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上海市2025—2026学年九年级上册期中模拟重点提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（　　）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ ＝ ；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（　　）米．
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形位置如图放置，点分别在轴上，将逆时针旋转到，使得点落在y轴的负半轴上，连接，交轴于点.若，，则点D的纵坐标是（　　）
A．2 B． C． D．
4．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）
A．6m B．8.8m C．12m D．15m
5．如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（　　）
A． B． C． D．
6．将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
7．若 ，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．以上结论均错误
8．如图，的对角线交于点，点为中点，连接交于点，若，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．
9．如图，菱形，点M，N在AC上，，．若，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在正方形ABCD中，E在CD边上，F在BE边上，且AF=AB，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，若CG=2，DE=7，则BE的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．两个相似三角形的相似比为2：5，周长差为12厘米，则较大三角形的周长为　 　.
12．长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是　 　.
13．如图，中，，点在上，且，点在上，连接．若，则　 　．
14．如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°，底部D的俯角为45°，两楼的水平距离BD为24m，那么楼CD的高度约为　 　m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6；cos37°≈0.8；tan37°≈0.75）
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 　 　．
16．如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
19．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF= EH，求EH的长．
20．如图，楼高AB为，从楼顶处测得旗杆顶的俯角为，又从距离楼底处4m的一窗口处测得旗杆顶的仰角为.求旗杆CD的高.
21．引体向上是同学们熟知的体育项目.如图所示为曹同学在拉引体向上前的准备姿势，手臂自然伸直，A，B为两个手握单杠点，肩宽CD=32cm，CD∥AB，手臂长AD=BC=46cm，手臂与单杠夹角∠DAB=∠CBA=72°.
（1）求手握单杠点的距离（即线段AB的长）.
（2）曹同学调整手握单杠点的距离，此时手臂与单杠的夹角为84°，求调整前后肩宽CD竖直移动的距离.（结果精确到0.1，参考数据sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin84°≈0.99，cos84°≈0.10，tan84°≈9.51）
22．2021年3月23日，中国台湾的超大型集装箱船“长赐号”在经过苏伊士运河时为发生搁浅事故，造成超过400多艘货船滞留，对埃及和全球贸易造成巨大损失“长赐号”船身呈长方形，如图所示，长BC＝400米，宽CD＝60米，船身和河岸的夹角∠BCP＝30°．河岸MN//PQ，求河岸MN与PQ之间的距离（结果保留根号）．
23．
（1）计算：
（2）如图，中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交边于点D，求的度数．
24．如图，在△ABC中，AC=BC，，点D为AC边上，且，DE∥AB交BC于点E，将△CDE绕点C逆时针旋转a(0（1） 求证：△≌△
（2） 如图2，当三点共线时，与BC交于点F，且n=3，求的值.
（3）如图3，三点共线，连结，过点C作CN⊥于点N，与AE交于点M.且，求的值．（用含m的式子表示）
25．如图1是一只拉杆式旅行箱，其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆BC最大可伸长30cm，点A，B，C在同一条直线上，在箱体的底端装有圆形的滚轮，与水平地面MN相切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，且点B距离地面36cm时，点C到地面的距离．
图1 图2
（1）求滚轮的半径；
（2）调整拉杆BC的长度，当某人的手自然下垂在拉杆顶端C处拉动旅行箱时，C到地面的距离为66cm，拉杆与水平地面的夹角为53°，求此时拉杆BC伸长的长度．（参考数据：，，，结果精确到1cm）
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上海市2025—2026学年九年级上册期中模拟重点提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（　　）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ ＝ ；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】有三个①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不符合题意④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
2．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（　　）米．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
故选：．
【分析】根据正弦的定义即可求出答案.
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形位置如图放置，点分别在轴上，将逆时针旋转到，使得点落在y轴的负半轴上，连接，交轴于点.若，，则点D的纵坐标是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
即点D的纵坐标为 .
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质及正切三角函数的定义得OA=4，在Rt△AOB中利用勾股定理算出OB，根据旋转的性质得B'O=BO=5，可得AB'=9，由OD∥AB可推出△B'DO∽△B'BA，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
4．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）
A．6m B．8.8m C．12m D．15m
【答案】C
【解析】【解答】解：如图
由题意可知DE∥BC，AE=8，EC=22，DE=3.2，
∴AC=AE+EC=8+22=30，
∴△ADE∽△ACB，
∴
∴
解之：BC=12
故答案为：C.
【分析】由题意可得到AE，EC，DE，AC的长，再由DE∥BC，可证得△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的对应边成比例，可求出BC的长。
5．如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵镜子垂直于地面，
∴入射角等于反射角，
∴∠DEC = ∠BEA，
∵DE⊥AC， BA⊥AC，
∴∠DCE = ∠BAE，
∴，
∴，
∴，
∴AB=12.8m，
故答案为：D.
【分析】先求出∠DEC = ∠BEA，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
6．将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
【答案】A
【解析】【解答】将直角三角形的三边同时扩大3倍，根据相似三角形的判定可知，得到的三角形和原三角形相似，得到的三角形还是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定，可知将一个直角三角形三边扩大3倍，所得三角形和原三角形相似，即可得出答案。
7．若 ，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．以上结论均错误
【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用互余两角的三角函数关系 ，得出 ．
8．如图，的对角线交于点，点为中点，连接交于点，若，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】连接OE
故选：A
【分析】题中已知条件，给了2个中点，很容易想到中位线定理，三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半，根据平行线法判定相似三角形的定理，可判定，根据相似比即可求出BF的长。
9．如图，菱形，点M，N在AC上，，．若，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠EAF，
∴∠NAF=∠MAE，
又∵MEAD，NFAB，
∴∠AEM=∠AFN=90°，
∴
∴
设AN=m，则AM=m+2，
∴
故答案为：B.
【分析】设AN=m，则AM=m+2，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，且平分一组对角.所以有∠NAF=∠MAE，因为MEAD，NFAB，所以∠AEM=∠AFN=90°，根据相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.可知所以有比例式：.
10．如图，在正方形ABCD中，E在CD边上，F在BE边上，且AF=AB，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，若CG=2，DE=7，则BE的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BE于K，交BC于H，
设AB=m，
∵正方形ABCD
∴BC=CD=AB=m，∠ABH=∠C=90°
∵CG=2，DE=7，
∴CE=m-7，BG=m-2
∵FG⊥BE
∴∠BFG=90°
∵AF=AB，AH⊥BE
∴BK=FK，即BF=2BK，∠BKH=90°=∠BFG
∴△BKH∽△BFG
∴ = = ，即BH= BG= （m-2）
∵∠ABK+∠CBE=∠ABK+∠BAH=90°
∴∠BAH=∠CBE
在△ABH和△BCE中，
∴△ABH≌△BCE（ASA）
∴BH=CE
∴ （m-2）=m-7，解得：m=12
∴BC=12，CE=12-7=5
在Rt△BCE中，BE= = =13．
故答案为：D．
【分析】过点A作AH⊥BE于K，交BC于H，由正方形性质和等腰三角形性质可证明：△BKH∽△BFG，BH= BG，再证明△ABH≌△BCE，可得BH=CE，设AB=m，可列方程 （m-2）=m-7，即可求得BC=12，CE=5，有勾股定理可求得BE．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．两个相似三角形的相似比为2：5，周长差为12厘米，则较大三角形的周长为　 　.
【答案】20cm
【解析】【解答】因为两个相似三角形的相似比为2：5，所以其周长比为2：5，
设两三角形周长为2kcm、5kcm，
根据题意得5k﹣2k＝12，
解得k＝4，
所以较大三角形的周长为5×4＝20cm.
故答案为：20cm.
【分析】两个相似三角形的相似比为2：5，则其周长比也为2：5，可设两三角形周长分别为2kcm、5kcm，列式求解即可.
12．长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：
设正方形边长为x，假设AC在矩形里与其它线段分别交于点T和点P，过T做平行于点C所在的矩形边，交矩形另外两边于点E和点F；过点P做平行于点B所在的矩形边，交矩形另外两边于点J和点H；EF和JH相交于点O， EF垂直于JH， 设EF与DT边成的角为θ，则PJ与PC边成的角也为θ，
在 中，
可得 ①
解得
两边平方相加得
所以正方形的边长
故答案为：.
【分析】如图，设正方形边长为x，设EF与DT边成的角为θ，则PJ与PC边成的角也为θ，利用三角函数值表示出EF和JH的值求出然后根据一个角的正弦与余弦的平方和为1求出x值即可.
13．如图，中，，点在上，且，点在上，连接．若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵△AEF∽△ACB，
∴，
∴，
∴AF=.
故答案为：.
【分析】直接根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
14．如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°，底部D的俯角为45°，两楼的水平距离BD为24m，那么楼CD的高度约为　 　m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6；cos37°≈0.8；tan37°≈0.75）
【答案】42
【解析】【解答】解：在Rt△ACE中，
∵AE=24，∠CAE=37°，
∴CE=AE tan37°≈24×0.75=18，
在Rt△AED中，
∵∠EAD=45°，
∴AE=ED=24，
∴DC=CE+DE=18+24≈42．
故楼BC的高度大约为42m．
【分析】在Rt△ACE中，利用解直角三角形可得CE=AE tan37°≈18，根据已知可得△EAD是等腰直角三角形，从而可得AE=ED=24，由DC=CE+DE即可求出结论.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 　 　．
【答案】12
【解析】【解答】解：由题意可得：
由平移可得：DF||EC，DF=EC
∴四边形DFCE为平行四边形
∵点F是AB中点
∴点D是AC中点
∴DF是△ACB的中位线
故答案为：12
【分析】根据勾股定理求出AC长，再根据平移性质，平行四边形的判定定理及性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例性质即可求出答案。
16．如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为　 　.
【答案】10
【解析】【解答】解：如图，设AC与 MN的交点为O ，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC ，
，
四边形AECF是菱形，
， ，
，
，
∴E为BC的中点，
中， ， ，
，
，
四边形AECF的周长为 .
故答案为： .
【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）解：
=2+3-1
=4.
（2）解：，
①+②得：9x=3，
解得：，
将代入①得：2+y=9，
解得：y=7，
故原方程组的解为.
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的定义，负整数指数幂及特殊锐角三角函数值计算即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可.
18．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
【答案】解：方法一：
过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，
，
，
过点作于点，
由题意知，，
，
又，
，
过作于点，
，，
，
，
靠背顶端点距地面高度为
；
方法二：
如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，
，，
，
又，
，
，
，
过作于，
由题意知，，
，
又，
，
靠背顶端点距地面高度为．
【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，先根据平行四边形的性质结合题意即可得到，过点作于点，进而得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而得到，过作于点，再结合题意运用解直角三角形即可求解；
方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据题意运用解直角三角形的知识即可得到，过作于，进而得到，再运用平行线的性质结合解直角三角形即可求解。
19．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF= EH，求EH的长．
【答案】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴ = ，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD－EF=2－2x，
∴ = ，
解得：x= ，
则EH= ．
【解析】【分析】根据矩形的性质，可证得EH∥BC，从而可证得△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质，可证对应边成比例，由已知可设EH=3x，则EF=2x，AM=2-2x，代入建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出EH的长。
20．如图，楼高AB为，从楼顶处测得旗杆顶的俯角为，又从距离楼底处4m的一窗口处测得旗杆顶的仰角为.求旗杆CD的高.
【答案】解：如图，过点作于点，
∴∠CFE=90°，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠FBD=∠CDB=90°，
∴四边形BDCF是矩形，
∴CD=BF，
由题意得，∠CAF=30°，
∴∠ECF=45°，
∴EF=FC，
设，
∵AB=26，BE=4，
∴AF=AB-BE-EF=26-4-x=22-x，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴，
，
∴旗杆CD的高为.
【解析】【分析】过点作于点，易证四边形BDCF是矩形，得CD=BF，由题意得，∠CAF=30°，设EF=FC=x，则AF=22-x，在中，利用特殊角的三角函数值解直角三角形得关于x的方程，解方程求出x的值，最后计算CD=BF=EF+BE的值即可.
21．引体向上是同学们熟知的体育项目.如图所示为曹同学在拉引体向上前的准备姿势，手臂自然伸直，A，B为两个手握单杠点，肩宽CD=32cm，CD∥AB，手臂长AD=BC=46cm，手臂与单杠夹角∠DAB=∠CBA=72°.
（1）求手握单杠点的距离（即线段AB的长）.
（2）曹同学调整手握单杠点的距离，此时手臂与单杠的夹角为84°，求调整前后肩宽CD竖直移动的距离.（结果精确到0.1，参考数据sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin84°≈0.99，cos84°≈0.10，tan84°≈9.51）
【答案】（1）解：如图甲，分别过点C，D作AB的垂线，交AB 于E，F.
易证，△ADE≌△BCF，得AE=BF，DE =CF.
在直角三角形ADE中，
AE=AD×cos72°=46×0.31≈14.26，
∴AE=BF=14.26，
∴AB=AE+EF+BF=14.26+32+14.26= 60.52≈60.5.
（2）解：如图甲，
在直角三角形ADE中， DE=CF=AD×sin72°=46×0.95≈43.7cm.
调整后，如图乙，
D'E'=C'F'=A'D'×sin84°=46×0.99 ≈45.54，
肩宽CD向下移动距离为 AE=26.67-16.81=9.86≈9.9cm.
【解析】【分析】(1)作DE、CF垂直于AB，构造直角三角形，求出AE和BF的长，即可得AB的长；
(2)同(1)利用直角三角形求出AE的长，即可得下移的距离.
22．2021年3月23日，中国台湾的超大型集装箱船“长赐号”在经过苏伊士运河时为发生搁浅事故，造成超过400多艘货船滞留，对埃及和全球贸易造成巨大损失“长赐号”船身呈长方形，如图所示，长BC＝400米，宽CD＝60米，船身和河岸的夹角∠BCP＝30°．河岸MN//PQ，求河岸MN与PQ之间的距离（结果保留根号）．
【答案】解：过点B作MN，PQ的垂线，垂足分别为E，F，
∵，∠BCP＝30°，
∴米，且，
∵为长方形，
∴，AB=CD=60米，
∴，
∴米，
∴米，
∴米，
故河岸MN与PQ之间的距离为：米．
【解析】【分析】过点B作MN，PQ的垂线，垂足分别为E，F，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理求出BE的长，最后利用线段的和差求出EF的长即可。
23．
（1）计算：
（2）如图，中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交边于点D，求的度数．
【答案】（1）解：
；
（2）解：由作图语句可知，，
，
在中，外角，
．
【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值，代入特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可；
（2）根据作图得AD=AC，从而可求出∠ADC的度数；再根据三角形外角的性质即可得到结论.
24．如图，在△ABC中，AC=BC，，点D为AC边上，且，DE∥AB交BC于点E，将△CDE绕点C逆时针旋转a(0（1） 求证：△≌△
（2） 如图2，当三点共线时，与BC交于点F，且n=3，求的值.
（3）如图3，三点共线，连结，过点C作CN⊥于点N，与AE交于点M.且，求的值．（用含m的式子表示）
【答案】（1）证明：∵
∴
∵DE∥AB，AC=BC，
∴
∴DC=EC，
∵△CDE旋转得到线段△
∴D'C=E'C
∴≌
（2）解：当A，D'，E'三点共线时
∵
∴
∵DE∥AB
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴~
∴
∵n=3
∴
∵中，
∴
（3）解：由（1）（2）得≌，
∵
∴
过点C作CK⊥AE'于K
∴
∵
∴~
又∵
∴
∴
设
∴
∵CN⊥，
∵
∴，
∵
∴∽
∴
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得 DC=EC ，再由旋转性质可知 D'C=E'C ，，最后通过 SAS 即可求证 ≌ ；
（2）当A，D'，E'三点共线时因为所以根据旋转性质得 即可得出 ~即 代值即可得出答案；
（3） 过点C作CK⊥AE'于K ，证明 ~ ，可得 设 ， 根据，，可证 ∽，所以 ，所以 代入即可求出答案。
25．如图1是一只拉杆式旅行箱，其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆BC最大可伸长30cm，点A，B，C在同一条直线上，在箱体的底端装有圆形的滚轮，与水平地面MN相切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，且点B距离地面36cm时，点C到地面的距离．
图1 图2
（1）求滚轮的半径；
（2）调整拉杆BC的长度，当某人的手自然下垂在拉杆顶端C处拉动旅行箱时，C到地面的距离为66cm，拉杆与水平地面的夹角为53°，求此时拉杆BC伸长的长度．（参考数据：，，，结果精确到1cm）
【答案】（1）解：连接AD，作于点F，于点H，交AF于点K．则，
设的半径为，则，．
∵，∴．∴．
即．解得．∴滚轮的半径为6cm．
图2
（2）在中，．∴．
∴．∴拉杆BC的伸长的长度约为25cm．
【解析】【分析】（1）连接AD，作于点F，于点H，交AF于点K，设的半径为，先证出，可得，再将数据代入可得，最后求出r的值即可；
（2）先利用解直角三角形的方法求出，再利用线段的和差求出BC的长即可.
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