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(共18张PPT)
考点1 分式方程的概念及解法
1.分式方程：①______中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.增根：使原分式方程中的分母的值为②___的根.
分母
温馨提示 分式方程的增根与无解并非同一概念
1.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程中的分母为0 的根.
2.分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最
简公分母为0.
3.分式方程的解法（基本思路:分式方程 整式方程）
最简公分母
考点2 分式方程的实际应用
1.解题步骤
2.常见题型
（1）工程问题：（有时工作总量可以看作“1”,这时,=工作效率.） 工
作时间;
时间差; 时间差
（甲工作效率比乙低）.
（2）购买问题： 数量.
（3）行程问题：时间; 时间差.
1.解分式方程 ，分以下四步，其中错误的一步是( )
D
A.确定最简公分母是
B.方程两边同乘，得整式方程
C.解这个整式方程，得
D.原方程的解为
2.某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖掘2米，结果提前4天完成任
务，求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数.小明同学根据题意列出方程：
，则
方程中未知数 表示__________________________.
原计划每天挖掘隧道的长度
3.[新人教八上P169习题 改编]解方程:
（1） ;
解:无解.
（2） .
解： .
命题点1 分式方程及其解法
易错 命题点1
解分式方程常见的误区：
1.忘记验根；
2.去分母时整式部分漏乘；
3.去分母或去括号时，没有注意符号的变化.
妙招
解决此类问题需正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，
将新定义转化为分式中的常规运算，用类比的方法迅速地转化到已学的知识结构中，结
合所学知识点解决新定义问题.
1.新定义 [2024石家庄模拟] 定义运算“”:若,则 的值为
( )
B
A. B.或10 C.10 D.或
2.[2025邢台信都三模]若,则 ___.
6
3.[2025邯郸模拟]如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被涂掉了一部分.
（1）若被涂掉的部分是一个代数式，求这个代数式；
解:这个代数式为
.
（2）若被涂掉的部分是常数1，求 的值.
解：由（1）得 ,
去分母，得 ,
解得 ，
经检验， 是原分式方程的根,
的值为4.
4.已知关于的分式方程 .
（1）若此方程有增根，则增根为______， 的值为_ ___；
（2）若此方程无解，则 的值为_ ______；
（3）若此方程的解为非负数，则 的取值范围为_ _______________.
1或
且
命题点2 分式方程的实际应用
课标 命题点2
2022年版课标新增“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程”，中考
试题逐渐注重创设真实问题情境，发展抽象能力，强化应用意识.
方法 命题点2
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意，找出相等关系，在确定相等关系时，一
定要理解一些基本的数量关系，如：工程问题中，工作效率工作量 工作时间；行程
问题中，时间路程 速度；购买问题中，总价 单价 数量.
5.课标新增 [2025张家口桥东模拟] 我国古代有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：
把一封信送到900里（里为古代长度单位）外的地方，若用慢马送，则比规定时间晚1天
送达；若用快马送，则比规定时间早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规
定的时间为多少天？马的速度为多少？下列说法错误的是( )
B
A.设规定的时间为天，所列方程为
B.设慢马的速度为里/天，所列方程为
C.快马用了4天送达
D.慢马用了8天送达
6.[2025江苏扬州]某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签,已知甲款
书签价格是乙款书签价格的 倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的
数量少3个.求这两款书签的单价.
解：设乙款书签的单价是元，则甲款书签的单价是 元，
根据题意得 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元．(共30张PPT)
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.一次方 程（组） 等式的性质 — 3.一元二 次方程 一元二次方程及其解 法 5年2考
一元一次方程及其 解法 5年1考 根的判别式及根与系 数的关系 5年1考
二元一次方程组及 其解法 — 一元二次方程的实际 应用 —
一次方程（组）的 实际应用 5年4考 4.一元一 次不等式 （组） 不等式的性质 5年1考
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
2.分式方 程 分式方程及其解法 5年1考 4.一元一 次不等式 （组） 一元一次不等式 （组）及其解集表示 5年3考
分式方程的实际应 用 — 一元一次不等式 （组）的应用 5年2考
续表
模块体系构建
第1讲 一次方程（组）
目标领航
考点通关
命题研究
考点1 等式的基本性质
性质1 等式两边同时加（或减）同一个数或式子，结果仍相等,即若 ，则 ①______ 应用：解方程中的
移项
性质2 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数 （一定不能除以含未知数的整式,否则易漏解），结果仍相等, 即若，则②____；若，，则 应用：解方程中的
去分母和系数化为
1
延伸 （对称性）若，则 （传递性）若， ，则③______
. .
1.[新人教七上P117练习改编]下列条件:; ;
;;,其中根据等式的性质可以推导出 的
条件有_________（填序号）.
①②⑤
考点2 一次方程（组）及其解法
1.方程的有关概念
一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的次数是④___，等号两边都
是整式的方程
二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方
程
二元一次方程组 含有⑤______未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的
次数都是1的一组方程
二元一次方程组的解 二元一次方程组中的方程的公共解
1
两个
2.解一元一次方程的步骤
3.二元一次方程组的解法（基本思想：二元一次方程组 一元一次方程）
（1）代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数是1或 时，
选择代入消元法比较简单.
（2）加减消元法：
Ⅰ.当方程组中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，选择加减消元法比较简单；
Ⅱ.当方程组中同一未知数的系数的绝对值不相等或不成整数倍关系时，找出它们的最小
公倍数，使其系数的绝对值相等，再使用加减消元法求值.
. .
2.[新人教七上P115练习改编]若是关于的一元一次方程，则 的
值为___.
0
3.解方程组：
（1）通过去分母可将原方程组化为 这一步的依据是_____________.
（2）将③代入④，得________________，解得_____，将的值代入③，得 _____.
这种消元方法称为______消元法.
等式的性质2
代入
（3）请用不同于（2）的消元方法解此方程组.
解:略.
考点3 一次方程（组）的实际应用
解题 步骤 审题 设元 找等量关系 列方程（组） 解方程（组） 检验并作答
常见 问题 （1）利润问题：售价标价×折扣（打几折就是标价的十分之几），销售额 售
价×销量，利润售价-⑥______，利润率 .
（2）工程问题：工作量 ⑦__________×工作时间.
（3）行程问题：路程 速度×时间.
A.相遇问题：全路程甲走的路程 乙走的路程.
B.追及问题：
.同地不同时出发：前者走的路程 追者走的路程；
.同时不同地出发：前者走的路程两地间的距离 追者走的路程
进价
工作效率
知识点睛
1.设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及
比值，可以设每一份为 .
2.列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）
多少、几倍、几分之几等.
4.[新人教七上P136练习改编]某书店同时卖出了进价不同的和 两本课外书,售价均为
每本20元.书店工作人员发现书盈利了,书亏损了 ,则售出这两本书书店_______
___.（从“盈利了”“亏损了”“不盈利也不亏损”“条件不够无法判断盈亏”中选填）
亏损了
命题点1 等式的性质
1.[2018河北]有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”,其中,同一种物体的质量都相等.现左、右
手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是( )
A
A. B. C. D.
2.[2025石家庄模拟]如图，小明将等式 进行变形，最后得到一个错误
的结论，则下列说法正确的是( )
C
A.第一步错误
B.第二步错误
C.第三步错误
D.三步都正确，原等式错误
命题点2 一元一次方程及其解法
易错 命题点2
方程去分母时，若分子为多项式，则应该将分子用括号括起来，防止出现变号错误.
3.[2024沧州模拟]右面是解一元一次方程 的步骤，下列说法错
误的是( )
C
A.①步的依据是分配律 B.②步的依据是等式的性质1
C.③步的依据是加法结合律 D.④步的依据是等式的性质2
4.[2025廊坊广阳一模]整式的值随取值的不同而不同,下表是当 取不同值时对应
的整式的值,则关于的方程 的解为( )
0 1 2
4 0
A
A. B. C. D.
5.[2025四川成都]任意给一个数,按下列程序进行计算.若输出的结果是15,则 的值为___.
3
命题点3 二元一次方程组及其解法
6.[2025保定竞秀二模]已知二元一次方程组的解是 则*表示的方程可
能是( )
D
A. B. C. D.
7.[2025江苏徐州]若二元一次方程组的解为则 的值为___.
1
命题点4 一次方程（组）的实际应用
考向 命题点4
1.列一次方程（组）并求解、、、 ；
2.已知方程组反推题目条件 .
方法 命题点4
对于一次方程（组）的实际应用问题，解题关键是通过分析题意抽象出数学问题，找出
合适的等量关系，列出方程（组）.在设未知数时，可以直接设元，也可以间接设元.间接
设元时，最后要回归到题目中的问题，不要解完方程就直接作答，从而答非所问.
8.数学文化 [2022河北]“曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照
他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵
出.然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，
这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石，船上
只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为
120斤（斤为古代质量单位），设每块条形石的质量是 斤，则正
确的是( )
B
A.依题意 B.依题意
C.该象的质量是5 040斤 D.每块条形石的质量是260斤
9.[2024山东泰安]我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九
百九十九文钱，可买甜果、苦果共一千个，若 ， ，试问买甜果、苦果各几个？
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组 根据
已有信息，题中用“ ， ”表示的缺失的条件应为( )
D
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
10.[2025河北]甲、乙两张等宽的长方形纸条,长分别为,.如图,将甲纸条的与乙纸条的
叠合在一起,形成长为81的纸条,则 ____.
99
11.积分问题 [2023河北]某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若
投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下:
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次.
（1）求珍珍第一局的得分;
解:珍珍第一局的得分为 （分）.
（2）第二局，珍珍投中A区 次,B区3次,其余全部脱靶，若本局得分比第一局提高了13分，
求 的值.
解：珍珍第二局的得分为 分.
由第二局得分比第一局提高了13分可得 ，
解得 .
12.[2025河北]一般固体都具有热胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在
（本题涉及的温度均在此范围内）,原长为的铜棒、铁棒受热后,伸长量
与温度的增加量之间的关系均为,其中 为常数,称为该金属的线膨胀系数.已
知铜的线膨胀系数（单位:/）;原长为的铁棒从加热到
伸长了 .
（1）原长为的铜棒受热后升高 ,求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）.
解: .
答：该铜棒的伸长量为 ．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长 ,求该铁棒温
度的增加量.
解：由题意得 ，
解得 .
该铁棒温度的增加量为 .
答：铁的线膨胀系数为，该铁棒温度的增加量为 ．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从 开始分别加热,当它们的伸长量相同时,若铁棒的温度
比铜棒的高 ,求该铁棒温度的增加量.
解：设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意得
，
解得 .
答：该铁棒温度的增加量为 ．(共27张PPT)
考点1 不等式的有关概念及性质
1.不等式的有关概念
不等式 用符号“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”连接而成的式子，叫作不等式.
这些用来连接的符号统称不等号
不等式的解集 能使不等式成立的未知数的值的全体叫作不等式的解集
2.不等式的性质
性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或同一个整式），不等号的方向不 变，即如果，那么①___ 应用：解
不等式中
的移项
性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 即如果，，那么②___（或③___ ） 应用：解
不等式中
的去分母
（或系数
化为1）
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 即如果，，那么④___（或⑤___ ）
考点2 一元一次不等式（组）及其解集表示
一元一次 不等式 概念 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数
都是1的不等式
解法 步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1（注意系数
的正负，若系数是负数，则不等号变号）
解集在数轴上的表示：（在表示解集时，“”“ ”表示包含，要用实
心圆点表示;“”“ ”表示不包含，要用空心圆圈表示）
__________________________________________________________________________________________________
. .
. .
. .
. .
一元一次 不等式组 概念 把几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立在一起，就组成一 个一元一次不等式组 解法 先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分，即为 不等式组的解集 不等式 组解集 的类型 不等式组（设 ） 解集 数轴表示 口诀
⑧______ ________________________ 大大取大
⑨_______ ________________________ 小小取小
续表
一元一次 不等式组 不等式 组解集 的类型 ⑩__________ ________________________ 大小小大中间
找
无解 ________________________ 大大小小无处
找
续表
考点3 一元一次不等式（组）的应用
1.用不等式（组）解决实际问题的步骤：
2.实际问题中常见的不等关系
常见词语 大于、多于、 超过 小于、少于、 不足 至少、不低于、不 小于 至多、不高于、不
大于
符号
1.[新人教七下P128习题T2、T3改编]“与 的差不大于1”用不等式表示为__________；在
不等式中，将不等式两边同时除以 可得________.
2.（1）小明准备了100元用于购买笔记本和钢笔共30件.已知每本笔记本2元，每支钢笔5
元，求小明最多能买多少支钢笔.设小明能买 支钢笔，则可列出不等式为______________
_________.
（2）某小区积极进行小区绿化，计划种植，两种树苗共600棵.已知 种树苗的数量不
少于种树苗数量的一半，若设种树苗有 棵，则可列出不等式为_ ______________.
3.已知关于的一元一次不等式 .
（1）解此不等式，去分母正确的是( )
B
A. B. C. D.
（2）当 时，解此不等式并把解集表示在数轴上；
解：当时，，解得 .
将解集表示在数轴上，如图.
（3）若不等式的解集为，则 的取值范围是________；
.
（4）求不等式组 的整数解.
解：解不等式①，得.解不等式②，得 .
不等式组的解集为 ，
该不等式组的整数解为3，4，5.
命题点1 不等式的性质
方法 命题点1
结合原不等式分析变化后的不等式：
当两边发生相同加减变化时，结论一定成立；当两边发生相同乘除变化时，结合乘除数
值的正负判断结论是否成立.
3.[2025广西]有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有克水、克水,.都加入 克水后,
下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是 ( )
A
A. B. C. D.
1.[2021河北]已知，则一定有，“ ”中应填的符号是( )
B
A. B. C. D.
2.T1变式 若 ，则下列式子一定成立的是( )
B
A. B. C. D.
命题点2 一元一次不等式（组）及其解集表示
考向 命题点2
1.列一元一次不等式 ；
2.解一元一次不等式（组），，， ；
3.已知不等式（组）解集的情况，求参数的取值范围 .
4.[2019河北]语句“的与 的和不超过5”可以表示为( )
A
A. B. C. D.
5.[2024河北]下列数中，能使不等式成立的 的值为( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
妙招
已知不等式（组）的解集，确定不等式（组）中参数的取值范围，有以下两种方法：
①分类讨论确定；
②借助数轴确定.
6.[2025四川南充]不等式组的解集是,则 的取值范围是_______.
7.[2022河北]整式的值为 .
（1）当时，求 的值；
解：由题意知 .
当时， .
（2）若的取值范围如图所示，求 的负整数值.
解：依题意，得 ，
解得 .
的负整数值为， .
8.[2025河北]
（1）解不等式 ,并在下图所给的数轴上表示其解集；
解：解不等式，得 .
在数轴上表示如图.
（2）解不等式 ,并在下图所给的数轴上表示其解集；
解：解不等式，得 .
在数轴上表示如图.
（3）直接写出不等式组 的解集.
解：不等式组的解集为 .
方法
在数轴上表示不等式（组）的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键.解一元一
次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分.
9.[2020河北]已知两个有理数： 和5.
（1）计算： ；
解： .
（2）若再添一个负整数，且，5与这三个数的平均数仍小于，求 的值.
解：由题意得 ，
解得 ，
为负整数，
的值为 .
命题点3 一元一次不等式（组）的应用
方法 命题点3
利用不等式（组）解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低
于”“不少于”等反映数量关系的词语列出不等式（组）.问题的答案要根据解集和题意两方
面来确定（题意中的隐含条件，比如实际问题是否取整数），使实际问题有意义.
10.利润问题 [2025张家口万全摸底] 某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元／件，
售价为400元／件，现准备打折销售，在保证利润率不低于 的
情况下，打 折，则下列说法正确的是 ( )
D
A.依据题意得 B.依据题意得
C.该款羽绒服可以打7.5折 D.该款羽绒服最多打7.7折
11.[2021河北]已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有 个.
（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程：
.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确.
解：由已知，得 ，
解得. 不是整数，
淇淇的说法不正确.
（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品
牌球最多有几个.
解：由题意，得 .
解得 .
是整数，
品牌球最多有36个.
12.[2025湖北]某商店销售A,B两种水果 水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克.
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果
各买了多少千克
解：设A水果买了千克，B水果买了 千克，
由题意得
解得
答：A水果买了2千克，B水果买了1千克.
（2）妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不
超过50元.设小明买A水果 千克.
解：由题意得小明买B水果 千克.
①若这两种水果按标价出售,求 的取值范围.
解：由题意得 ，
解得 ，
又 ，
的取值范围为 .
②小明到这家商店后,发现A,B两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折；一次购买B水
果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折.（注:“打七五折”指按标价
的出售）若小明合计付款48元,求 的值.
解：由题意得 ，
解得 .
答： 的值为1.25.(共21张PPT)
考点1 一元二次方程的概念及解法
1.概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是①___的整式方程是一元二次方程.
2
2.一般形式：，其中，，是常数， .
. .
3.解法（基本思路：降次）
解法 适用情况 直接 开平 方法 适用于形如或 的方程 因式 分解 法 适用于一边为0，另一边易于分解成两个一次 因式的乘积的方程，比如 注：方程求解过程中，等式两边
不能同时约去含有未知数的相同
因式
解法 适用情况
公式 法 适用于所有一元二次方程，求根公式为②_ __________ .
步骤：（1）先把一元二次方程化为一般形式： ;
（2）判断 的正负；
（3）若，则将，，代入求根公式计算，若 ，则原
方程无实数根
续表
解法 适用情况
配方 法 可用于所有一元二次方程.遇到二次项系数化为1后，一次项系数是偶数，或各项
的系数的绝对值比较小且便于配方的一元二次方程时配方法较为简便.
步骤：以 为例.
（1）移项：将常数项移到等号的右边，得③_____________；
（2）变形：将二次项系数化为1，得④____________；
（3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
，即 ；
（4）求解：用直接开平方法求解，得⑤_________________________
续表
考点2 根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程，其根的判别式为 ,根的判别式与一元二
次方程的根的关系如下：
（1）当时，原方程有⑥____个不相等的实数根，为 .
（2）当时，原方程有两个相等的实数根，为 .
（3）当 时，原方程没有实数根.
两
2.根与系数的关系（2022年版课标调整为考查内容）
（1）基本关系：若关于的一元二次方程有两个根分别为 ，
，则⑦____，⑧__.注意运用根与系数的关系的前提条件是 .
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式
变形为含有， 的式子，再运用根与系数的关系求解.
（3）常见变形： ，
， 等.
易错警示
若所给方程的二次项系数含有字母，求该字母的取值范围时，应记住一元二次方程二次
项系数不为0 这一条件．若未指明方程类型，需分情况（二次项系数为0 和二次项系数
不为0）讨论.
知识拓展 一元二次方程的根与系数，， 的关系
1.当时，方程 必有一根，为0；
2.当时，方程 必有一根，为1；
3.当时，方程必有一根，为 .
1.已知是关于 的一元二次方程.
（1） ____.
（2）若此方程有一个根为1，则 的值为___，另一个根为_ ___.
3
（3）已知此一元二次方程有两个不相等的实数根.
的取值范围是_________；
②当 取最小整数值时，此一元二次方程的解为_________________.
，
（4）已知此一元二次方程的两根分别为， .
__；②当时，____；③当时， ___.
（5）当 时，用公式法解此方程.
解：当时，解得， .
考点3 一元二次方程的应用
一般 步骤 （1）审题；（2）设未知数；（3）列一元二次方程；（4）解一元二次方程；
（5）检验根；（6）作答
常见 题型 （1）平均增长率（降低率）问题：，表示基数， 表示平均增长
率（降低率），表示变化的次数，表示变化 次后的量.
（2）利润问题：利润售价-成本；利润率 .
常见 题型 （3）面积问题：直接利用相应图形的面积公式列方程； 将不规则图形通过
割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
______________________________________________________________________________________________
（4）握手（单循环赛）与互送礼物（双循环赛）问题：
握手总次数为人数,礼物总份数为人数 .
（5）“每每型”问题：以降价为例，单价每降低元，销量增加 件.
若降价元，则原单件利润 总利润
续表
2.[人教九上P22习题改编]如图,在一块长、宽 的矩形空地上,修建同样宽的两
条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行）,剩余部分栽种花草,要使剩余部分
的面积为,则修建的道路的宽应为___ .
1
命题点1 一元二次方程及其解法
方法 命题点1
1.当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法解方程较为简便；
2.配方法和公式法中，当各项系数均为整数且绝对值较小时，首选公式法（万能方法）.
3.[2024四川南充]已知是方程的一个根，则 的值为____.
4.新定义 [2017河北] 对于实数，，我们用符号，表示， 两数中较小的数，
如，.因此，{-，}=______；若，，则
________.
2或
1.[2024河北]淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求得的答案比正确答案小1，
则 ( )
C
A.1 B. C. D.1或
2.[2025邯郸涉县质检]下列方程中，以 为解的是( )
B
A. B. C. D.
命题点2 根的判别式及根与系数的关系
易错 命题点2
判断一元二次方程根的情况时,应先将一元二次方程化为一般形式,即
，再利用 进行判断,要特别注意一元二次方程的隐含条
件:二次项系数不为0,即 .
6.变式 [2025石家庄模拟]若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则 的值不可以是( )
C
A.0 B. C.3 D.
5.[2019河北]小刚在解关于的方程时，只抄对了， ，
解出其中一个根是.他核对时发现所抄的比原方程的 值小2，则原方程的根的情况
是( )
A
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是 D.有两个相等的实数根
8.[2025保定竞秀二模]已知关于的一元二次方程 有两个实数根，
其中一个根是另一个根的4倍，则 的值为___.
4
7.变式 [2025邢台信都三模]如图，点，在不完整的数轴上表示的数分别为， ，原
点与点，均不重合.若，则关于的方程 的根的情况是
( )
B
A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.两根之和为
命题点3 一元二次方程的实际应用
方法 命题点3
列一元二次方程解应用题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.审题找出题中的等量关系,
设出未知数,确定题目类型,建立数学模型,列方程解得未知数,根据实际意义进行根的取舍,
写出答案.
10.增长率问题 [2025重庆] 某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该
景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为( )
B
A. B. C. D.
9.面积问题 [2025福建] 为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总
长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的
矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为 米,根据题意可列方
程为( )
C
A. B. C. D.

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