可求出答案.
3．（2025九上·广州月考）如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米 若设小路的宽为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：将图中小路平移如下图：
根据题意可列方程 ：.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据平移性质把小路平移，再根据矩形面积公式得即可.
4．（2025九上·坪山月考） 在 2025 年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元，调查发现：当销售价为 2900 元时，平均每天能销售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价 x 元，根据题意，可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每台冰箱定价 x 元
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设每台冰箱定价 x 元，根据题意建立方程即可求出答案.
5．（2018九上·盐池期中）学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： ，故答案为：B.
【分析】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，根据赛制为单循环形式，可得x个队比赛的场数为，据此列出方程即可.
6．（2023九上·永修期中） 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则，
，即：；
故答案为：C．
【分析】第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．
7．（2025九上·贵港期末）《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（　　）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即竹竿的长度为尺，
则（尺）
即门的高度是8尺．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2024九上·江津期末）对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”． 例如：对作“差绝对值运算”，得到，则
对作“差绝对值运算”的结果是；对进行“差绝对值运算”的结果是，则；对（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有种．
以上说法中正确的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程的其他应用；定义新运算；实数的绝对值
【解析】【解答】解：对作“差绝对值运算”得到：
，故正确；
对进行“差绝对值运算”得到：
，
∴，
解得(舍去)或，故错误；
对(互不相等)进行“差绝对值运算”得到：，
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
综上，的“差绝对值运算”的化简结果一共有种，故错误；
∴正确的个数为个，
故答案为：．
【分析】根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出对应式子计算即可判断①，根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出一元二次方程求解即可判断②，根据分类讨论的思想，分出所有a，b，c大小比较的情况并根据新定义求出所有对应的结果，据此即可求解。
二、填空题
9．（2025九上·大兴月考）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为　 　
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为，
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
10．（2025九上·大兴期末）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，
根据题意得：
故答案为：
【分析】设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，利用增长率模型列一元二次方程即可．
11．（2025九上·江油月考） 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有 　 　人．”
【答案】19
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这群人有x人，依题意
解得x=19
故答案为：19 .
【分析】根据题意不难列出方程，方程左边求和是关键，这里需要用到等差数列求和公式才能顺利求解。
12．（2024九上·衡阳期中）某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则　 　米．
【答案】11
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设仓库的宽为x米（米），则仓库的长为米，
根据题意得：，
（舍），，
故为11米．
故答案为：11．
【分析】设仓库的宽为x米，则仓库的长为米，由等量关系：仓库总面积为440平方米，列出方程并解方程即可．
13．（2023九上·东城开学考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得：
，
故答案为：.
【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．
三、解答题
14．（2025九上·麻章期末）如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．
（1）要围成生态园的面积为，请求出的长．
（2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由．
【答案】（1）解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
当时，不符合题意，舍去，
答：的长为米．
（2）解：由（1）得：，
整理得：，
∴，
∴方程无解，
∴围成生态园的面积不能达到．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设米，则米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由面积可得，再根据判别式，可得方程无解，即可求出答案.
（1）解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
当时，不符合题意，舍去，
答：的长为米．
（2）由（1）得：，
整理得：，
∴，
∴方程无解，
∴围成生态园的面积不能达到．
15．（2025九上·成都月考）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出　 　个水杯，月销售利润是　 　元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出　 　个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
【答案】（1）550；8250
（2）600-10x
（3）解：依题意得（40+x-30）（600-10x）=10000，
整理得x2-50x+400=0，
解得x1=10，x2=40，
当x=10时，600-10x=600-10×10=500，
当x=40时，600-10x=600-10×40=200，
又∵要尽量减少库存，
∴x=10，
∴40+x=40+10=50．
答：每个水杯的售价为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)600-10×(45-40)=600-10×5=600-50=550(个)
(45-30)×550=15×550=8250(元)
故答案为：550；8250.
(2)依题意得：若每个水杯售价上涨x元(x>0)，每月能售出(600-10x)个水杯.
故答案为：(600-10x).
【分析】(1)利用平均每月的销售量=600-10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润=每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；
(2)利用每月的销售量=600-10×每个水杯上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每个水杯售价上涨x元时的月销售量；
(3)利用月销售利润=每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入(40+x)中即可求出每个水杯的售价为50元.
16．（2024九上·晋城月考）现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展. 据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0. 6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【答案】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：由题意知，6月份的投递任务为：（万件），
（万件），
∵，
∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，
∵（万件），
∴，
∴需要再添加3名快递员．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出6月份的投递任务，再比较大小可得该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，再根据题意列式计算即可求出答案.
（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：由题意知，6月份的投递任务为：（万件），
（万件），
∵，
∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，
∵（万件），
∴，
∴需要再添加3名快递员．
17．（2024九上·汉川月考）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
答：A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
故答案为：A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故答案为：购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故答案为：B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“ 用850元购进A、B两款钥匙扣共30件 ”列出二元一次方程组 ，再求解即可；
（2）设销售利润为元，得到，利用一次函数的性质随着m的增大而增大，结合m的范围，求出最大利润即可；
（3）设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，根据“平均每天销售利润为90元”得到方程(4+2a)(12-a)=90，再求解即可．
（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
18．（2024九上·张北月考）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
，
解得：，
，四边形是菱形，边长；
（2）解：根据题意得：，
解得：，则，
解得：，
的长为2，
，
平行四边形的周长是；
（3）解：，
方程的两个实数根分别为，
，，
，
解得：．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）因为菱形的两边是方程的两个实数根，可得出根的判别式，解方程可得m的值，即可得出原方程，进而解原方程。即可得出菱形的边长；
（2）的长为2， ，也就是方程的一个根为2，只需求出方程的另一个根，即可求得周长。
（3）把进行整理。可得出，再利用根与系数的关系，可得出，解方程即可求得m的值。
（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
，
解得：，
，四边形是菱形，边长；
（2）解：根据题意得：，
解得：，则，
解得：，
的长为2，
，
平行四边形的周长是；
（3）解：方程的两个实数根分别为，
，，
，
，
解得：．
19．（2025九上·顺德月考）根据以下素材，完成探索任务.
深索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元.
（1）【任务一：解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.】
①请直接写出纵向道路宽度x的取值范围.
②若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求.
（2）【任务二：解决果园种植的预期利润问题.（总利润=销售利润-承包费）】若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从让利购买草莓的客户角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
【答案】（1）解：①5≤x≤12
②由题意可得：
(300-2x)(200-2×2x)=44800
解得：x=10或x=190(舍去)
∵5≤x≤12
∴路面设置的宽度符合要求
（2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元
由题意可得：
解得：y=12或y=48
∵利购买草莓的客户角度考虑
∴y=48
∴每平方米草莓平均利润下调48元
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：5≤x≤12
故答案为：5≤x≤12
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据题意建立方程，解方程，再比较大小即可求出答案.
（2）设每平方米草莓平均利润下调y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2023九上·新北月考）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】解：（1）-2；1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为：-2；1；
【分析】（1）此方程左边先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法继续分解到每一个因式都不能再分解为止，然后根据几个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为三个一元一次方程，解三个一元一次方程即可得出原方程的解；
（2）方程两边同时平方，把无理方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（3）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD=3cm，设AP的长为xm，则PD=(8-x)m，根据勾股定理分别表示出BP、CP，然后由BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解再检验即可.
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