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(共31张PPT)
考点1 特殊平行四边形的性质
图 形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等 对边平行且四条边都相等 对边平行且四条边都相等
角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
对 角 线 互相平分且①______ （矩形的两条对角线将矩 形分成四个面积相等的等 腰三角形） 对角线互相②______且平 分；每条对角线平分一组 对角 对角线相等且互相垂直平
分；
每条对角线平分一组对角，
且把正方形分为四个
③___________三角形
相等
垂直
等腰直角
图 形 矩形 菱形 正方形
对 称 性 既是轴对称图形，也是中 心对称图形；有④___条对 称轴，对称轴是过对边中 点的直线，对称中心为对 角线的交点 既是轴对称图形，也是中 心对称图形；有⑤___条对 称轴，对称轴是对角线所 在直线，对称中心为对角 线的交点 既是轴对称图形，也是中心
对称图形；有⑥___条对称
轴，分别是对角线所在直线
和过对边中点的直线，对称
中心为对角线的交点
2
2
4
续表
图 形 矩形 菱形 正方形
周 长 、 为矩形 的长、宽 为菱形的边长 为正方形的边长
面 积 为菱形的高，、 分 别为菱形两条对角线的长 为正方形对
角线的长
续表
考点2 特殊平行四边形的判定
图形 矩形 菱形 正方形
定义 有一个角是直角的平行 四边形 有一组⑦______相等的 平行四边形 一组邻边相等，一个角是直
角的平行四边形
边 — 四条边相等的四边形 有一组⑧______相等的矩形
角 有三个角是直角的四边 形 — 有一个角是直角的菱形
对角线 对角线相等的平行四边 形 对角线⑨__________的 平行四边形 对角线相等的菱形；
对角线互相⑩______的矩形
邻边
邻边
互相垂直
垂直
知识点睛 四边形之间的联系
知识延伸 中点四边形
依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫作中点四边形.由三角形中位线定理
可知，任意中点四边形都为平行四边形.
原四边形对角线间的关系 举例 中点四边形
相等 矩形、等腰梯形 菱形
互相垂直 菱形 矩形
互相垂直且相等 正方形 正方形
图1
1.（1）[北师九上P3例1改编] 如图1，在菱形中， ，
，则 的长为( )
D
A. B.1 C. D.
（2）如图2，在矩形中，、、、分别为边、、、 的中点，若
， ，则图中阴影部分的面积为( )
D
图2
A.6 B.8 C.12 D.16
2.下列说法中错误的是( )
D
A.四边相等的四边形为菱形 B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.对边相等的矩形是正方形
3.[北师九上P29复习题T20改编] 在平行四边形中,对角线与相交于点 ,要使四
边形是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:,且 ;
,且;,且;,且 .其中正确的序
号是________.
①③④
命题点1 矩形
炼方法 应用矩形的性质计算的一般思路
1.矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数求
线段的长度或角的度数.
2.矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形，当等腰三角形中有一个角是
时会出现两个全等的等边三角形.
3.若矩形中含有 角，找 角所在的直角三角形，利用直角三角形的性质或锐角三角
函数计算.
1.[2024四川泸州]已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定 为矩
形的是( )
D
A. B. C. D.
2.[2021河北]如图，等腰中，顶角 ，用尺规按①到④的步骤操作：
①以为圆心， 为半径画圆;
②在上任取一点（不与点，重合），连接 ;
③作的垂直平分线与交于， ;
④作的垂直平分线与交于， .
结论Ⅰ：顺次连接，，， 四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得 .
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( )
D
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对
3.[2025邯郸一模]如图，在矩形中，，，，分别是， 的中
点，平分，与交于点，则 _________．
解析 矩形中，， ，
,
，分别是， 的中点，
是 的中位线，
, ,
,
平分, ,
,
,
.
4.[2025北京]如图,在中,,分别为,的中点, ,
垂足为,点在的延长线上, .
（1）求证:四边形 是矩形；
证明：，分别为， 的中点，
是的中位线， ，
，
四边形 是平行四边形，
又， ，
四边形 是矩形.
（2）若 ,,,求和 的长.
解：， ，
，
是等腰直角三角形， ，
， .
由（1）可知，是的中位线，四边形 是矩形，
，， ，
，
，
为 的中点， .
命题点2 菱形
炼方法 利用菱形的性质求长度、角度的方法
1.求长度：
（1）常利用等腰三角形的性质求解；
（2）若菱形中有一个角为 ，则连接另外两个角的顶点的对角线所分割成的两个三角
形为等边三角形；
（3）菱形的两条对角线将其分割成四个全等的直角三角形，可利用直角三角形的性质或
三角函数求解.
2.求角度：
（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质转化求角;
（2）可根据菱形的对角线平分一组对角求角度.
5.[2025江苏常州]如图，在菱形中，、 是对角线，.若 ，
则 的长是( )
B
A.4 B.5 C.6 D.10
6.[2017河北]求证：菱形的两条对角线互相垂直.
已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点 .
求证： .
以下是排乱的证明过程：
①又 ，
，即 .
四边形是菱形， .
证明步骤正确的顺序是( )
B
A. B. C.
D.
7.[2025邯郸武安模拟]如图，在菱形中，是边上一点，且 ，
有下列结论：；是等边三角形； 是等腰三角形；
.其中结论正确的是________（填序号）．
①②④
解析 连接 ，
四边形 是菱形，
， ,
,是等边三角形，， ,
， ,
， ， ，
在与 中,
,
， ，故①正确;
,
是等边三角形，故②正确;
, ,
又 , ,故④正确;
为钝角，且不一定等于, 不一定是等腰三角形，故③错误.
综上所述，结论正确的有①②④.
命题点3 正方形
8.[2017河北]边长为 的正方形铁片如图所示，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四
种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位： ）不正确的是( )
A
A. B. C. D.
9.[2024邯郸模拟]八年级的数学学习中，有如下问题：如图，平行四边
形的对角线，交于点，分别以点，为圆心， ，
的长为半径画弧，两弧交于点，连接， .请说明当平行四边
C
A.嘉嘉说的对 B.淇淇说的对
C.嘉嘉和淇淇说的合在一起才对 D.无法判断
形的对角线满足什么条件时，四边形 是正方形？
嘉嘉说：满足；淇淇说：满足 .
请判断以下结论，正确的是( )
10.[2025保定竞秀模拟]小明用四根长度相同的木条制作了
能够活动的菱形学具，他先把学具摆成如图1所示的菱形，
并测得 ，对角线 ，接着把学具摆成
如图2所示的正方形，则图2中正方形对角线 的长为
_____ ．
11.[2025北京]如图,在正方形中,点在边上, ,垂足为
.若, ,则 的面积为_ _.
命题点4 中点四边形
12.[2024保定模拟]如图所示，在四边形中，、、、分别是、、 、
的中点，若要使四边形是菱形，则四边形 只需要满足一个条件，这个条件
可以是( )
D
A. B. C.对角线 D.
13.[2025邯郸武安模拟]如图，,,,分别为四边形 各边的中点，
顺次连接,,,，得到四边形 ，下列描述错误的是( )
B
A.四边形 一定是平行四边形
B.当 时，四边形 为矩形
C.当时，四边形 为菱形
D.当时，四边形 为矩形
解析 连接， .
，，,分别为四边形 各边的中点，
,,,,且,, ,
,
,,且 ,
,
四边形 为平行四边形，故A描述正确;
当 时， ,
, ,
平行四边形 不是矩形，故B描述错误;
当时，, 四边形 为菱形，故C描述正确;
当 时，
由,,易知 ,
平行四边形 为矩形，故D描述正确.故选B.(共28张PPT)
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.多边形与平 行四边形 多边形的概念及 性质 5年4考 2.特殊的平行 四边形 矩形 5年3考
菱形 5年2考
平行四边形的性 质与判定 5年_____考 正方形 5年3考
中点四边形 —
模块体系构建
第1讲 多边形与平行四边形
目标领航
考点通关
命题研究
考点1 多边形的性质
1.多边形的性质
（1）内角和： 边形的内角和等于①_______________；
（2）外角和：任意多边形的外角和都等于②______；（多边形计算中的突破口）
（3）对角线：从边形的一个顶点可以引出条对角线，将 边形分为
个三角形，边形有 条对角线；
（4）不稳定性： 边形具有不稳定性.
2.正多边形的性质
（1）正 边形的各边相等，各内角相等，每个内角为③__________；各外角相等，
每个外角为④_ ____.
（2）正边形都是轴对称图形,有 条对称轴，边数为偶数的正多边形还是中心对
称图形.
温馨提示
求正多边形的边数时，可以运用多边形内角和公式，也可以利用“任何多边形的外角和都
为 ”这一性质解决，边数 .
1.[北师八下P157习题改编] 若一个多边形的每一个外角都是 ，则这个多边形是____
边形，它的内角和为_______ .
2.如图，七边形中，，的延长线交于点，外角，，， 的和等
于 ，则 的度数是_____.
八
1 080
考点2 平行四边形的性质及判定
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
2.平行四边形的性质
边 两组对边分别平行；两组对边分别相等.如 ⑤____，，, ____________________________________________
角 两组对角分别相等；相邻的两个角互补.如 ， ⑥______ 对角线 对角线互相平分.如， 对称性 是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 （点 ） 不稳定性 平行四边形具有不稳定性
方法点睛
求长度或角度时，一般利用平行四边形的性质转化线段或角之间的等量关系.
（1）对角相等、对边平行可以得到相等的角；
（2）对边相等、对角线互相平分可得到相等的线段；
（3）当有角平分线时，可利用“平行 角平分线”得到等腰三角形，再得到相等的线段或角.
3.平行四边形的判定
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边⑦____________的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（拓展）
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行且相等
方法点睛 平行四边形的判定思路
1.
2.
3.已知两条对角线证对角线互相平分.
3.如图，在平行四边形中，点，分别在， 上.
（1）[人教八下P50习题改编] 给出四个条件： ；
；平分； .只添加其中一个条件即可
判定四边形 为平行四边形的是____________.（写出一个即可）
②（或）
（2）[人教八下P50习题改编] 若平分，， ，则
____ .
50
命题点1 多边形的概念及性质
方法 命题点1
与多边形有关的计算
1.多边形的外角和不随着边数的变化而变化，但内角和随着边数的变化而变化，且边数每
增加1，内角和就增加 .
2.如果正多边形的边数为,那么可以根据 来求外角的度数;如果已知正多边形的外
角的度数,那么可以根据外角和为 求正多边形的边数.
1.[2019河北]下列图形为正多边形的是( )
D
A. B. C. D.
2.[2022河北]如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形 的外角和
的度数分别为 ， ，则正确的是( )
A
A. B.
C. D.无法比较 与 的大小
3.[2024河北]直线与正六边形的边,分别相交于点, ,
如图所示，则 ( )
B
A. B. C. D.
4.变式 [2021河北]如图，点为正六边形对角线 上一点，
，，则 的值是( )
B
A.20 B.30 C.40 D.变化的
5.[2020河北]正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则 ____.
12
命题点2 平行四边形的性质与判定
方法 命题点2
平行四边形的判定方法
1.如果题目中边的条件较多，就考虑使用边相关的定理或定义进行判定，即两组对边分别
平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分
别相等的四边形是平行四边形.
2.如果已知条件主要是关于对角线的，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进
行判定.
3.如果已知条件是针对角的，应想到利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行
判定.（拓展）
易错 命题点2
一组对边平行，另一组对边相等不能证明四边形是平行四边形（有可能是等腰梯形）.
方法 命题点2
平行四边形中辅助线的作法
1.连接对角线或平移对角线，构造相等或平行的线段；
2.过顶点作对边的垂线，构造直角三角形；
3.连接对角线交点与一边的中点或过对角线交点作一边的平行线，构造中位线；
4.连接顶点与一边上一点或连接顶点与一边延长线上一点，构造相似三角形.
6.[2022河北]依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
D
A. B. C. D.
7.[2024河北]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，,平分的外角，点是 的中点，连接
并延长交于点,连接 .
_______________________________________________
求证：四边形 是平行四边形.
证明：, .
,,, ①.
又，,（②） .
四边形 是平行四边形.
若以上解答过程正确，①②应分别为( )
D
A., B., C., D.,
续表
8.[2020河北]如图，将绕边的中点顺时针旋转 .嘉淇发现，旋转后的
与 构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“，”和“ 四边形……”之间作补充.
下列正确的是( )
B
A.嘉淇推理严谨，不必补充 B.应补充：且
C.应补充：且 D.应补充：且
9.[2023河北]综合实践课上，嘉嘉画出,利用尺规作图找一点,使得四边形 为
平行四边形.图1～图3是其作图过程.
（1）作 的垂直平分 线交于点 ； _____________________________________ （2）连接，在 的延长线 上截取 ； __________________________________________________ （3）连接， ，则四边
形 即为所求.
__________________________________________________
图1
图2
图3
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
C
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
10.[2021河北]如图1，中，，为锐角，要在对角线上找点 ，
，使四边形 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是
( )
图1
图2
A
A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙
11.[人教八下P51习题改编] 如图1所示，平行四边形中，与交于点 ，过
点的直线分别交，于点， .
图1
（1）求证： .
证明： 四边形是平行四边形，， ，
，
又 ，
，
.
（2）直线是否将平行四边形 分成面积相等的两部分？说明理由.
解:是.理由如下：
四边形 是平行四边形，
，， ，
，
，
由（1）知 ，
，
，
直线将平行四边形 分成面积相等的两部分.
（3）如图2，张大爷家有一个平行四边形的菜园，园中有一口水井 ，张大爷计划把菜园
平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请帮助张大爷把菜
园分开.
解：连接、交于点，作直线分别交、于点、 ，如图.
与（2）同理可得，四边形和四边形 的面积相等，
则图中 把平行四边形菜园平均分成两部分，符合题意.
图2

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