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河北省武强中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则
A． B． C． D．
3．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．记的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（　　）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
10．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
11．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
三、填空题
12．函数在上的最大值是 ．
13．若为偶函数，则 ．
14．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16．已知函数在处取得极值．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最小值．
17．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
18．已知函数.
(1)设，求曲线的斜率为2的切线方程；
(2)若是的极小值点，求b的取值范围.
19．定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
(1)证明：是倍角三角形；
(2)若，当取最大值时，求.
参考答案
1．D
【详解】，故，
故选：D.
2．B
【详解】则．故选B．
3．C
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
4．B
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
5．A
【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点，
因为三点共线，所以．
故选：A．
6．C
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
7．B
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
8．C
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
9．AD
【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，
故A正确.
对于B，不是空集，故B错误.
对于C，，而，
故两个集合不是同一个集合，故C错误.
对于D，，故D正确.
故选：AD.
10．AD
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
11．ABD
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
12．2
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
13．2
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
14．
【详解】在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
15．(1)，
(2)
【详解】（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
16．(1)3
(2)
【详解】（1）由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意
所以．
（2）由（1）得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
18．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，
又,所以，
则，
又由余弦定理知，，
故可得，
由正弦定理，,
又,
代入上式可得,
即，
，
则有,
故是倍角三角形.
（2）因为，所以,
故，则，又，
又，则,
则
,
设，，
则
令得或者（舍），
且当时，，
当时，，
则在上单调递增，
在上单调递减，
故当时，取最大值，
此时也取最大值，
故为所求.

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