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人教版2025—2026学年八年级上册期中核心考点突破卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（　　）
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF
2．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）
A．①、②都正确 B．①、②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
3．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．140° B．80° C．70° D．50°
4．如图，已知是正三角形，是边上任意一点，过点作于点，交于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD＝3cm，则D到AB的距离是（　　）cm．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，过边长为 的等边 的边 上一点，作 于 为 延长线上一点，当 时，连接 交 于 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△中，，，点是的内心，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，AD是BC上的高，，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）条.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，点在等边三角形的边的延长线上，点在线段上，连结，若，且，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则　 　 .
12．如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为　 　．
13．已知等腰三角形的周长是22，其中一边长为8，则其它两边的长度分别是　 　．
14．已知 中， ，则这个三角形是　 　三角形．
15．等腰三角形 中， ， 是等腰 上的高，且 ，则 的度数为　 　．
16．如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……如此作下去，则第n条线段的长为 　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB=AC，BD＝CF，BE＝CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数．
18．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少 求这个三角形的顶角的度数.
19．如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的周长．
20．如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系请说明理由．
21．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．
（1）如图1，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接．
①_______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
②若，请判断是否为“和谐三角形”？并说明理由．
（2）如图2，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，请直接写出_______．
22．如图，，于点E，于点F，.
（1）求证：；
（2）求证：.
23．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
（1）台风中心经过多长时间从点移到点？
（2）如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
24．已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
25．已知△ABC是等边三角形．D是射线BC上一动点．连接AD．在线段AD的右线DP且使∠ADP=30°．作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，如图所示．请用等式表示线段AB、CE、CD之间等量关系，并证明；
（2）当点D在线段BC的延长线上运动时。请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版2025—2026学年八年级上册期中核心考点突破卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（　　）
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF
【答案】A
【解析】【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故答案为：A
【分析】利用“HL”证明三角形全等的判定方法求解即可。
2．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）
A．①、②都正确 B．①、②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【解析】【解答】解：AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故答案为：C．
【分析】根据三角形角平分线和中线的定义逐项判断即可。
3．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．140° B．80° C．70° D．50°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角为50°，
∴这个等腰三角形的底角为：（180°-40°）÷2=70°，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理进行解答即可．
4．如图，已知是正三角形，是边上任意一点，过点作于点，交于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠CFD=90°，∠EDC=90°，
∵是正三角形，
∴∠C=60°，
在△CDF中，∠CDF=180°-∠C-∠CFD=180°-60°-90°=30°，
∴∠EDF=∠EDC-∠CDF=90°-30°=60°，
故答案为：C.
【分析】先利用垂直的性质可得∠CFD=90°，∠EDC=90°，结合等边三角形的性质可得∠C=60°，再利用三角形的内角和及角的运算求出∠EDF=∠EDC-∠CDF=90°-30°=60°即可.
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD＝3cm，则D到AB的距离是（　　）cm．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
故答案为：B．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
6．如图，过边长为 的等边 的边 上一点，作 于 为 延长线上一点，当 时，连接 交 于 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】过P作BC的平行线交AC于F，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，∴ ．
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ．
∵ 于 ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
故 的长为 ．
故答案为：B.
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，结合已知条件易证 是等边三角形，由等边三角形的性质及 可得 ．利用AAS证明 ≌ ，根据全等三角形的性质可得 ．利用等腰三角形三线合一的性质可得 ，由此可得 ，从而求得DE的长.
7．如图，在△中，，，点是的内心，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点是的内心，
∴BO平分，CO平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用三角形的内角和求出即可。
8．如图，中，，，AD是BC上的高，，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）条.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：
中，
，
，
∴为等边三角形，
∵AD是BC上的高，
∴，
∵，
∴，
，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴.
∴图中与
（BD除外）相等的线段有CD、DE、BE、AE共4条.
故答案为：D.
【分析】易得△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质可得BD=CD=
BC=
AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠EDB=60°，∠B=60°，推出△BED是等边三角形，则BD=ED=BE=
AB，推出BE=AE，据此解答.
9．如图，点在等边三角形的边的延长线上，点在线段上，连结，若，且，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，、
∴∠ABC=∠C=60°，
∵∠ABC为△ABD的外角，∠DAB=20°，
∴∠ADB=∠ABE-∠DAB=60°-20°=40°，
∵DA=DE，
∴∠AED=，
∴∠EAC=∠AED-∠C=70°-60°=10°
故答案为：C.
【分析】结合等边三角形的性质得∠ABC=∠C=60°，由等腰三角形的性质得∠AED的度数，再由外角的性质得∠EAC的度数.
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解∶∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴．
同理可得：．
…
以此类推，以An为顶点的内角度数是
∴以A2022为顶点的内角度数是．
故答案为：D．
【分析】由等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠BA1C=75°，由A1A2=A1D可得∠DA2A1=∠A1DA2，根据三角形外角的性质可得∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，从而求出，以此类推，以An为顶点的内角度数是，继而得解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则　 　 .
【答案】7
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：7．
【分析】先利用“AAAS”证明△HEA≌△BEC，再利用全等三角形的性质可得。
12．如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为　 　．
【答案】60
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，
则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解：，
∴，
∴，
∴四边形的面积为60．
故答案为：60．
【分析】过点作，，即可得到，然后根据角平分线的性质得到，即可得到，进而得到四边形的面积等于，然后利用勾股定理求出的长，解题即可．
13．已知等腰三角形的周长是22，其中一边长为8，则其它两边的长度分别是　 　．
【答案】7，7或8，6
【解析】【解答】解：当腰长是8时，底边长，6、8、8能构成三角形，则其他两边长为6，8；
当底长是8时，三角形的腰，8、7、7能构成三角形，其他两边长为7、7．
故答案为：7，7或8，6.
【分析】分情况讨论：当腰长为8时，可求出等腰三角形的底边，当底边长为8时，可求出这个三角形的腰长，再利用三角形的三边关系定理，可确定出其它两边的长.
14．已知 中， ，则这个三角形是　 　三角形．
【答案】直角
【解析】【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为α、3α、4α，
则α+3α+4α=180°，
解得α=22.5°，
所以，∠C=4×22.5°=90°，
这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】根据比设∠A、∠B、∠C分别为α、3α、4α，然后根据三角形的内角和等于180°列式求出∠C，作出判断即可．
15．等腰三角形 中， ， 是等腰 上的高，且 ，则 的度数为　 　．
【答案】 或
【解析】【解答】解：①当为锐角三角形时
∴
②当为钝角三角形时
∴
故答案为： 或 ．
【分析】分两种情况进行讨论：①当为锐角三角形时；②当为钝角三角形时，根据等腰三角形的性质进行求解即可．
16．如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……如此作下去，则第n条线段的长为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB=2BC=2，
∵B1C1垂直平分AC，
∴B1C1∥AC，AB1=CB1，
∴AB1=BB1，
∴CB1=AB1=BB1=AB=1，
同理可得：B2C1=AB2=B2B1=AB1=，B3C2=AB3=B2B3=AB2=×=，······，
∴=.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形及线段垂直平分新的性质可得AB=2BC=2，CB1=AB1=BB1=AB=1，同理可得B2C1=AB2=B2B1=AB1=，B3C2=AB3=B2B3=AB2=×=，······，据此总结规律即得结论.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB=AC，BD＝CF，BE＝CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数．
【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△EDB和△DFC中，
∴△EDB≌△DFC（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
对于△BED，有∠B+∠BED=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDE+∠CDF，
∴∠B=∠FDE=58°，
∴∠C=∠B=58°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-58°-58°=64°．
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，证明△EDB≌△DFC，得到∠BED=∠CDF，由外角的性质可得∠B+∠BED=∠EDC，由角的和差关系可得∠EDC=∠FDE+∠CDF，进而求出∠B、∠C的度数，接下来根据三角形内角和定理进行求解.
18．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少 求这个三角形的顶角的度数.
【答案】解：设一个内角为x°，则另一个内角为(2x-30)°
分三种情况：
① 当x为顶角时，底角为(2x-30)°
x+2(2x-30)=180
x+4x-60=180
5x=240
x=48
∴顶角为48°
② 当(2x-30)为顶角时，底角为x°
2x+(2x-30)=180
4x-30=180
4x=210
x=52.5
∴顶角为2×52.5-30=75°
③ 当两个内角均为底角时，x=2x-30
x=30
∴顶角为180-2×30=120°
答：顶角的度数为48°或75°或120°
【解析】【分析】这两个角可能都是底角，也可能一个是底角，一个是顶角，应分开来讨论.
19．如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的周长．
【答案】（1）解：，，
垂直平分，
垂直平分，
，
，，
∵，
，
∵，
∴．
（2）解：的周长为，，
，
∵，
的周长为．
【解析】【分析】（1）易得垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，根据等边对等角得到，，再根据三角形内角和定理求出的度数，则由三角形任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，从而可求出答案；
（2）根据三角形周长计算公式、等量代换及线段和差可推出，再根据三角形的周长公式计算即可．
（1）解：，，
垂直平分，
垂直平分，
，
，，
∵，
，
∵，
∴．
（2）解：的周长为，，
，
∵，
的周长为．
20．如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系请说明理由．
【答案】解：．
理由：如图，过点作于点，于点．
平分，
．
，，
．
在和中，
，
．
【解析】【分析】根据与可知，根据是角平分线 可知，再根据即可证明 ，即可证明．
21．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．
（1）如图1，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接．
①_______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
②若，请判断是否为“和谐三角形”？并说明理由．
（2）如图2，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，请直接写出_______．
【答案】（1）解：①由题意知，，∵，
∴是“和谐三角形”，
故答案为：是；
②是“和谐三角形”，理由如下；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“和谐三角形”；
（2）或
【解析】【解答】解：（2）由题意知，，
∴，
∴，
又∵，，
∴当是“和谐三角形”，分或两种情况求解；
当时，；
当时，
∵，
∴；
综上所述，的值为或；
故答案为：或．
【分析】（1）①根据题意，结合，求得B的度数，得到，进而可得是“和谐三角形”；
②由，得到，求得，结合，得到是“和谐三角形”；
（2）由，得到，，再由，，当是“和谐三角形”，可得分或，两种情况，讨论求解，即可得到答案.
（1）①解：由题意知，，
∵，
∴是“和谐三角形”，
故答案为：是；
②解：是“和谐三角形”，理由如下；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“和谐三角形”；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴，
又∵，，
∴当是“和谐三角形”，分或两种情况求解；
当时，；
当时，
∵，
∴；
综上所述，的值为或；
故答案为：或．
22．如图，，于点E，于点F，.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：∵于点E，于点F，
∴.
∵，
∴
在和中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，由可得，再根据全等三角形的判定定理（HL）即可求出答案.
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据内错角相等，两直线平行即可求出答案.
23．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
（1）台风中心经过多长时间从点移到点？
（2）如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∴，
答：台风中心经过从点移到点；
（2）解：如图，在射线上取点，使得，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：市受到台风影响的时间持续．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得BD，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（2）在射线上取点，使得，根据勾股定理可得ED，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∴，
答：台风中心经过从点移到点；
（2）解：如图，在射线上取点，使得，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：市受到台风影响的时间持续．
24．已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【答案】（1）证明：①∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACE=60°，CE=AC=AE，且AB=AC
∴AB=AE
∴∠ABF=∠AEF
∵AB=AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC，且AF=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF=∠ACF
∴∠ACF=∠AEF
②EF=FD+AD
延长AD使DP=AD，连接CP
∵AD=DP，∠ADC=∠PDC，CD=CD
∴△ADC≌△PDC（SAS）
∴AC=CP=CE，∠ACD=∠PCD
∵∠ACF=∠AEF，且∠AMC=∠FME
∴∠EFC=∠EAC=60°
∵BF=CF，且∠EFC=60°
∴∠FCD=30°
∵∠FCA=∠FCD-∠ACD
∴∠FCA=30°-∠ACD
∵∠ECF=∠ECA-∠FCA
∴∠ECF=30°+∠ACD
∵∠FCP=∠FCD+∠DCP
∴∠FCP=30°+∠ACD
∴∠ECF=∠FCP，且FC=FC，CP=CE
∴△ECF≌△FCP（SAS）
∴EF=FP
∴EF=FD+AD
（2）解：连接CF，延长AD使FD=DP，连接CP．
∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACE=60°，CE=AC=AE，且AB=AC
∴AB=AE
∴∠ABF=∠AEF
∵AB=AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC，且AF=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF=∠ACF
∴∠ACF=∠AEF且∠AME=∠CMF
∴∠EAC=∠EFC=60°
∵BF=CF，∠EFC=60°
∴∠FCB=30°
∵FD=DP，∠FDC=∠PDC，CD=CD
∴△FDC≌△PDC（SAS）
∴FC=CP，∠FCD=∠PCD=30°
∴∠FCP=60°=∠ACE
∴∠ACP=∠FCE且CF=CP，AC=CE
∴△ACP≌△ECF（SAS）
∴EF=AP
∴EF=AD+DP=AD+DF.
【解析】【分析】（1）①利用AB=AC以及等边三角形ACE可得出∠ABF=∠AEF，再通过SSS证出△ABF≌△ACF，得到∠ABF=∠ACF，从而证出∠ACF=∠AEF；
②先得到∠EFC=∠EAC=60°，从而判断出∠FCD=30°，进而得出∠ECF=∠FCP，再利用SAS证明出△ECF≌△FCP，即可证出EF=FD+AD；
（2）先通过等边对等角与等边三角形得出∠ABF=∠AEF，再通过△ABF≌△ACF得出∠ABF=∠ACF，得出∠ACF=∠AEF，从而得出∠EAC=∠EFC，再通过△FDC≌△PDC得出FC=CP，∠FCD=∠PCD，最后通过SAS证出△ACP≌△ECF得到EF=AP，即可求证。
25．已知△ABC是等边三角形．D是射线BC上一动点．连接AD．在线段AD的右线DP且使∠ADP=30°．作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，如图所示．请用等式表示线段AB、CE、CD之间等量关系，并证明；
（2）当点D在线段BC的延长线上运动时。请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明．
【答案】（1）解：AB=CE+ CD．
证明：∵点A关于射线DP的时称点为E．
∴DP垂直平分AE．
∴AD= DE．
又∵∠ADP= 30°．
∴∠ADE =60°．
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE．∠DAE=60°．
又∵△ABC是等边三角形．
∴AB=AC=BC．∠BAC = 60°．
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC、即∠BAD=∠CAE、
在△BAD和△CAE中，
∵
∴△BAD≌△CAE，∴BD =CE，
∴AB=BC=BD-CD=CE+CD．
（2）解：AB=CE-CD
【解析】【解答】解：（2） 点D在线段BC的延长线上运动时 ，如图所示： AB=CE-CD 。
理由是：由（1）可得：△BAD≌△CAE，
∴BD =CE，
∴AB=BC=BD-CD=CE-CD。
【分析】（1）根据轴对称的性质得 DP垂直平分AE ，根据垂直平分线的性质，结合等边三角形的性质，根据SAS证胆 △BAD≌△CAE ，利用全等三角形的性质证明；
（2） AB=CE-CD ，先画出图形，利用（1）的结论△BAD≌△CAE，进而得到BD =CE，再利用线段的和差证明。
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