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(共28张PPT)
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.与圆有关的 概念及性质 圆的有关概念与垂径 定理 5年_____考 3.与圆 有关 的计 算 与正多边形有关的 计算 5年1考
圆周角定理与圆内接 四边形 5年2考 2.与圆有关的 位置关系 点、直线与圆的位置 关系 — 弧长、扇形面积的 相关计算 5年_____考
切线的性质与判定 5年4考 与圆锥有关的计算 —
三角形的内心与外心 — 圆的综合 5年_____考
模块体系构建
第1讲 与圆有关的概念及性质
目标领航
考点通关
命题研究
考点1 圆的相关概念与性质
圆的相关概念 ____________________________ 定义 （1）在一个平面内，线段绕它固定的端点 旋转一周，端 点所形成的图形叫作圆.（点为圆心；线段 为半径） （圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.） （2）圆是平面上所有到定点的距离等于定长 的点的集合 弦 连接圆上任意两点的线段（如线段 ），经过圆心的弦叫作 直径（如线段 ），①______是圆中最长的弦 弧 弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简
称弧（如 ）（圆上任意一条弦对应
两条弧.）
直径
圆的相关概念 ____________________________ 弧 半圆 圆上任意一条直径的两个端点把圆分
成两条弧，每条弧都叫作半圆
（如 ）（半圆是弧，不是直径与其
所分的内段弧组成的封闭图形）
优弧 大于半圆的弧叫作优弧（如 ）
劣弧 小于半圆的弧叫作劣弧（如 ）
圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角（如 ） 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角 （如 ） 续表
. .
圆的相关概念 ____________________________ 等圆 能够互相重合的两个圆（或多个圆）
等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧（等弧所在圆的
半径相等，长度相等的弧不一定是等弧）
圆的性质 对称性 圆是轴对称图形，有无数条对称轴，经过圆心的任意一条直
线都是它的对称轴；
圆是中心对称图形，②______是它的对称中心
旋转不变 性 一个圆绕着圆心旋转任意角度都与原图形重合
圆心
续表
圆心角、弧、弦之间的关 系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的③____相等，所对的弦也相等.数学语言：在 中，若 ，则， _____________________________
推论：在同圆或等圆中，两个圆心、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等，即“知一推二” 弧
续表
易错警示
在同圆或等圆中，若，则所对的圆心角（或圆周角）等于 所对的圆心角
（或圆周角）的2倍，但弦 .
1.在中，，则弦与弦 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
2.[人教九上P90习题T10改编] ，是内的两条平行弦，的直径为 ，
，，则，间的距离为______ .
1或7
考点2 垂径定理及其推论
图1
1.定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的④________.
数学语言：如图1，是的直径，为弦，，垂足为 ，
则，， .
两条弧
2.推论:平分弦（不是直径）的直径⑤________弦，并且平分弦所对的两条弧.（被平分的
弦不能是直径，任意两条直径都互相平分，但是不一定垂直，也不一定平分弦所对的弧）
垂直于
3.拓展：如图1，如果具备以下五个条件中的任意两个，那么就可以推出其他三个结论，
即“知二推三”.
（1）是的直径；（2）；（3）（非直径）；（4） ；
（5） .
图1
3.[人教九上P89习题T8改编] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉
工具，筒车盛水桶的运行轨道可以看作是以轴心 为圆心的圆，
如图.已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦 长为4
米，半径长为3米.若点为运行轨道的最低点，则点到弦
所在直线的距离是( )
D
A.1米 B.米 C.3米 D. 米
考点3 圆周角定理及其推论
1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑥______.
数学语言：如图2，在中，⑦_ _ .
一半
图2
2.推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角⑧______.
（2）直径（或半圆）所对的圆周角是⑨______. 的圆周角所对的弦是⑩______.
相等
直角
直径
3.拓展:在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
考点4 圆内接四边形
1.定义：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作这个圆的圆内接四边形，
这个圆叫作四边形的外接圆.
图3
2.性质：圆内接四边形的对角 ______.
数学语言：如图3，在中,.
互补
3.拓展：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（如 ）.
方法点睛
连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，如图3，
, .
命题点1 圆的有关概念与垂径定理
考向 命题点1
1.基本概念辨析, ;
2.利用垂径定理进行计算 ;
3.垂径定理在实际情境中的应用 .
方法 命题点1
运用垂径定理进行有关计算时，常需作出圆心到弦的垂线段，垂足为弦的中点，再利用
半径、圆心到弦的垂线段和弦的一半组成的直角三角形求解.
1.[2023河北]如图,点是的八等分点.若 ,四边形
的周长分别为, ,则下列正确的是( )
A
A. B.
C. D., 大小无法比较
2.[2025沧州盐山模拟]如图，已知四条弧,,,，点 在其
中一条弧所在的圆上，则点 在( )
A
A.所在的圆上 B. 所在的圆上
C.所在的圆上 D. 所在的圆上
3.[2025唐山模拟]如图，将一把宽为的刻度尺（单位： ）放在一个圆柱形茶杯的
杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个点对应的读数恰
好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为______．
4.新情境 [2022河北] 如图，某水渠的横断面是以 为直径
的半圆，其中水面截线.嘉琪在 处测得垂直站立
于处的爸爸头顶的仰角为 ，点的俯角为 .已知爸
爸的身高为 .
（1）求的大小及 的长；
解:， ，
.
， ，
.
（2）请在图中画出线段 ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为
多少米（结果保留小数点后一位）.
（参考数据： 取4，取 ）
解：如图，过点作于点，交半圆于点，则
即为所求作的线段.连接 .
，
.
.
在中， .
设，则 .
，，
，
解得 （舍负）.
，
即最大水深约为 .
命题点2 圆周角定理与圆内接四边形
5.[2020河北]有一题目：“已知：点为的外心， ，
求.”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接， ，如图
所示.由 ，得 .而淇淇说：“嘉嘉考虑得不周
全， 还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是( )
A
A.淇淇说的对，且的另一个值是 B.淇淇说的不对，就等于
C.嘉嘉求的结果不对，应等于 D.两人都不对， 应有3个不同值
易错 T5
由于圆中一条弦对应两条弧，故需分情况讨论：
点为的外心， ，在图1中， ，在图2中，
.
图1
图2
6.T5变式 [2024秦皇岛一模] 综合实践课上，老师提出如下问题：在 中作两个内接三
角形和，经测量 ，求.嘉嘉回答：的度数是 ；淇淇回
答：的度数是 .下列判断正确的是( )
D
A.嘉嘉答的对 B.淇淇答的对
C.嘉嘉和淇淇答的合在一起才对 D.嘉嘉和淇淇答的合在一起也不对
7.[人教九上P87例4改编] 如图，四边形内接于，为 的
直径， .
（1）试判断 的形状，并给出证明；
解: 是等腰直角三角形.
证明如下：
为 的直径，
.
， ，
.
是等腰直角三角形.
（2）若，，求 的长度.
解：在中， ，
.
在中，， ，
.
方法 T7
当圆中出现直径时,常常利用直径所对的圆周角等于 得直角三角形,进而计算角的度数
或利用勾股定理计算边的长度等.(共33张PPT)
考点1 点、直线与圆的位置关系
与 的关系
点与圆的位置 关系 设圆的半径为 ，点 到圆心的距离为 点在圆内 点在圆上 点在圆外
_______________________ ____________________________ _________________________
与 的关系
直线与圆的位 置关系 设圆的半径为 ，圆 心到直线的距离为 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离
_______________________ ①____个公共 点 _______________________ ②____个公共 点 ____________________________
没有公共点
两
一
续表
温馨提示
1.点（非圆心）与圆上一动点距离的最大值和最小值都在动点在该点与圆心连线所在的直
线上时取得.
2.两种位置关系都是通过比较圆心到图形（点或直线）的距离与圆的半径的大小判断的.
考点2 切线的性质与判定
1.定义：直线与圆有唯一公共点时，称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，唯一的公
共点叫作切点.
2.性质：圆的切线垂直于过切点的③______.
半径
3.判定方法:
（1）直线与圆有唯一公共点（定义）；
（2）若圆心到直线的距离等于④______（圆心到切线的距离等于半径.），则该直线是圆
的切线；
（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
半径
4.证明方法:
（1）直线与圆的公共点已知：连半径，证垂直；
（2）直线与圆的公共点未知：作垂线，证半径.
温馨提示
经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
考点3 切线长与切线长定理
1.切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点间的线段的长叫作这个点到圆的切线长.
2.切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线的切线长⑤______，这一点与圆心的连线
平分两条切线的夹角.
相等
易错警示
切线是直线，不可度量；切线长是圆外的一点和切点之间线段的长度，可以度量.
3.相关结论及几何语言
如图，点是外一点，，分别切于点，，连接
交于点 .则有如下结论:
（1） ⑥____;
（2） ，
;
（3）且 .
考点4 三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆 三角形的内切圆
定义 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆
圆心 三角形的外心（三角形三条边的 ⑦____________的交点） 三角形的内心（三角形三条⑧______
_____的交点）
图示 ____________________________ __________________________________
垂直平分线
角平
分线
三角形的外接圆 三角形的内切圆
性质 三角形的外心到三角形的⑨________ ___的距离相等 三角形的内心到三角形⑩______的距
离相等
角度关系
作法 作三角形任意两边的垂直平分线，其 交点即为圆心，以圆心 到任一顶 点的距离为半径作 作三角形任意两角的平分线，其交点
即为圆心，以过点 作的任意一边
的垂线段的长度为半径作
三个顶点
三边
续表
知识拓展
1.若的三边长分别为,,，面积为，内切圆半径为,则利用等面积法可得
.
2.在中，若两条直角边长分别为，，斜边长为，则内切圆半径
，外接圆的半径.
3.三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，
直角三角形的外心在斜边的中点处.
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
________________________ ________________________ ________________________
锐角三角形的最小覆盖 圆是它的外接圆 直角三角形的最小覆盖圆是它的外 接圆（或以斜边为直径的圆） 钝角三角形的最小覆盖圆
是以最长边为直径的圆
4.三角形的最小覆盖圆问题.
命题点1 点、直线与圆的位置关系
1.易错题 若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则 的半径是
( )
C
A. B. C.或 D.或
2.[人教九上P101习题改编] 如图，在中， ，， ，
的半径为3，当圆心与点重合时，与直线的位置关系为______；若点 从
点开始沿射线移动，当_ _____时，与直线 相切.
相离
或
解析 当圆心与点重合时，过作于 ，
由勾股定理得 ，
又 ，
，
与 的位置关系是相离.
当点在线段上时，如图1，过作于，
当时，与 相切，易知 ，
，即 ，
， .
图1
，即 ，
， .
图2
综上，若点沿射线移动，当为或时，与直线 相切.
命题点2 切线的性质与判定
炼方法 证明切线可分以下两种情况:
1.有公共点，连半径，证垂直.如图1，如果已知直线与圆的公共点为 ，
就可以连接半径，然后证明 即可.
2.无公共点,作垂线,证半径.如图2,如果不知道直线与圆有公共点,就可以作 ,垂足
为点,然后证明为半径 即可.
3.[2025廊坊月考]如图，周长为的三角形纸片 ，小刚想用剪刀剪出它的内切
圆，他先沿着与相切的剪下了一张三角形纸片 ，已知，则
三角形纸片 的周长等于( )
D
A. B. C. D.
4.[2024唐山模拟]如图，三角尺和直尺如图摆放，三角尺的
斜边与半圆相切于点，点、、 分别与直尺的刻度
1、9、19对齐，则三角尺直角边 的长为( )
D
A. B. C.5 D.6
5.变式]将刻度尺、含 角的直角三角尺和
量角器如图摆放（无重叠部分），若三角尺
角的顶点在刻度尺上对应的读数是 ，量角器
与刻度尺接触点在刻度尺上对应的读数是 ，
则该量角器的直径为_____ .（结果保留根号）
6.[冀教九下P23复习题C组改编] 如图，为的直径，过圆上一点作 的切线
交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接 .
（1）直线与 相切吗？说明理由.
解:相切.理由：连接 .
为 的切线，
，
， , ，
， ，
，
又， ，
，
，
直线与 相切.
（2）若，，求 的长.
解：设的半径为 ，
在中， ，
即，解得 .
， ，
在中， ，
即 ，
解得 .
7.[2021河北]如图， 的半径为6，将该圆周12等分后得到表
盘模型，其中整钟点为为的整数，过点作 的
切线交的延长线于点 .
（1）通过计算比较直径和劣弧 的长度哪个更长.
解:连接， ，
由圆周被12等分，得每份弧对应的圆心角是 ， ，
劣弧的长 .
， 劣弧 的长度更长.
（2）连接，则和 有什么特殊的位置关系 请简要说明理由.
解：垂直.理由：连接 ，
是半圆，
是 的直径.
，即 .
（3）求切线长 的值.
解：是 的切线，
，
由（1）知 ，
， ，
，
.
8.[2020河北]如图，点为中点，分别延长到点，到点，使.以点
为圆心，分别以，的长为半径在上方作两个半圆.点 为小半圆上任意一点
（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接， .
备用图
（1）①求证： ；
证明：，， ，
.
②写出，和 三者间的数量关系，并说明理由；
解: .理由如下：
， .
， .
（2）若，当最大时，直接指出 与小半圆的位置关系，并求此时
答案保留 .
解：相切.
如图， 与小半圆相切，
.
在中，， ，
.
.
.
命题点3 三角形的内心与外心
警易错1.三角形的外心到三个顶点的距离相等，外接圆问题常与圆周角定理相联系；
2.三角形的内心到三角形三边的距离相等，内心与顶点的连线平分三角形的内角，内切圆
问题常与切线长定理相联系.
9.[2018河北]如图，点为的内心，，， ，
将平移使其顶点与 重合，则图中阴影部分的周长为( )
B
A.4.5 B.4 C.3 D.2
10.变式 [2024石家庄裕华二模] 如图，点为 的内心，
，，，将平移使其顶点与 重合，与
边交于点，，延长交于点，延长交于点 ，则图
中阴影部分的周长为( )
B
A.12 B.9 C.8 D.6
解析 连接，， 点为的内心，平分 ，
，由平移可得，，，四边形 是平行四边形，
，
.同理可得 ，
的周长 .
，为直角三角形，且 ， 四边形是矩形， 点为
的内心，， 四边形是正方形，， 正方形的周长为4， 图中
阴影部分的周长为 .
11.[2025承德期末]如图，在由小正方形组成的网格中建立一个平面直角坐标系，一条圆
弧经过格点，，．若圆心为点，则点 的坐标是________．(共30张PPT)
考点1 正多边形和圆
正多边 形的相 关概念 正多边形 的中心 正多边形外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心
正多边形 的半径 正多边形外接圆的半径叫作这个正多边形的半径
正多边形 的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角
正多边形 的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距
正 边 形的相 关计算 周长 ______________________________________________
中心角 ①_ ____正 边形的外角 面积 边心距
续表
考点2 弧长、扇形面积的计算
计算公式 图示
弧长 ②_ ___ 圆心角为 ，半径为， 是弧长
___________________________
扇形周长 扇形面积 ③_ ____
考点3 与圆锥有关的计算
图示 公式 备注
_________________________________ ; 为圆锥底面圆的半径， 为圆
锥的高，为母线长， 为圆锥
侧面展开图的扇形的圆心角度数
④_____
1.[2024石家庄桥西期末]如图，将边长为4的正方形铁丝框
面积记为变形为以点为圆心， 的长为半径的
扇形面积记为，则与 的关系为( )
B
A. B. C. D.无法确定
2.[北师九下P105复习题改编] 如图，半径为2的圆内接正八边形的中心为 ，
连接，______， _____.
3.如图,正方形内接于， .
（1）的半径为____，正方形 的边心距为___，中心角为_____；
1
（2） 的长度为_ ___；
（3）连接,,则扇形 的面积为_ _；
（4）若将扇形 围成一个圆锥的侧面，则圆锥底面圆的半径为_ __.
命题点1 与正多边形有关的计算
炼方法 正多边形的半径、中心到边的垂线段和边的一半可组成一个直角三角形，有关正
多边形的计算常常转化为解这个直角三角形.在解题时，要根据已知条件先作出这个直角
三角形以及所在的等腰三角形.
1.[人教九上P108习题改编] 如图，要拧开一个边长为 的六角形螺帽，扳手张开
的开口宽度至少是______ .
2.[2023河北]将三个相同的六角形螺母并排摆放
在桌面上，其俯视图如图1,正六边形边长为2且各
有一个顶点在直线 上.两侧螺母不动，把中间螺母
抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间
（1） ____度；
30
图1
解析 如图1， 正六边形的外角 ， ，
.
正六边形的一边与直线 平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中，
（2）中间正六边形的中心到直线 的距离为_____（结果保留根号）.
解析 如图2，过中间正六边形的中心作，交于点 ，延长中间正六边形的两边，根据正六边
形的对称性，易知两延长线交于点 .
图2
易知 为等边三角形，
，
.易知为等边三角形， ，
中间正六边形的中心到直线的距离为 .
命题点2 弧长、扇形面积的相关计算
炼方法 求弧长（扇形面积）的关键是求出弧所对（扇形）的圆心角的度数和弧所在圆
（扇形）的半径,常见的情况及解题方法如下:
1.已知圆心角的度数和半径,直接运用公式求解;
2.已知弦长和半径,根据垂径定理和三角函数求出圆心角的度数,然后运用公式求解;
3.圆与其他几何图形相结合,运用图形的性质求出弧所对的圆周角或圆心角的度数,然后运
用公式求解,有时需作辅助线.
3.[北师九下P102习题改编]如图，用一个半径为 的定滑轮带动重物上升，绳
索粗细不计且足够长，假设滑轮与绳索之间没有滑动，拉动绳索，当滑轮转动了
时，重物上升的高度是( )
A
A. B. C. D.
4.新情境 [2022河北] 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图
2，，分别与所在圆相切于点， .若该圆半径是
， ，则 的长是 ( )
A
A. B. C. D.
5.[2025四川成都]如图,的半径为1,,,是上的三个点.若四边形 为平行四
边形,连接 ,则图中阴影部分的面积为__.
6.如图，半圆的直径，以长为2的弦为直径，向点方向作半圆，其中 点
在上且不与点重合，但点可与 点重合.
发现 的长与的长之和为定值，求 .
解:连接，，则 .
的长 .
.
思考 点与的最大距离为____，此时点，间的距离为___；点与 的最小距离为
_ __，此时半圆与 所围成的封闭图形面积为_______.
2
探究 当半圆与相切时，求 的长.
注：结果保留 ，，
图1
解：半圆与 相切分两种情况：
①如图1，半圆与切于点时，连接，， ，
则， .
在中， ，
, .
在中，，，即 .
，
的长 .
图2
②如图2，半圆与切于点时，连接，， .
同理得的长 .
由得的长.
综上，的长为或 .
命题点3 与圆锥有关的计算
炼方法 解决与圆锥有关的计算问题,要紧紧抓住两个对应关系:①圆锥的母线长等于侧面
展开图扇形的半径;②圆锥的底面圆周长等于侧面展开图扇形的弧长.
7.[2025沧州任丘模拟]已知某建筑物为圆锥形（如图），为了美观，要在
圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点 ，若这
个圆锥形建筑物的底面圆周长为，母线的长为 ，则这条灯
带的最短长度是( )
A. B. C. D.
D
8.[冀教九上P169习题A组改编] 圆锥底面圆的半径为，高为 ，则圆锥的侧面
积为_____ .
9.变式 人教九上P116习题改编]如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个
圆心角为 的扇形，再将它围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆半径是_ __ .
命题点4 圆的综合
10.[2023河北]装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆 ,
,如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线， .
图1
图2
计算 在图1中，已知,作于点 .
（1）求 的长.
解:连接 ，
，，
， ，
在中， ，
即 ，
解得 （负值舍去）.
操作 将图1中的水槽沿向右作无滑动地滚动，使水流出一部分,当 时停
止滚动，如图2.其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点 .
探究 在图2中，
（2）操作后水面高度下降了多少
解：与半圆相切， .
， .
， ，
， .
，
操作后水面高度下降了 .
（3）连接并延长交于点，求线段与 的长度，并比较大小.
解： ， ，
半圆的中点为 ，
， ，
，
的长度 .
， ，
的长度.
11.[2025河北]如图1,图2,正方形的边长为5.扇形所在圆的圆心在对角线 上,
且不与点重合,半径,点,分别在边,上,,扇形 的弧交
线段于点,记为 .
图1
图2
（1）如图1,当时,求 的度数；
解： 四边形 为正方形，
，， ，
， ，
， ，
四边形 为菱形.
又 ，
四边形 为正方形，
，
.
图1
四边形 为菱形，
， .
， .
在 中，
， ，
四边形 为正方形，
，
.
（2）如图2,当四边形为菱形时,求 的长;
解：连接交于点 .
图2
（3）当 时,求 的长.
解：如图所示，当 是劣弧时，
，半径 ，
的长 ；
如图所示，当 是优弧时，
，
所对的圆心角的度数为 ，
的长 ．
综上所述，的长为或 ．

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