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陈经纶中学2025-2026学年度第一学期 初二数学 期中检测
时间： 90 分钟 满分： 100分
校区____________ 班级____________ 姓名_______________
一、选择题(每题2分，共16分.下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．)
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2，2，5 B．3，4，7 C．3，6，8 D．3，5，9
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.与如图所示的正方形图案全等的图案是（ ）
A． B． C． D.
4.如图，点D在线段BC的延长线上，已知，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5.下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
6.下列各式添括号，正确的是（ ）
A．a+b－c=a+(b+c) B．－3x+6y－3=－3(x+2y+1)
C．a－b+2m=a－(－b+2m) D．10－2x+y2=(10－2x)+y2
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴上，∠BAC=90°，AB=AC，若OA=2，OB=4，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH拼成，连接AC，EC，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ）
A．AB的长 B．AE的长 C．EF的长 D．CE的长
二、填空题（每题3分，共24分）
9.在△ABC中，∠A=48°，∠B=30°，则∠C= °．
10.一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 　 　 ．
11. 计算：(－28x4y2)(7x4y)＝ ．
12.如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝105°，则∠EAD＝ °．
13.已知，则7－2m－2n=______________.
14.如图为某年某月的日历(数字隐去)，其中A，B，C，D代表当日的数字，设A 代表的数字为 m，则 B ·D－A·C 的结果为 .(用含m的代数式表示)
15.如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，点E，F分别在BC，DA的延长线上，
CE＝BC，AF＝AD，如果△ABC的面积是8，那么△DEF的面积等于 　 　．
16.我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
（1）的展开式中x的一次项系数是　 　 ；
（2）的展开的多项式中各项系数之和为___________.
三、解答题（共60分）
17.（4分）计算：m7 m5+（－m3）4－（－2m4）3 .
18.（6分）先化简，再求值：[（3x+1）（3x－1）－（2x+3）2+（x+2）（x+5）]÷x，
其中x＝－1．
19. （5分）如图，在△ACF和△BDE中，点A，B，C，D在同一直线上，∠CAF=∠DBE， AB=CD，∠E=∠F. 求证：CF∥DE.
20.（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC的长．
作法：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；
③作射线BF交AC于点P．
则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
连接DF，EF.
证明：在△BDF和△BEF中
∴△BDF≌△BEF（①　 　 ）（填推理的依据）.
∴∠ABF＝∠CBF.
∵∠ACB＝90°，
∴PC⊥BC.
作PQ⊥AB于点Q，
∵点P在BF上
∴PC＝②　 　．（③　 　 ）（填推理的依据）
（5分）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝65°，∠C＝45°，
求∠DAE的度数．
22.（6分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠B=∠DEC=90°，延长DE交AB于点F，已知AB=DE，AC=DC，若AF=3，DE=7，求EF的长度.
23.（7分）观察下列一组等式：
（1）利用你的发现填空．
① __________；
② （__________）；
③ （__________）；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）利用你发现的规律解决问题.
若a+b=3，ab=－10，则a3+b3的值为___________.
24.（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，M是BD的中点，E是线段CA上一动点，且CE＝CD，连接AD，作DF⊥AD交EM延长线于点F．猜想线段AD 与DF的数量关系，并证明你的结论.
25.（7分）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：　 　；图2：（a－b）2＝a2－2ab+b2；图3：　 　．
这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度解：
∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1，
∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度解：
∵a+b＝3，
∴S大正方形＝9，
又∵ab＝1，
∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形－S2－S3＝9－1－1＝7．即a2+b2＝7．
类比迁移：
（2）若a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝　 　 ．
（3）若a，b为非负数，a－b=3，ab＝1，则a＋b＝_____________.
（4）若（5－x）（x－1）＝3，则（5－x）2+（x－1）2＝　 　 ．
（5）如图5，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两个正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
26. （8分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题.
某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：
已知在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别是直线BC，CD上的点.
（1）如图1，若AB⊥CB，AD⊥CD，E，F分别在线段BC，CD上，且满足，试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G，
使BG＝DF．连接AG，先证△ABG与△ADF的全等，
再证△AEF与△AEG的全等，可得到EF，BE，DF
之间的数量关系.
经过以上分析，直接写出线段EF，BE，FD
之间的数量关系为_______________.
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，点E，点F分别在线段CB，DC的延长线上，且满足，试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系．
数学小组的同学们先猜想线段EF，BE，DF之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法：
请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明.
如图3，若∠ABC+∠ADC＝180°不变，点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，若EF＝BE+DF，请直接写出∠EAF与∠BAD的数量关系．陈经纶中学2025-2026学年度第一学期 初二数学 期中试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A C D B B
填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
102 10. 22 11. －4y 12. 45 13. －3 14. 7m+48 15. 24 16. 5， 22025
三、解答题（共60分，其中17题4分，18题6分，19-21题每题5分，22题6分，23-25题每题7分，26题8分）
17. （4分）m7 m5+（－m3）4－（－2m4）3
= m12+m12+8m12 ……………………………………3分
=10m12 ……………………………………4分
18.（6分）
[（3x+1）（3x－1）－（2x+3）2+（x+2）（x+5）]÷x
= [9x2－1－(4x2+12x+9)+x2+5x+2x+10]÷x ……………………………………3分
= (9x2－1－4x2－12x－9+x2+5x+2x+10)÷x
=(6x2－5x)÷x ……………………………………4分
=6x－5 ……………………………………5分
将x=－1代入，
原式=6×(－1)－5=－11 ……………………………………6分
19.（5分）
证明：
∵ AB=CD
∴ AB+BC=CD+BC
∴ AC=BD ……………………………………1分
在△ACF和△BDE中
∴△ACF≌△BDE（AAS）……………………………………4分
∴ ∠ACF=∠BDE
∴ CF//DE ……………………………………5分
20 .（5分）
（1）如图 ……………………………………2分
（2）① SSS ② PQ ③角的平分线上的点到角两边的距离相等.……………………………5分
21.（5分）
在△ABC中
∠BAC+∠B+∠C=180°
∵∠B=65°，∠C=45°
∴∠BAC=70°……………………………………1分
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠BAC=35°……………………………………2分
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°……………………………………3分
在Rt△ABD中
∠B+∠BAD=90°
∵∠B=65°
∴∠BAD=25°……………………………………4分
∵∠DAE=∠BAE－∠BAD=90°
∴∠DAE=10° ……………………………………5分
（共6分）
∵ AB=DE，DE=7
∴ AB=7 ……………………………………1分
∵ BF=AB－AF，AF=3
∴ BF=4 ……………………………………2分
在Rt△ABC和Rt△DEC中
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）
∴ BC=EC ……………………………………4分
在Rt△BFC和Rt△EFC中
∴ Rt△BFC≌Rt△EFC （HL）
∴ BF=EF ……………………………………5分
∵BF=4
∴EF=4 ……………………………………6分
23.（共7分）
（1）① x3－27 ② 4x2－2x+1 ③ x－4y ……………………………………3分
（2） 原式=(a3+b3)(a3－b3) ……………………………………5分
=(a3)2－(b3)2
=a6－b6 ……………………………………6分
（3）117 ……………………………………7分
24.（共7分）
答：AD=DF ……………………………………1分
证明：连接EB
∵∠ACB=90°，点C在BD上
∴∠ACD=∠ACB=90°
在△ADC和△BEC中
∴△ADC≌△BEC（SAS）
∴∠DAC=∠EBC，AD=BE ……………………………………3分
∵ DF⊥AD
∴∠ADF=90°
∵∠ADF=∠ADB+∠BDF
∴∠ADB+∠BDF=90°
在△ADC中，∠ACD=90°
∴∠ADB+∠DAC=90°
∴ ∠DAC=∠BDF
∴∠EBC=∠BDF ……………………………………4分
∵点M为BD的中点
∴BM=DM ……………………………………5分
在△BME和△DMF中
∴△BME≌△DMF中（ASA）
∴ BE=DF
∴AD=DF ……………………………………7分
（7分）
（1）(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)(a－b)=a2－b2 ……………………………………2分
（2）13 …………………………………3分
（3） …………………………………4分
（4）10 ……………………………………5分
设大正方形边长为a，小正方形边长为b.
由题意得：a2+b2=72，a+b=10
2ab=(a+b)2－(a2+b2)=100－72=28 …………………………………6分
所以S阴=ab=7 …………………………………7分
（8分）
（1）EF=BE+DF ……………………………………1分
（2）DF=BE+EF ……………………………………2分
方法1
延长BE至点G，使得BG=DF，连接AG.
∵ ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°
∴ ∠ADC=∠ABG
在△ADF和△ABG中
∴△ADF≌△ABG（SAS）
∴ AF=AG，∠DAF=∠BAG ……………………………………4分
∴∠DAF+∠BAF=∠BAG+∠BAF
∴∠BAD=∠BAE+∠EAG+∠BAF
即∠BAD=∠EAF+∠EAG
∵∠EAF=∠BAD
∴∠EAF=∠EAG ……………………………………5分
在△EAF和△EAG中
∴△EAF≌△EAG（SAS）
∴EF=EG
∵DF=BG，BG=BE+EG
∴DF=BE+EF ……………………………………6分
方法2
在DF上截取DG=BE至点G，使得DG=BE，连接AG.
∵ ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°
∴ ∠ADG=∠ABE
在△ADG和△ABE中
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴ AG=AE，∠DAG=∠BAE ……………………………………4分
∴ ∠DAG+∠BAF=∠BAE+∠BAF
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF
∴∠DAG+∠BAF=∠EAF
∵∠EAF=∠BAD
∠BAD=∠DAG+∠GAF+∠BAF
∴∠EAF=∠GAF ……………………………………5分
在△EAF和△GAF中
∴△EAF≌△GAF（SAS）
∴EF=GF
∵DF=DG+GF
∴DF=BE+EF ……………………………………6分
（3） ……………………………………8分

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