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(共18张PPT)
考点1 二次根式的有关概念
1.二次根式：一般地，形如的式子叫作二次根式，其中 叫作被开方数.
2.二次根式有意义的条件：被开方数①____________0.
大于或等于
被开方数不含②______,
被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
分母
4.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式.
3.最简二次根式同时满足两个条件
. .
1.[人教八下P5习题改编]要使有意义，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
2.[人教八下P10练习 改编]下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
考点2 二次根式的性质
1.③___ .
2.
3..
4.或 .
5.的双重非负性：
易错点睛
当时， .
考点3 二次根式的运算
加减运算 一般地，二次根式加减时，可先将各二次根式分别化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 知识拓展
还可以推广为
乘法运算 ④_____ 除法运算 分母有理化 ;, ,且
乘法公式在 二次根式中 的应用 ;
续表
3.[人教八下P19复习题改编]计算 的结果是( )
A
A.1 B. C.5 D.9
4.计算：
（1） ___;
（2） ___;
（3） ___;
（4） ___;
（5） _______;
（6） _____;
9
9
9
9
（7） ____;
（8） _____;
（9） ____;
（10） ___.
2
命题点1 二次根式的有关概念及性质
方法 命题点1
1.遇到含有二次根式的题时，切勿忘记二次根式的双重非负性，即且 .
2.二次根式、绝对值、偶次方都具有非负性，若几个非负式子的和为0，则这几个非负式
子的值均为0.
1.[2024廊坊校级三模]下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
2.[2024石家庄正定模拟]对于二次根式的乘法运算，一般地，有 .该运算法
则成立的条件是( )
D
A., B., C., D.,
3.[2025北京]若在实数范围内有意义,则实数 的取值范围是______.
非负数相关计算
4.[2024四川成都]若,为实数，且,则 的值为___.
1
命题点2 二次根式的运算
易错 命题点2
1.切记 ；
2.二次根式的运算中，如果最终结果含二次根式，那么要把二次根式化为最简二次根式，
且分母中不含二次根式.
7.[2024邢台任泽模拟]若,,则 ( )
D
A.2 B. C. D.3
8.[2020河北]已知：，则 ___.
6
9.变式 [2025邯郸模拟]计算：,则 表示的数是_____.
5.[2025河北]计算: ( )
B
A.2 B.4 C.6 D.8
6.[2023河北]若,,则 ( )
A
A.2 B.4 C. D.
命题点3 二次根式的估值
方法 命题点3
1.确定 在哪两个相邻整数之间：
（1）先对 平方;
（2）找出与平方后所得数相邻的两个开得尽方的整数；
（3）对两个整数开方即可确定 在哪两个相邻整数之间.
2.确定 离哪个整数较近：
（1）首先确定 在哪两个相邻整数之间;
（2）判断被开方数与这两个相邻整数中哪个整数的平方更接近， 就离哪个整数较近.
妙招 命题点3
常见的无理数的近似值:；；； ；
.
10.已知,那么与 最接近的整数为 ( )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
11.[2024江苏盐城]矩形相邻两边长分别为、,设其面积为，则 在哪两
个连续整数之间( )
C
A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5
12.变式 估计 的值应在( )
B
A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间
13.变式 在数轴上标注了四段范围,如图，则表示 的点落在( )
C
A.段① B.段② C.段③ D.段④
14.[2024河北]已知,, 均为正整数.
（1）若,则 ___；
（2）代数推理若,,则满足条件的的个数总比 的个数少
___个.
3
2
解析 , ，
， ，
，， ，
满足条件的的个数总比 的个数少2个.(共34张PPT)
考点1 代数式
1.定义:用基本运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,称为代数式.
单独的一个数或字母也是代数式.
2.列代数式：把问题中的数量关系用代数式表示出来.
3.代数式求值
直接代入 法 将已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体代入 法 （1）观察已知条件和所求代数式的关系；
（2）所求代数式变形后可看成已知代数式与一个常数的积，变形过程一般
会用到因式分解；
（3）把已知代数式或局部看成一个整体，代入所求代数式中求值
温馨提示 列代数式常见的模型
1.打折问题:原价为的商品打八折后的价格为 ；
2.增长率问题:原价为的商品价格增长后的价格为 ；
3.数字问题：一个两位数的个位上的数字为，十位上的数字为 ，则这个两位数可表示
为 .
考点2 整式的相关概念
单项式 定义 数或字母的①____组成的式子（单独的一个数或一个字母也是单项式） 系数 单项式中的数字因数 _____________________________________________________
次数 一个单项式中,所有字母的指数和 （不包含系数中的指数） 多项式 定义 几个单项式的②____ 项 多项式中的每个单项式（其中不含字 母的项叫作常数项） _______________________________________________________________
次数 多项式中次数最高的项的次数 整式 单项式和多项式统称整式 积
和
. .
. .
考点3 整式的运算（含乘法公式）
1.加减运算（实质：合并同类项）
同类项（同类项与系数无 关，与字母的顺序也无关） 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同（所有的常数
项都是同类项）
合并同类项 把同类项的系数相加，所含字母和字母的指数不变
去括号法则 （1）括号前是“ ”，去括号后，括号内各项不变号.如
③__________.
（2）括号前是“ ”，去括号后，括号内每一项都变号.如
④__________（口诀：“”不变,“ ”变.）
2.幂的运算，均为整数，
同底数幂乘法 底数不变，指数相加，即 ⑤______
同底数幂除法 底数不变，指数相减，即
幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 ⑥_____
积的乘方 先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
温馨提示 积的乘方运算
1.当括号内有“ ”号时，
2.当积中含数字因式时，一定也要给数字因式进行乘方运算.
知识拓展 幂的运算法则的推广
（1）公式的推广：,,都是整数， .
（2）公式的推广：,,均为整数， .
（3）公式的推广：为整数, .
3.乘法运算
单项式乘 单项式 将系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同
它的指数作为积的一个因式
单项式乘 多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如
多项式乘 多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
如
乘法公式 （1）平方差公式： ⑦________；
（2）完全平方公式： ⑧______________（常用恒等变形：
）
知识拓展 乘法公式的几何背景
平方差公式的几何背景
完全平方公式的几何背景
4.除法运算
单项式除以单 项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式，如
多项式除以单 项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.如
考点4 因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解.
2.方法
1.[新人教七上P73练习T3改编]某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过15立方米，
每立方米元；超过部分每立方米 元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则
应缴水费为( )
D
A.元 B.元 C.元 D. 元
2.下列各组式子中，不一定相等的一组是( )
D
A.与 B.与
C.与 D.与
3.化简 的结果为( )
D
A.2 B.4 C. D.
4.对于单项式 .
（1）该单项式的系数为_ ___，次数为___.
3
（2）若与 是同类项.
①_ _， __；
②若，，则 ____.
12
（3）计算： _ ____.
（4）已知整式与的积为，则 ________.
（5）在（4）的条件下，若是一个完全平方式，则多项式 可以是_______________
_______________（写出一个即可）.
（答案不唯一）
命题点1 代数式、整式的概念
考情 命题点1
代数式的考查多借助现实情境，要求能分析具体问题中简单的数量关系，并用代数式表
示，通过适当变形求代数式的值.考向一般有：
1.代数式的意义 ；
2.列代数式 ；
3.代数式求值 .
方法 命题点1
列代数式时，要善于将文字语言转化为数学语言，实际问题中的代数式，要明确各量之
间的关系，如总价 数量×单价等，根据实际问题提供的数量关系列出代数式.
1.[2023河北]代数式 的意义可以是( )
C
A.与的和 B.与的差 C.与的积 D.与 的商
2.[2023河北]根据下表中的数据，写出的值为_ _， 的值为____.
结果 代数式 2
7
1
3.[2021河北]某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购
进本甲种书和本乙种书，共付款 元.
（1）用含，的代数式表示 ；
解: .
（2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示 的值.
解：当, 时，
.
命题点2 整式的运算
考向 命题点2
1.幂的运算,,, ；
2.整式的运算,, ；
3.整式的化简求值 .
易错 命题点2
当幂的指数为1时，“1”常省略不写，不要认为没有指数或指数为0.
5.T4变式 [2020河北] 墨迹覆盖了等式“ ”中的运算符号，则覆盖的
是( )
D
A. B.- C.× D.
6.[2021河北]不一定相等的一组是( )
D
A.与 B.与 C.与 D.与
7.[2024河北]下列运算正确的是( )
C
A. B. C. D.
4.[2022河北]计算得 ，则“？”是( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
妙招 T8、T9
； .
9.T8变式 [2024河北] 若,是正整数，且满足,则
与 的关系正确的是( )
A
A. B. C. D.
8.[2020河北]若为正整数，则 ( )
A
A. B. C. D.
10.[2025河北]计算: _____.
11.[2020河北]有一电脑程序：每按一次按键，屏幕上的A区就会自动加上 ，同时B区就
会自动减去，且均显示化简后的结果.已知A，B两区初始显示的分别是25和 ，如图
所示.
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果.
解:A区： ；
B区： .
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，这个和能为负数吗？说明理由.
解：不能为负数.理由如下：
.
，
、B两区代数式的和不能为负数.
妙招 T11
在分析代数式的值时，不要只着眼于它的局部特征，而是要把注意力放在问题的整体结
构上，通过对其全面深刻地观察，利用公式法对题目的条件或结论进行变形，使复杂的
问题简单化.
12.[2023河北]现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示 .某
同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙）,如图2和图3,其面积分别为, .
图1
图2
图3
（1）请用含的式子分别表示,.当时，求 的值.
解:， ，
则.当 时，
.
（2）比较与 的大小，并说明理由.
解： .
理由： ,
,, .
命题点3 乘法公式
方法 命题点3
乘法公式不仅适用于整式乘法，在分式、根式的运算方面也可运用.例如 可
利用平方差公式计算， 同样可运用平方差公式计算.不要局限于整式
范围，要根据式子特点灵活选择.
13.[2018河北]将 变形正确的是( )
C
A. B.
C. D.
14.[2021河北]现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.
（1）取甲、乙纸片各1张，其面积和为________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密地拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片4张，
还需取丙纸片___张.
4
命题点4 因式分解
方法 命题点4
在用公式法分解因式时要注意以下几点：（1）要熟练掌握公式的结构特征.（2）看项数
选公式，“两项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式.（3）在运用公式前要先判断
一个多项式是否符合公式的特点.若符合，把多项式写成公式的结构形式，再去“套”公式，
否则不能“套”公式.
15.[2020河北]对于， ，从左到右
的变形，表述正确的是( )
C
A.都是因式分解 B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解
16.[2023河北]若为任意整数，则 的值总能( )
B
A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除
17.[2020河北]若，则 ( )
B
A.12 B.10 C.8 D.6(共46张PPT)
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.实数 实数的分类及正负 数的意义 — 2.代数式与 整式 乘法公式 5年3考
实数的相关概念 5年1考 因式分解 5年1考
数轴及实数的大小 比较 5年2考 3.分式 分式的有关概念及 基本性质 —
科学记数法 5年4考 分式的运算 5年4考
平方根、算术平方 根、立方根 5年2考 分式的化简与求值 5年3考
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.实数 实数的运算 5年_____考 4.二次根式 二次根式的有关概 念及性质 5年1考
2.代数式与 整式 代数式、整式的概 念 5年3考 二次根式的运算 5年3考
整式的运算 5年_____考 二次根式的估值 5年1考
续表
模块体系构建
第1讲 实数
目标领航
考点通关
命题研究
考点1 实数的分类
知识点睛 无理数的常见形式
1.带根号且开方开不尽的数，如 ;
2. 及化简后含 的数，如 ；
3.有规律的无限不循环小数，如 （每相邻两个1之间依次多一个0）；
4.一些特殊角的三角函数值,如 .
考点2 实数的相关概念
数轴 表示方法及三要素 _________________________________________________________________________________________________
性质 （1）实数与数轴上的点一一对应；
（2）数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数；
（3）数轴上两点间的距离: ①______（用右边的点表示的数减去左边的点表示的数）
绝对值 性质 （ 具有非负性，绝对值最小的数是0）
. .
绝对值 几何意义 数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点越远的点表示的数的绝对值越②____
相反数 性质 （1）非零实数 的相反数为③____; （2）0的相反数是0; （3）若实数,互为相反数，则 ④___ 温馨提示
相反数与绝对值的关系
1.互为相反数的两个数的绝对值相同；
2.若，则 或
几何意义 数轴上互为相反数的两个数（除0外）所对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等
大
续表
. .
倒数 性质 （1）非零实数 的倒数为⑤_ _;
（2）0没有倒数，倒数等于它本身的数是 ;
（3）若实数,互为倒数，则 ⑥___
续表
1
. .
考点3 科学记数法与近似数
1.定义：把一个数表示成的形式，其中， 是整数.
2.科学记数法中 的确定
（1）当原数的绝对值大于或等于10时，是正整数，为原数的整数位数减1或原数变为
时小数点向⑦____移动的位数；
（2）当原数的绝对值大于0且小于1时，是负整数， 等于原数左起第一个非零数字前
所有零（包含小数点前的零）的个数或原数变为 时小数点向⑧____移动的位数.
左
右
3.近似数：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数.
. .
. .
知识点睛
常用计数单位间的换算：
1亿，1万，1千 .
常用长度单位间的换算：
, ,
, .
考点4 平方根、算术平方根、立方根
平方根 ⑨______ 无
算术平方根 ⑩____ 无
立方根
温馨提示
1.非负数才有平方根，任意实数都有立方根.
2.正数的平方根有两个，它们互为相反数；
正数的算术平方根只有一个且为正数.
规定：0的算术平方根是0.
. .
. .
考点5 实数的大小比较
数轴法 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 ____
性质法 正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小
作差法 ；；
平方法
大
知识拓展 作商法
任意正实数，
，, .
考点6 实数的运算
1.四则运算
加法 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值 等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0
一个数同0相加，仍得这个数，即
减法 （减法转换为加法时,减数一定要改变符号）
乘法 ; ____; _____; ___ 温馨提示
几个不为0的数相乘，积的符号由负
因数的个数决定:负因数有奇数个，
积为负；负因数有偶数个，积为正
除法 ;
0
. .
. .
2.运算律
（1）交换律：； .
（2）结合律：; .
（3）分配律：（注意： 运用了分
配律，但 不能运用分配律）
3.运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减.有括号先算括号里的，同级运算
从左到右依次进行.
4.几种常见的运算
的奇偶次幂 乘方 幂的运算 去绝对值符号 特殊角的三角
函数值
（ 为正整数） ___ ; ，为正整数 详见P111特殊
角的三角函数
值
1
知识拓展 具有非负性的式子
1.常见的具有非负性的式子有，, ;
2.若几个具有非负性的式子的和为0，则它们的值均为0，如 ，则
，即 .
1.[新人教七上P3练习 改编]中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算
的国家.若零上记作，则零下 可记作( )
A
A. B. C. D.
2.有下列10个数： ， ，，，0，，，， ，
（每相邻两个4之间依次多一个1），其中，分数有___个，整数有___
个，无理数有___个.
3
2
5
3.如图，在数轴上，，三点表示的数分别为，，，其中 .
（1）点表示的数是____，点表示的数是___，， 两点之间的距离为___；
（2）的算术平方根是____， 的平方根是______；
（3）若，则______，在数轴上找到表示数的点 （保留作图痕迹）；
4
5
解:如图，点 即为所求.
（4）在（3）的条件下，将，，，用“ ”连接起来为______________；
（5）计算： _ __;
（6）将（5）的计算结果用科学记数法表示为_____________.
命题点1 实数的分类及正负数的意义
课标 命题点1
2022年版课标新增“理解负数的意义”，强调正数、负数可以表示具有相反意义的量.
1.[2025广东]某品牌乒乓球产品质量参数是 ,如果一只乒乓球的质量高于
标准质量记作,那么低于标准质量 记作( )
A
A. B. C. D.
2.[2025张家口二模]下列各式的计算结果为负数的是( )
D
A. B. C. D.
命题点2 实数的相关概念
要点 命题点2
抓概念的关键点：相反数抓“只有符号不同”“到原点的距离相等”；绝对值抓“到原点的距
离”；倒数抓“乘积等于1”.
3.[2021河北]能与 相加得0的是( )
C
A. B. C. D.
4.[2017河北]如图为张小亮的答卷，他的得分应是( )
B
A.100分 B.80分 C.60分 D.40分
命题点3 数轴及实数的大小比较
考向 命题点3
2022年版课标新增“能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小”，强调数轴上的点与
实数是一一对应的，河北中考对于数轴的考查一般有：
1.数轴中的大小比较；
2.数轴中的估值问题；
3.数轴中的动态问题；
4.数轴中的不确定性问题,.
方法 命题点3
数轴中的大小比较：
1.两数对应的点在原点的同侧：
图①
图②
图①：，，，， .
图②：，，，， .
2.两数对应的点在原点的两侧，且右侧点离原点远：
图③：，，，， .
图③
图④
3.两数对应的点在原点的两侧，且左侧点离原点远：
图④：，，，， .
5.[2024河北]下图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况
的是( )
A
A.
B.
C.
D.
6.[2021河北]如图，将数轴上表示 与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数
从左往右依次为，，，， ，则下列正确的是( )
C
A. B.
C. D.
7.[2017河北]在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中， ，如
图所示.设点，，所对应数的和是 .
（1）若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点， 又是多少？
解:以为原点，点，对应的数分别为，1，则 .
以为原点，点，对应的数分别为，，则 .
（2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求 .
解： 原点在点右侧， ，
点，，对应的数分别为，， ，
.
8.[2024河北]如图，有甲、乙两条数轴.甲数
轴上的三点,,所对应的数依次为 ,2,32，
乙数轴上的三点,, 所对应的数依次为0，
,12.
（1）计算,,三点所对应的数的和，并求 的值.
解:，，三点所对应的数的和为 ,
.
（2）当点与点上下对齐时，点,恰好分别与点,上下对齐，求 的值.
解：由题意得 ,
，解得 .
点是乙数轴上一点，到的距离是到的距离的两倍，则点 所表示的数是_________.
4或.
命题点4 科学记数法
考向 命题点4
1.表示较大的数 ;
2.表示较小的数 ;
3.考查概念理解， ;
4.结合实际应用， .
9.[2022河北]某正方形广场的边长为 ，其面积用科学记数法表示为 ( )
C
A. B. C. D.
10.[2025保定蠡县一模]如图，有标记为①②③④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理
数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的，若圆①中所填的数是 ，则圆④中
所填写的数是( )
D
A. B. C. D.
11.[2018河北]一个整数用科学记数法表示为 ，则原数中“0”的
个数为( )
B
A.4 B.6 C.7 D.10
12.跨学科 [2023河北]光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路
程，约等于 .下列正确的是( )
D
A. B.
C.是一个12位数 D. 是一个13位数
妙招
科学记数法中10的指数 的确定方法.
1. 的绝对值等于小数点移动的位数.
2.小数点从左向右移，为负；从右向左移， 为正.
13.跨学科 [2020河北]已知光速为300 000千米/秒，光经过秒 传播的距离用
科学记数法表示为千米，则 可能为( )
C
A.5 B.6 C.5或6 D.5或6或7
14.新考法 嘉淇将数用科学记数法表示为时，错把的值写成了 的
值，则嘉淇所写的数( )
D
A.扩大到原数的2倍 B.扩大到原数的100倍
C.缩小到原数的 D.缩小到原数的
命题点5 平方根、算术平方根、立方根
易错 命题点5
1.当被开方数是带分数或小数时，求平方根易出错，例如求，可以将0.25转化为 ，
再进行计算.
2.当式子中有多种运算时，要先计算根号里面的，例如，要先算 ，再算
.
15.[2021河北]与 结果相同的是( )
A
A. B. C. D.
16.[2022河北]下列正确的是( )
B
A. B. C. D.
命题点6 实数的运算
易错 命题点6
对于实数的混合运算，确定合理的运算顺序是关键.对于多级运算，可按实数混合运算的
顺序进行，即先乘方，开方，再乘除，最后加减，有括号时，先算括号内的，同级运算
按照从左到右的顺序进行.
17.[2025河北]从上升了 后的温度,在温度计上显示正确的是( )
B
A. B. C. D.
18.[2022河北]与 相等的是( )
A
A. B. C. D.
19.[2021河北]若取，计算 的结果是( )
B
A. B. C.144.2 D.
20.[2025河北]
（1）一道习题及其错误的解答过程如下:
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方
法写出正确的解答过程.
解:第一步开始出现错误.正确的解答过程如下：
.
（2）计算: .
解：原式
.
21.[2019河北]有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入， ，
， 中的某一个（可重复使用），然后计算结果.
（1）计算： ；
解:原式 .
（2）若，请推算 内的符号；
解： 内是“-”号.
（3）在“”的 内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.
解： .(共21张PPT)
考点1 分式的有关概念及基本性质
1.分式的定义：形如的式子，其中,为整式，中含有字母且 .
2.与分式有关的“三个条件”
（1）分式 有意义的条件：①_______;
（2）分式 的值为零的条件：②______________;
（3）使有意义的条件：,, .
且
3.最简分式：分子与分母中没有③________的分式.
公因式
. .
4.基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即
易错警示
判断一个式子是不是分式，取决于其原始形式而非化简后的结果，如 形式上分母含字母，
即使化简后为整式 ，仍属于分式.
考点2 分式的运算
1.加减运算
同分母:分母不变，把分子相加减，即 ④____.
异分母:先通分，化为同分母的分式，再加减，
即 （关键是通分）.
2.乘除运算
乘法: （关键是约分）.
除法： ⑤___.
3.乘方运算：⑥___为正整数 .
4.混合运算
（1）实数的运算法则、运算顺序、各种运算律也适用于分式的运算;
（2）分式运算的结果要化成最简分式或整式.
方法点睛
通分 找最简公分母.
1.分母中能分解因式的先分解因式；
2.取各分母的所有因式的最高次幂（分母中数字因数取其最小公倍数）的积作为最简公分母.
方法点睛
约分 找公因式.
1.分子、分母中能分解因式的先分解因式；
2.取分子、分母中相同因式的最低次幂（数字因数取它们的最大公因数）的积作为公因式.
考点3 分式的化简与求值
化 简 （1）有括号先计算括号内的；
（2）分式的分子、分母能因式分解的先进行因式分解；
（3）进行乘除运算（除法可变为乘法）；
（4）约分；
（5）进行加减运算时，如果是异分母，那么先通分，化为同分母的分式，此时分
母不变，分子合并同类项，最终化成⑦________________
求 值 代入相应的数或式子求分式的值
最简分式或整式
易错警示
1.通分时错误:分式通分时,注意分子漏乘的情况;
2.去括号时,符号错误:当括号前是“-”号时,去括号要注意括号内各项均要改变符号;
3.不要把分式的化简与解分式方程的变形相混淆,随意将分母去掉.
1.[新人教八上P144习题改编]若 ，则下列分式化简正确的是( )
D
A. B. C. D.
2.已知两个不等于0的实数、满足，则 等于( )
A
A. B. C.1 D.2
3.已知三个分式：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ .
（1）对于分式Ⅱ：分式有意义的条件是______；对于分式Ⅲ：当分式的值为0时，
________.
（2）将分式Ⅰ化为最简分式为_ ___.
或0
（3）化简：，并从 的范围内选择合适的整数值代入求值.
解:由题意得 .
易知且，所以可取 ，1.
当时，原式.当时，原式 .
命题点1 分式的有关概念及基本性质
考法 命题点1
分式基本性质在化简分式时的应用主要反映在以下两个方面：
1.不改变分式的值，把分子、分母中各项的系数化为整数；
2.分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变.
1.[2020河北]若 ，则下列分式化简正确的是( )
D
A. B. C. D.
2.变式[新冀教八上P4练习 改编]下列等式不成立的是( )
D
A. B.
C. D.
3.[2025江苏常州]若分式有意义，则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
4.变式[2025贵州]若分式的值为0,则实数 的值为( )
A
A.2 B.0 C. D.
方法 命题点2
分式（含异分母分式）的加减运算的关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式乘
除运算的关键是约分，约分的关键是确定公因式，当分式的分子、分母出现多项式时，
应先将多项式分解因式再计算.
命题点2 分式的运算
6.[2021河北]由值的正负可以比较与 的大小，下列正确的是( )
C
A.当时， B.当时，
C.当时， D.当时，
7.[2024河北]已知为整式，若计算的结果为,则 ( )
A
A. B. C. D.
5.[2023河北]化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
8.[2019河北]如图,若为正整数,则表示 的值的点落在( )
B
A.段① B.段② C.段③ D.段④
命题点3 分式的化简与求值
易错 命题点3
分式化简求值类题目,自选值代入多会设“陷阱”,因此不可随意代入数值.总的来说要注意以
下两种情况:（1）当分式运算中不含除法运算时,字母的代入值应使分式的分母不等于0;
（2）当分式运算中含除法运算时,字母的代入值不仅应使分式的分母不等于0,还要使除式
不等于0.
10.[2022河北]若和互为倒数，则 的值是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
9.[2025河北]若,则 ( )
B
A. B. C.3 D.6
11.[2018河北]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简.规则是:每人只能看到前
一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
接力中,自己负责的一步出现错误的是( )
D
A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁
12.[2025贵州节选]先化简:,再从 ,0,2中选取一个使原式有意义的数代入求值.
解:
.
且 ，
且 ，
当时，原式 .
（取 也可）
关键
分式化简求值的结果要注意两个最简：
1.化简结果是最简分式或整式；
2.求值结果若含有二次根式，则二次根式应化为最简二次根式或有理数.

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