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(共42张PPT)
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.统计 数据的收集 — 2.概率 事件的分类及概率的意义 5年4考
数据的整理与描述 5年3考 概率的计算 5年3考
数据的分析 5年4考 用频率估计概率 —
模块体系构建
第1讲 统计
目标领航
考点通关
命题研究
考点1 数据的收集
1.调查方式
调查方式 全面调查（普查） 抽样调查
概念 对考察的全体对象进行调查 从总体中抽取样本进行调查
适用情况 调查范围小、结果要求准确、无破坏 性、事关重大的情况 涉及面广、受条件限制、具有破坏性
的情况
优点 可靠、全面 省事、省时、破坏小
缺点 花费时间长，需耗费大量人力、物 力，有时受客观条件限制无法完成 调查结果不够准确，样本选取不当
时，调查结果往往会偏离总体的情况
易错警示
为了使抽样调查能较好地反映总体的情况,在选取样本时应注意:
1.选取的样本应具有代表性,不偏向总体中的某些个体;
2.选取的样本容量要足够大;
3.选取样本时,要避免遗漏总体中的某一群体.
2.总体、个体、样本和样本容量
（1）总体：所考察的全体对象；
（2）个体：组成总体的每一个考察对象；
（3）样本：被抽取的个体组成一个样本；
（4）样本容量（样本容量没有单位）：样本中个体的①______.
数目
. .
3.用样本估计总体
具有较好代表性的样本可以代表总体的情况，因此样本中的数据特征与总体中的数据特
征基本一致，从而我们可以通过样本的情况大致估计总体的情况，这样的方法叫作用样
本估计总体.
1.今年某市有4万名考生参加中考,为了解这些考生的中考数学成绩,从中抽取2 000名考生
的数学成绩进行统计分析,在这个问题中,下列说法:①这4万名考生的中考数学成绩是总体;
②每名考生是个体; 名考生是总体的一个样本;④样本容量是2 000.其中正确的有
( )
C
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
考点2 数据的整理与描述
1.频数与频率
（1）频数:在记录数据时,某组数据出现的次数称为这组数据的频数,各组的频数之和等于
②__________.
（2）频率:频数与数据总数的比值（或者百分比）称为这组数据的频率,即频率
.各组的频率之和等于③___.
数据总数
1
2.统计图
名 称 条形统计图 扇形统计图 折线统计图 频数分布直方图
图 示 ___________________________________ ________________________ ____________________________________ ____________________________________
名 称 条形统计图 扇形统计图 折线统计图 频数分布直方图
数 据 特 点 各部分频数之和 等于数据总数 （1）各部分所占百 分比之和等于 ④___； （2）各扇形圆心角 的度数 该部分所占 百分比 各部分频数之和 等于数据总数 （1）各组频数之和等于
数据总数；
（2）各组频率之和等于
1；
（3）数据总数×各组频
率 相应组的⑤______
优 点 能清楚地显示每 部分的具体数目 能清楚地表示各部分 在总体中所占的百分 比 能清楚地反映数 据的变化趋势 能清楚地显示数据的分
布情况及各组之间频数
的差异
1
频数
续表
温馨提示
直方图与条形图不同，由于分组数据具有连续性，直方图的各长方形通常是连续排列的，
中间没有空隙，而条形图则是分开排列，长方形之间有空隙．
考点3 数据的分析
1.平均数、中位数、众数（数据集中趋势）
平 均 数 算术 平均 数 一般地,对于个数,, , ,我们把⑥____________ ________叫作这 个数的算术平均数,简称平均数,记作“ ” 一组数据中只有一
个平均数和中位
数，且两者都可能
不是这组数据中的
某一个
加权 平均 数 一般地，若个数,, ,的权分别是,, , ,则叫作这 个数的加权平均数
中 位 数 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列,若数据 的个数是奇数,则处于⑦__________的数就是这组数据的中位 数;若数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数 据的中位数 一组数据中只有一
个平均数和中位
数，且两者都可能
不是这组数据中的
某一个
众 数 众数就是一组数据中⑧______________的数据 一组数据中,众数可
能不止一个,但一定
是这组数据中的某
个数
中间位置
出现次数最多
续表
注：众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，平均数反映了一
组数据的平均大小，代表数据的“平均水平”；中位数将数据分成两部分，代表数据的“中
等水平”；众数是出现次数最多的数据，代表一组数据的“多数水平”.
2.方差、标准差（数据离散程度）
概念 计算及意义 方 差 一组数据中每个数据与 平均数的差的平方的平 均数叫作这组数据的方 差 设个数据,, , 的平均数 为,则其方差 ⑨__________ ____________________________ _____ 反映一组数据的波动大
小.方差越大,数据波动越
大;方差越小,数据波动越
小
标 准 差 方差的算术平方根叫作 这组数据的标准差 用“ ”表示,即
2.[新北师七上P187习题改编] 甲、乙两位党员使用“学习强国” 在一天中学习各项目
时间的统计图如图所示，下列根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间
的百分比作出的判断中，正确的是( )
A
A.甲比乙大 B.甲比乙小 C.甲和乙一样大 D.甲和乙无法比较
3.[人教八下P126练习 改编] 甲、乙两名同学五次数学测试
成绩的折线图如图所示.比较甲、乙两人的成绩，下列说法正
确的是( )
D
A.甲平均分高，成绩稳定 B.甲平均分高，成绩不稳定
C.乙平均分高，成绩稳定 D.乙平均分高，成绩不稳定
命题点1 数据的收集
1.[2025保定清苑期末]下列说法正确的是( )
B
A.调查我国初中学生的身高情况适合采用普查
B.为保证神舟十九号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查
C.调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命适合采用普查
D.在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的
百分比，使用的统计图应该是频数分布直方图
2.[2019河北]某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类.以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；
②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表.
正确统计步骤的顺序是( )
D
A. B.
C. D.
命题点2 数据的整理与描述
3.[2021河北]小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形
图2（柱的高度从高到低排列）.条形图不小心被撕了一块，图2中“( )”应填的颜色是
( )
D
图1
图2
A.蓝 B.粉 C.黄 D.红
4.[2025四川成都]在第25个全国科技活动周中,某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、
脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解,现将选择结果绘制成如下统计图表:
人数
元宇宙 16
脑机接口
人形机器人 14
根据图表信息,表中 的值为( )
B
A.8 B.10 C.12 D.15
5.[2025石家庄模拟]如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这
7天中，日温差最大的一天是( )
A
A.5月5日 B.5月7日 C.5月3日 D.5月1日
6.[2025廊坊安次一模]2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，甲骨文中的“巳”是
蛇的象形表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，
随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学
生6 000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生有_______名．
1 800
命题点3 数据的分析
明考向
1.平均数、众数、中位数的概念与计算,, ；
2.方差的计算与应用 ；
3.根据图表信息计算相关数据,， ；
4.与其他知识综合应用 .
炼方法
1.求中位数时，既要注意次数问题，又要注意排序问题，二者要兼顾.
2.众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是出现次数最多的数据出现的次数.
3.求一组数据的平均数时，一定要注意这些数据有没有权.
7.[2020河北]小颖前三次购买苹果售价的统计图如图所示，第四
次又买的苹果售价是 元/千克，发现这四个售价的中位数恰好也
是众数，则 ( )
B
A.9 B.8 C.7 D.6
8.[2022河北]五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又
追加了10元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是( )
D
A.只有平均数 B.只有中位数 C.只有众数 D.中位数和众数
10.[2024河北]某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽试验，几天后观察并记录发
芽的种子数分别为：89,73,90,86,75,86,89,95,89，以上数据的众数为____.
89
9.[2025河南]为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势,数学兴趣小组从两种小麦
中各随机抽取20株进行测量,测得两种小麦苗高的平均数相同,方差分别为 ,
,则这两种小麦长势更整齐的是____（填“甲”或“乙”）.
甲
11.[2022河北]某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三
项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用.图1是甲、乙测试成绩的条形统计图.
图1
图2
炼方法
首先要读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.在解决由多种
统计图共同组成的题目时，解题关键是结合各种统计图，将题目中用到的信息找出来，
同时注意各种统计图的互补性.
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
解:甲： （分）.
乙： （分）.
， 会录用甲.
（2）将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人
各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果.
解：由扇形统计图得学历、能力、经验所占之比为
.
甲： （分），
乙： （分）.
， 会录用乙.
会改变（1）的录用结果.
12.[2023河北]某公司为提高服务质量，对其某个部门开展
了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从
低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档.公司规定:若客
户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对
服务质量进行整改.工作人员从收回的问卷中随机抽取了20
份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图.
（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
解:客户所评分数的平均数为 （分）.将客户所评分数从小到大排
序，第10个、第11个分数分别为3分，4分，则中位数为3.5分，故该部门不需要对服务质
量进行整改.
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，
发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分，与（1）
相比，中位数是否发生变化
解：设监督人员抽取的问卷所评分数为 分，根据客户所评分数的平均数大于3.55分，可
得，解得，因为为整数且，所以 .故监督人员抽
取的问卷所评分数为5分.易得此时中位数为4分，故与（1）相比，中位数发生变化.
13.[2024河北]某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试.考虑多种因素影
响，需将测试的原始成绩（分）换算为报告成绩 （分）.已知原始成绩满分150分，报告
成绩满分100分，换算规则如下：
当时， ;
当时， .
（其中 是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为及 以上）为合格.
（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若 ,求甲、乙的报告成绩.
解: ，甲的原始成绩为95分，乙的原始成绩为130分，
甲的报告成绩 （分），
乙的报告成绩 （分）.
（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请
推算 的值.
解：由题意知，丙的原始成绩大于，丁的原始成绩小于 ，
设丙的原始成绩为分,丁的原始成绩为 分，
， ，
， .
由题意得，，解得 .
（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩/分 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150
人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
解：130分.
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率.
解： .
14.[2025河北]某工厂生产A,B,C,D四种产品.为提升产品的竞争力,该工厂计划对部分种类
的产品优化生产流程,降低成本；对其他种类的产品增加研发投入,提升品质.经研究,该工
厂做出了甲、乙两种调整方案,这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.
下面是该工厂这四种产品的部分信息:
.调整前,各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）.
图1
图2
.各产品单件成本的核算情况统计表及说明.
产品 数据 类别 A B C D
调整前单件成本/元 18 26 20 36
调整后单件成本/元 方案甲 13 22 40
方案乙 16 18 32
说明:对于统计表中的数据,方案甲的平均数与调整前的相同,方案乙的中位数与调整前的相同.
根据以上信息,解答下列问题:
（1）求调整前A产品的年产量；
解:（万件），C产品的年产量为 （万件），
调整前A产品的年产量为 （万件）.
（2）直接写出, 的值;
解：, 的值分别为25，28.
解析 方案甲的平均数与调整前的相同，
，
解得 ，
方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为 ，
调整后中位数为23.
易知当或 时不满足，
方案乙中的4个数据从小到大排列后，位于中间的两个数是18， ，
，
.
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同,请通过计算说明甲、乙两种方案哪
种总成本较低.
解：方案甲的总成本为 （万元），
方案乙的总成本为 （万元），
，
甲种方案总成本较低.(共23张PPT)
第2讲 概率
目标领航
考点通关
命题研究
考点1 事件的分类及概率的意义
1.事件的分类
事件类型 定义 举例 发生的概率
确定 事件 必然事 件 在一定条件下，一定会发 生的事件 掷一枚骰子，向上一面出现的 点数大于0是必然事件 ①___
不可能 事件 在一定条件下，一定不会 发生的事件 掷一枚骰子，向上一面出现的 点数大于7是不可能事件 ②___
随机事件 在一定条件下，可能发生 也可能不发生的事件 抛掷一枚硬币，出现正面朝上 是随机事件 0和1之间
1
0
2.概率
一般地,如果在一次试验中有种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件 包含其
中的种结果,那么事件发生的概率 ③___.
事件与概率的关系图：
考点2 概率的计算
1.公式法
（其中为所有等可能发生的结果总数，为事件 发生包含的结果数）.
注：概率计算公式在使用时需要满足每个结果发生的可能性相等.
2.列表法或画树状图法求概率
（1）列表法：当事件中涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,用表格不重不漏
地列出所有可能的结果,这种方法叫作列表法.
（2）画树状图法：当事件中涉及两个及以上的因素时,用树状图的形式不重不漏地列出所
有可能的结果,这种方法叫作画树状图法.
3.用频率估计概率
在大量重复试验中,如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，则可用这个常数 近似
地描述事件发生的概率，即 ④___.
4.几何概型的概率公式
.
命题点1 事件的分类及概率的意义
1.[2025湖北]在下列事件中,不可能事件是( )
B
A.投掷一枚硬币,正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆,它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次,命中靶心
2.[2023河北]有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在
桌面上.若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是( )
B
A. （黑桃） B. （红心） C. （梅花） D. （方块）
命题点2 概率的计算
炼方法
1.对于一步试验，可直接用概率公式 求解.
2.对于两步试验，常以摸球、转转盘、抛硬币等为背景，解决此类问题的关键是用列表法
或画树状图法列举出所有等可能的结果，然后确定所求事件包含的结果数，最后用概率
公式求解.
3.与代数、几何相结合或与其他学科知识相结合的概率问题的本质还是求概率，只不过需
要用到相应的知识来确定有限制条件的事件包含的结果数.
3.新考法 [2025河北] 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1,2,3中的一个
数字）,若向上一面出现数字1的概率为,出现数字2的概率为 ,则该木块不可能是( )
A
A. B. C. D.
4.跨学科 [2025承德兴隆二模] 如图所示的电路中，当随机闭合
开关、、 中的两个时，灯泡能发光的概率为__.
5.[2022河北]如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道.若琪琪第一个抽签，她从
号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是__.
6.[2021河北]某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走
到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同.
图1
图2
（1）求嘉淇走到十字道口 向北走的概率；
解: 当嘉淇走到十字道口 时，有直、左、右3种等可能结果，只有向右转为向北，
（嘉淇向北走） .
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.
解：补全树状图如下.
由图知，所有等可能的结果共有9种，其中朝向：东2种，西3种，
南2种，北2种.
（朝西）（朝东）（朝南）（朝北） .
嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.
7.[2019河北]某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种.从中随
机拿出一个球，已知（拿到8元球） .
（1）求这4个球价格的众数.
解:（拿到8元球） ，
元球的个数为2.
价格的众数是8元.
（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练.
①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由.
解：相同.
理由： 所剩3个球的价格分别是8元，8元，9元，
中位数是8元.
原来4个球的价格分别是7元，8元，8元，9元，
中位数是8元.
相同.
②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如表）求乙组两次都
拿到8元球的概率.
又拿 先拿
解：列表如下：
又拿 先拿 8 8 9
8
8
9
由表可知，所有等可能的结果共有9种，其中乙组两次都拿到8元球的结果共有4种，
（乙组两次都拿到8元球） .
8.[2024河北]甲、乙、丙三张卡片正面分别写有,, ,除正面的代数式不同
外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当, 时，求取出的卡
片上代数式的值为负数的概率；
解:当，时，，, ,即卡片上代数式的值分别是
，0，3.将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，共有3种等可能结果，其中
取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，所以取出的卡片上代数式的值为负数的概
率为 .
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一
张，请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求
出和为单项式的概率.
第一次 和 第二次
解：补全表格如下：
第一次 和 第二次
由表可知，共有9种等可能结果，代数式之和为单项式的结果有4种，所以代数式之和为
单项式的概率为 .
9.[2020河北]如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴表示 和5的位置上，沿数轴做移
动游戏.每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后
根据所猜结果进行移动.
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位.
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 .
解:第一次移动游戏有4种等可能的结果：甲、乙都对，甲、乙都错，甲对乙错，甲错乙对.
要使甲的位置停留在正半轴上，只有，即甲对乙错这1种结果， .
（2）从图中位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.
设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的代数式表示 ，并求该位
置距离原点最近时 的值.
解： 乙猜对 次，
乙猜错 次.
由题意，得 .
当时， .
为整数，
当时，该位置距离原点 最近.
（3）从图中位置开始，若进行了 次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出
的值.
解：3或5.
命题点3 用频率估计概率
炼方法 用频率估计概率，其做法是取多次试验中事件发生的频率稳定值来估计概率.
10.[2025保定安新期末改编]某林业部门考察某种幼树在一定条件下移植的成活率，所统
计的幼树移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计这种幼树在一定条件下移植成活的概率为精确到 ( )
C
A.0.905 B.0.90 C.0.9 D.0.8
11.[2024九地市摸底]在一个不透明的口袋中，
放入4个红球，2个白球和 个黄球.这些小球
除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一
个球记下颜色后再放回搅匀，统计黄球出现
的频率如图所示，则 的值可能是( )
B
A.4 B.6 C.8 D.10

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