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(共37张PPT)
考点1 二次函数的图象与性质
1.概念：形如（其中,,是常数， ）（如果已说明函数为二次函
数，那么隐含条件为二次项系数不为0）的函数叫作二次函数.
. .
2.二次函数的图象与性质
解析式 一般式： 顶点式：
图象 _____________________________________ _____________________________________
顶点坐标 ①_ ____________ ②______
对称轴 直线 直线
解析式 一般式： 顶点式： 增 减 性 在对称 轴左侧 当时，随的增大而减小；当时，随 的增大而③______ 在对称 轴右侧 当时，随的增大而增大；当时，随 的增大而④______ 最值
时， 时， 时， 时，
增大
减小
续表
3.二次函数的图象特征与,, 的关系
关系 符号 图象的特征 决定抛物线的开 口方向及开口大小 抛物线开口 ⑤_____________ 越大，抛物线开口越
小； 越小，抛物线开
口越大
抛物线开口 ⑥_____________ ， 共同决定抛 物线对称轴的位置 抛物线对称轴为⑦_____ ， 同号 抛物线对称轴在 轴的左侧 ， 异号 抛物线对称轴在 轴的右侧 向上
向下
轴
关系 符号 图象的特征
决定抛物线与 轴交点的位置 抛物线经过⑧______
抛物线与 轴交于正半轴
抛物线与 轴交于负半轴
由 确定抛 物线与 轴交点的 个数 抛物线与 轴有⑨______交点
抛物线与 轴有⑩______交点
抛物线与 轴没有交点
原点
两个
一个
续表
考点2 二次函数解析式的确定与图象的平移
1.解析式的三种形式
（1）一般式：，，是常数， ;
（2）顶点式：，，是常数，，其中 是抛物线的顶点;
（3）交点式：，,,为常数),其中，为抛物线与 轴
交点的 ________.
横坐标
2.确定二次函数解析式
（1）
（2）代入其他条件，得到关于待定系数的方程（组）.
（3）解方程（组），求出待定系数的值，从而写出解析式.
3.图象平移规律
考点3 二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的根是二次函数的图象与
轴交点的横坐标.
与0的关系 二次函数 的图象与 轴的交点个数 一元二次方程 的根的情况
2 两个不相等的实数根
1 两个相等的实数根
0 没有实数根
（当时，抛物线与 轴的交点为抛物线的顶点）
2.二次函数与不等式的关系#2
不等式 （以 为例） 图象 观察方法 解集
_________________________________________________________ 函数 的图 象位于 轴上方时对应的自 变量的取值范围 或
不等式 （以 为 例） 图象 观察方法 解集
_________________________________________________________ 函数 的图 象位于 轴下方时对应的自 变量的取值范围
续表
已知抛物线 .
（1）若抛物线的开口向上，则 的取值范围是_______.
（2）若抛物线的顶点在轴上，则 _ _.
（3）若此抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，则 ___.
1
（4）若抛物线经过点，则 ___.在此条件下，回答下列问题.
3
①抛物线顶点坐标为________，对称轴为直线________；
②点和点都在该抛物线上，则和的大小关系为________（用“ ”连接）；
③判断此抛物线与 轴是否有交点：____（填“是”或“否”）；
④当时， 的取值范围是____________；
⑤当时， 的最大值为____，最小值为___；
⑥将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线表达式为_____
____________；
⑦抛物线向左平移个单位后，经过点，则 的值为___.
否
12
3
1
命题点1 二次函数的图象与性质
考向 命题点1
1.与二次函数图象有关的问题 ；
2.二次函数的增减性 ；
3.二次函数图象与性质的相关推理，， .
1.如图,若抛物线与 轴围成封闭区域（边界除外）内整
点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为 ,则反比例函数
的图象是( )
D
A. B. C. D.
2.[2024石家庄正定模拟]已知,是抛物线
是常数， 上的两点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴是直线;②点在抛物线上；③若,则 ;
④若,则 .
其中，正确结论的个数为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
妙招
1.若抛物线上两点关于直线对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标与 的差的
绝对值相等.
2.若抛物线与轴或与轴平行的直线有两个交点，则这两个交点关于直线 对称.
3.[2025福建]已知点,在抛物线上,若 ,则下列
判断正确的是( )
A
A. B. C. D.
4.[2020河北]如图，现要在抛物线上找点，针对 的不同
取值，所找点 的个数，三人的说法如下：
甲：若，则点 的个数为0；
乙：若，则点 的个数为1；
丙：若，则点 的个数为1.
下列判断正确的是( )
C
A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对
5.变式 点在二次函数的图象上，针对 的不同取值，点
的个数不同，甲、乙两位同学分别得到如下结论：
甲：若点的个数为1，则 ；
乙：若点的个数为2，则 .
则下列判断正确的是( )
B
A.甲、乙均正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲、乙均错误
命题点2 二次函数解析式的确定与图象的平移
6.[2025河南节选]在二次函数中,与 的几组对应值如下表所示.
… 0 1 …
… 1 …
（1）求二次函数的表达式；
解:把和代入 ,
得解得
二次函数的表达式为 .
（2）求二次函数图象的顶点坐标,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
解：由,得抛物线顶点横坐标为,代入解析式得,
二次函数图象的顶点坐标为 .
函数图象如图.
易错
求二次函数图象的顶点坐标时，易出现横坐标符号错误.
对于抛物线,其顶点横坐标公式为 ，如果对公式记忆不准
确，忘记了前面的负号，就会导致计算出的顶点横坐标符号错误.
7.[2022河北]如图，点在抛物线上，且在 的对称轴右侧.
（1）写出的对称轴和的最大值，并求 的值.
解:， 抛物线的对称轴为直线， 的最大值为4.
把代入，得，解得或 .
又， .
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为， .平
移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为.求点 移动的最短路程.
解： .
的顶点为 .
如图，过抛物线的顶点作轴于点.连接 ，
.
由平移的性质可知， .
点 移动的最短路程是
.
妙招
二次函数图象的平移可以通过顶点位置的移动推出，因此先将二次函数的表达式转化为
顶点式确定其图象的顶点坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数
的表达式.
命题点3 二次函数的图象与系数,, 的关系
方法 命题点3
二次函数的图象特征主要包括开口方向、与轴有无交点、与 轴的交点及对称轴的位置，
根据这些特征可以确定，,及的符号.有时也会把 的值代入表达式，并根据图
象的位置确定对应 的符号，从而得出系数间的关系.
8.[2025山东烟台]如图,二次函数的部分图象与
轴的一个交点位于和之间,顶点的坐标为 .
下列结论:；②对于任意实数 ,都有
； ；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点
为,且是等边三角形,则 .其中所有正确结论的序号
是( )
D
A.①② B.①③ C.①④ D.①③④
解析 二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在 轴的右侧，
，， ，
，故①符合题意；
顶点的坐标为 ，
当时，取最大值，此时 ，
当时， ，
，
，故②不符合题意；
二次函数的图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线 ，
， ，
， ，
，故③符合题意；
为等边三角形，
， ，
设对称轴与轴的交点为，则， ，
，
设，的横坐标分别为， ，
，
，
令，可得， ，
，
，
， ，
又, ,
,
，
,
，
，故④符合题意.
故正确结论的序号是①③④.
9.T8变式[2025江苏徐州]如图为二次函数 的图象,下列代数式的值为负数
的是________（写出所有正确结果的序号）.
①②⑤
;;;; .
命题点4 二次函数与方程、不等式的关系
10.[2024廊坊广阳期末]如图所示，已知抛物线 与直线
交于，两点，那么关于 的不等式
的解集是 ( )
C
A. B.
C.或 D.或
11.[2023河北]已知二次函数和是常数)的图象与 轴都有两
个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的
距离为( )
A
A.2 B. C.4 D.
解析 由两个函数图象与轴都有两个交点，知 .如图，令
，解得，，则点坐标为 ；令
，解得，，则 .因为四个交点中
每相邻两点间的距离都相等，则，解得或 （舍去），又
函数图象的对称轴为直线，函数 图象的对称轴
为轴，所以两个函数图象对称轴之间的距离为 .故选A.
方法
1.对于抛物线与坐标轴的交点问题，需熟练掌握令 得到一元二次方程并求解的方法；
2.涉及点的对称关系时，要善于利用中点坐标公式建立方程求解未知参数;
3.对于方程的解，要根据题目条件进行合理的取舍，确保结果的准确性.
12.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于 ，
两点（点在点 的右侧）.
（1）判断点是否在抛物线 上，并说明理由；
解：点在抛物线 上.
理由： 当时，， 点在抛物线 上.
（2）若点到轴的距离为5，求 的值；
解：，顶点到 轴的距离为5，
当时，，解得；当时，，解得 .
综上，或 .
（3）若线段的长小于或等于4，求 的取值范围.
解：①当时，抛物线开口向下，由（1）知，抛物线与 轴
的交点为 ，
由（2）得抛物线的对称轴为直线 ，
，， ，
， 此种情况不符合题意，舍去.
②当时，抛物线开口向上，在轴上关于抛物线的对称轴（直线 对称且距离为
4的两点的坐标为，，， 当时，， ，
抛物线与 轴有两个交点， ,
, .
方法
的大小决定了抛物线的形状，无论是求待定系数的值还是求 的取值范围，解题时，先
根据题目要求确定特殊点的情况，然后结合二次函数的图象和性质，列出含有待定系数
的方程或不等式，进而求出 的值或取值范围，当不确定图象的开口方向时，注意要分情
况讨论.(共23张PPT)
命题点1 一次函数的综合应用
炼方法 求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的方法：
1.[2018河北]如图，直角坐标系中，一次函数 的
图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与 交
于点 .
（1）求的值及 的解析式；
解: 点在直线上， ，
解得 .
设的解析式为 ，
在上， ，
.
的解析式为 .
（2）求 的值；
解：把代入 ，
得 ，
解得， .
把代入，得 ，
， ，
，
.
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出 的值.
解：或2或 .
2.[2025石家庄晋州模拟]已知,函数 其
中为常数.记该函数的图象为 .
（1）当时,若图象经过点,求 的值；
解: ,
点在 的图象上.
.
（2）若点和点在图象上,当,且时,求 的值；
解： ,
将代入 ,
得， ,
将代入 ,
得, ,
点， 的纵坐标相等，
,
解得 .
（3）若,,当图象与线段有且只有一个交点时,请直接写出 的取值范围.
解：或 .
提示：易知图象的最低点坐标为 ，
①当点恰好在线段上时，则， ；
②当点在射线上时，，解得 ，
此时图象与线段 有且只有一个交点；
当点在射线上时，，解得 ，
易得此时图象与线段 恰好有两个交点，
当时，图象与线段 有且只有一个交点.
综上，或 ．
3.[2023河北]在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动
方式：从点移动到点 称为一次甲方式；
从点移动到点 称为一次乙方式.
例 点从原点 出发连续移动2次：若都按甲方式，最终
移动到点；若都按乙方式，最终移动到点 ；
若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 .
（1）设直线经过上例中的点，，求 的解析式，并
直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线 的解析
式.
解:直线的解析式为 .
直线的解析式为 .
（2）点从原点 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点
.其中，按甲方式移动了 次.
①用含的式子分别表示， .
解： ，
.
②请说明：无论怎样变化，点都在一条确定的直线上.设这条直线为 ，在图中直接画
出直线 .
解： ，
.
， .
无论怎样变化，点都在一条确定的直线上，
直线的解析式为 .
直线 如图所示.
（3）在（1）和（2）中的直线，，上分别有一个动点，，，横坐标依次为 ，
，，若，，三点始终在一条直线上，直接写出此时，， 之间的关系式.
解： .
解法提示
对于（3），根据已求出的直线，，的解析式可得点，，的坐标，由，，
三点始终在一条直线上可设解析式，利用待定系数法分析求解.
4.[2022河北]如图，平面直角坐标系中，线段 的端点为
， .
（1）求 所在直线的解析式.
解:设所在直线的解析式为 ，
将， 代入，
得解得
所在直线的解析式为 .
（2）某同学设计了一个动画：
在函数中，分别输入和的值，便得到射线，其中 .当
时，会从处弹出一个光点，并沿飞行；当 时，只发出射线而无光点弹出.
①若有光点弹出，试推算， 应满足的数量关系；
解：把，代入，得，即 .
，应满足的数量关系是 .
②当有光点弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 就会发
光，求此时整数 的个数.
解：设光点击中线段上的点，则 .
，
当是整数时， 也是整数.
点在射线 上，
由①得 ，
.
只有当，8，10，12，18时，为整数，则整数 的个数是5.
解析 一题多解
（2）②由①得射线所在直线为，设线段与射线交于点，则
.
为整数，可取，，，1，3，9，即为1，，，11，5， ，
不符合题意，舍去.的值为，，，2，8，故整数 的个数为5.
命题点2 一次函数的实际应用
5.[2019河北]长为的春游队伍，以 的速度向东行进.如图，当队伍排尾行进
到位置 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均
为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置 开始行进的时间为
，排头与的距离为 .
（1）当 时，解答：
①求与的函数关系式（不写 的取值范围）；
解:排尾走的路程为，则 .
②当甲赶到排头位置时，求的值，在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 的距
离为，求与的函数关系式（不写 的取值范围）.
解：甲从排尾赶到排头时，，解得 .
此时， .
甲从排头返回的时间为，则 .
（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写 的取值范围），
并写出队伍在此过程中行进的路程.
解：设甲从排尾赶到排头用时，则， .
设甲从排头返回到排尾用时 ，
则， .
.
队伍在此过程中行进的路程是 .
6.[2021河北]某机场监控屏显示两飞机的飞行图象如图所示，1号指挥机看成点 始终以
的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机看成点 一直保持
在1号机的正下方.2号机从原点处沿 仰角爬升，到高的 处便立刻转为水平飞
行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达 处.
（1）求的关于 的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
解:设的关于的函数解析式为 ，
与横轴的夹角为 ，
点的坐标为 .
将代入，得 .
的关于的函数解析式为 .
2号机的爬升速度为 .
（2）求的关于 的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
解：由题意，得点的坐标为 .
设的关于的函数解析式为，把， 代入，得
解得
的关于的函数解析式为 .
把代入，解得 .
号机着陆点的坐标为 .
（3）通过计算说明两机距离不超过 的时长是多少.
【注：（1）及（2）中不必写 的取值范围】
解：对于2号机，当时，在段上，；在段上，令 ，解得
两机距离不超过的时长为 .(共30张PPT)
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.平面直角 坐标系与函 数 平面直角坐标系 5年3考 4.反比例函 数 反比例函数的综合 应用 5年1考
函数的相关概念 — 反比例函数的实际 应用 5年2考
函数图象及其应用 5年4考 5.二次函数 的图象与性 质 二次函数的图象与 性质 5年_____考
2.一次函数 的图象与性 质 一次函数的图象与 性质 5年2考 二次函数解析式的 确定与图象的平移 5年4考
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
2.一次函数 的图象与性 质 一次函数解析式的 确定与图象的平移 5年3考 5.二次函数 的图象与性 质 二次函数的图象与 系数,, 的关系 —
一次函数与方程 （组）、不等式的 关系 — 二次函数与方程、 不等式的关系 5年2考
3.一次函数 的应用 一次函数的综合应 用 5年3考 6.二次函数 的综合应用 与其他函数的综合 应用 5年2考
一次函数的实际应 用 5年1考 与几何图形的综合 应用 —
续表
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
4.反比例函 数 反比例函数的图象 与性质 5年3考 7.二次函数 的实际应用 二次函数的实际应 用 5年2考
反比例函数中 的 几何意义 — 续表
模块体系构建
第1讲 平面直角坐标系与函数
目标领航
考点通关
命题研究
考点1 平面直角坐标系
1.相关概念
（1）平面直角坐标系：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系.
（2）有序数对：有顺序的两个数与 组成的数对叫作有序数对（“有序”指两个数的位置
不能随意交换,“数对”必须是两个数.），记作 .平面直角坐标系内任意一点都可以用
唯一一个有序数对来表示.
. .
. .
. .
2.平面直角坐标系内点的坐标特征
点的 位置 各象限内 坐标轴上 各象限角平分线上 平行于坐标轴的直
线上
图示 ___________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________
点的 位置 各象限内 坐标轴上 各象限角平分线上 平行于坐标轴的直
线上
点 的坐标特征 第一象限: ①___0， ；第二象限： ， ；第三 象限:， ②___ ；第四象限： ， （坐标轴上的点不属 于任何象限） 在横轴上： ③___；在纵轴 上： ④___；在 原点上： ， 在第一、三象限角 平分线上： ⑤___； 在第二、四象限角 平分线上： ⑥____ 平行于 轴的直线
上的点：⑦____坐
标相同；
平行于 轴的直线
上的点：⑧____坐
标相同
纵
横
续表
3.图形变换与点的坐标规律
图形变 换 对称变换 平移变换
点的坐 标规律 点 __________________________________________________________________________________________________
点 图形变 换 对称变换 平移变换
点的坐 标规律 点 __________________________________________________________________________________________________
续表
4.平面直角坐标系中的距离
（1）点到轴的距离为，到轴的距离为 ，到原点的距离为⑨__________.
（2）坐标平面内点， 间的距离
位置 距离公式
，两点在平行于 轴的直线上
，两点在平行于 轴的直线上
， 两点在坐标平面内任意位置
知识拓展
坐标平面内任意两点，所连线段的中点坐标为 .
在平面直角坐标系中，已知点 ．
（1）若点的坐标满足，则点 在第________象限；
（2）若点在轴上且距离原点2个单位长度，则点 的坐标是_______________；
（3）若点在轴上方且距离每条坐标轴都是3个单位长度，则点 的坐标是____________
_______；
（4）若点，则 _____；
（5）若点，轴，且，则点 的坐标是________________．
一、三
或
或
或
考点2 函数及其有关概念
1.常量与变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫作常量，数值发生变化的量叫作
变量.
2.函数的概念：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量，，如果对于 的每一个确
定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就说是的函数， 叫作自变量.
3.函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法.
4.画函数图象的步骤：列表、描点、连线.
5.函数表达式与函数图象的关系
图象上任意一点中的，都满足函数表达式.反之，满足函数表达式的任意一对,
的值所对应的点一定在函数的图象上.
6.自变量的取值范围
类型 整式 型 分式型 二次根式型 零（负整 数）指数 幂型 混合型 实际问题
自变量 的取值 范围 全体 实数 使分母不 为零的实 数 使被开方数为 非负数的实数 使底数不 为零的实数 各个代数式中自变量取值范围的公共部分 使实际问
题有意义
的实数
易错警示
画函数图象时要注意自变量的取值范围，当自变量不能取端点值时，将端点画为“空心圆圈”.
命题点1 平面直角坐标系
炼方法 求平面直角坐标系内点的坐标,应清楚各象限内点的坐标的符号特征,及特殊位置
上的点的坐标特征,理解点关于原点（或任意点）、坐标轴（或任意平行于坐标轴的直线）
对称的坐标变换规律,会根据平移或旋转的性质、几何图形的特征求得点的坐标.
2.[2025湖北]如图,平行四边形的对角线交点是原点.若 ,
则点 的坐标是( )
C
A. B. C. D.
1.[2025河北]若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为, ,则点
在平面直角坐标系中位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4. 变式 [2024保定模拟]小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的
密度，将测量数据绘制成如图所示的图象，四种物质中密度
最大的是( )
A
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.新定义 [2024河北] 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐
标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形 位于第一
象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”
最小的是( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
5.[2019河北]勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了，， 三地的坐标，
数据如图单位：.笔直铁路经过， 两地.
（1），间的距离为____ ；
20
（2）计划修一条从到铁路的最短公路，并在上建一个维修站，使到， 的距
离相等，则，间的距离为____ .
13
解析 如图，由点的坐标可知点在轴的负半轴上且.设 轴与直线
的交点为 ，
易得， ，
所以 ，
设，则，在 中，由勾股定理得
，即 ，
解得 ，
所以，间的距离为 .
命题点2 函数的相关概念
警易错 求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是
符合客观实际情况.
6.[2025山西]氢气是一种绿色清洁能源,可通过电解水获得.实践小组通过实验发现,在电解
水的过程中,生成物氢气的质量与分解的水的质量 满足我们学过的某种函数关系.
下表是一组实验数据,根据表中数据,与 之间的函数关系式为( )
C
水的质量 4.5 9 18 36 45
氢气的质量 0.5 1 2 4 5
A. B. C. D.
7.若函数有意义，则 ( )
D
A.有最小值 B.有最大值 C.可为0 D.不可为
命题点3 函数图象及其应用
明考向 2022年版课标要求能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，结合函数图象
对函数关系进行分析，并对变量的变化趋势进行推测，常见的考向有：
1.根据实际情境分析函数的图象， ;
2.几何图形背景下的函数图象的分析 ;
3.与动点相关的函数图象的分析 .
8.实际情境 [2025沧州学业考试] 甲、乙两地相距300千米,一辆货
车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的
平均速度）,如图，线段和折线 分别表示两车离甲地
的距离（单位：千米）与时间 （单位：小时）之间的函数关系,
下列说法正确的个数是( )
B
①两车同时到达乙地；
②轿车在行驶过程中进行了提速；
③货车出发3.9小时后,轿车追上货车；
④两车在前80千米的速度相等.
A.1 B.2 C.3 D.4
9.传统文化 [2024河北] 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.
如图，某折扇张开的角度为 时，扇面面积为.该折扇张开的角度为 时，扇面面
积为.若,则与 关系的图象大致是( )
C
A. B. C. D.
10.动点 [2023河北] 一种轨道示意图如图所示，其中和均为半圆，点， ，
，依次在同一直线上，且.现有两个机器人（看成点）分别从， 两点同时
出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 和
.若移动时间为，两个机器人之间的距离为，则与 关系的图象大
致是( )
D
A. B. C. D.
11.[2025保定部分学校模拟]在一条直线上依次有,, 三个海岛,
某巡逻船执行海洋巡逻任务,从岛出发沿直线匀速行驶到 岛,保
持速度不变,继续行驶到达岛.设该巡逻船行驶后,与 岛的距
离为,与 的函数关系如图所示.
（1）直接写出, 两海岛间的距离,并求出函数图象中括号处缺失
的数据；
解:,两海岛间的距离为 .
巡逻船的速度为, 从岛到岛需花费 ,
即函数图象中括号处缺失的数据为1.7.
（2）求段的关于 的函数解析式,并写出自变量的取值范围；
解：由题意,得,,设段函数解析式为,把, 点的坐标分别
代入得
解得
段函数解析式为 .
自变量的取值范围为 .
（3）在岛有一不间断发射信号的信号发射台,发射的信号覆盖半径为 ,请直接写出
该巡逻船能接收到该信号的时长.
解： .(共20张PPT)
第6讲 二次函数的综合应用
命题研究
命题点1 与其他函数的综合应用
明考向 1.二次函数与一次函数结合 ；
2.二次函数与反比例函数结合 ；
3.二次函数与二次函数结合 .
1.如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线
相交于点， 结合图象，判断下列结论：
①当时，；是方程 的一个
解；③若，是抛物线上的两点，则 ；④对于抛物
线，当时，的取值范围是 .
其中正确结论有( )
B
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.如图，已知抛物线的顶点为，曲线 是双曲线
的一部分，记作,其中，且, ，
将抛物线水平向右移动 个单位，得到抛物线
.
（1）求双曲线的解析式；
解:把，代入，得解得
所以双曲线的解析式为 .
（2）设抛物线与轴的交点为、，且点在点的左侧，则、 两点间的
距离为______；
（3）为与的交点坐标，求 的值.
解：把代入得 ，
即与的交点坐标为 ，
根据平移可知抛物线的解析式为 ，
把代入得，解得 ，
即的值为 .
3.[2025石家庄模拟节选]如图1，平面直角坐标系中，抛物线．
设抛物线与轴相交于点,，与轴正半轴相交于点 ，且 ．
图1
图2
图3
（1）求 的值．
解:, ，
将代入，得 .
（2）如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和点，求抛物线 的解
析式．
解：由平移性质及抛物线过点,可设抛物线的解析式为 ,
把代入，得，解得 ,
抛物线的解析式为 .
（3）设（2）中抛物线在轴左侧的部分与抛物线在轴右侧的部分以及点 组成的
新图象为．过点作直线平行于轴，与图象交于,两点，如图3．过的最高点
作直线，交于点,（点在点左侧），求 的值.
解：由（1）得，抛物线 的解析式为
, 抛物线的顶点 .
依题意得，过点作直线平行于轴，则为直线，过点作直线 ，
则为直线 ,
令，解得或 点在点 左侧，
, ,
， ,
.
命题点2 与几何图形的综合应用
炼方法 利用“平行线转移法”求斜三角形的面积
以抛物线上有一动点，使得 为例，如图，根据
“同底等高”的两个三角形面积相等,将直线 分别向上、向下平移
个单位长度，与抛物线的交点为点 ，则
，求出直线， 的解析式，分别与抛物线解析式联立，即可
求出点 的坐标.
4.[2024石家庄桥西质检]如图，在平面直角坐标系中，矩形
的对称中心为坐标原点,轴于点,函数 的
图象经过,两点，将的部分图象记为 .
（1）当时， 的最低点坐标为_ _____；
（2）当与矩形的边恰好有两个公共点时， ____.
5.在平面直角坐标系中，点 从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿
轴正方向运动.是等腰直角三角形，其中 ，
，点在第一象限，过作轴，垂足为，连接交
于，设运动时间为 秒.
（1）证明： .
解:证明：是等腰直角三角形，， ，
，
由题意知， ，
，
,
.
（2）当与相似时，求 的值.
解： ，
当时， ，
，
与 为等腰直角三角形，
由（1）知， ，
， ；
当时， ，
为等腰直角三角形，
，
由（1）知，，，则 ，与题目矛盾，舍去.
综上， 的值为2.
（3）在（2）的条件下，抛物线经过，， 三点，请问在抛物线
上是否存在点不与点重合，使得的面积与 的面积相等？若存在，
请求出 点坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.由（2）知，， ，
将，，分别代入 ，
得解得
.
设直线的解析式为 ，
将代入，解得 ，
.
当点在直线下方的抛物线上时，过点作的平行线，交抛物线于点，交 轴于点
，连接， ,
此时与同底等高，面积相等，易知直线的解析式为 ，
令 ，
解得 ，
此时点与点 重合，舍去；
当点在直线上方的抛物线上时，
直线是直线 向下平移1个单位长度得到的，
将直线向上平移1个单位长度得到直线，该直线与抛物线的交点即为 ，
满足与 同底等高，面积相等，
令 ，
解得， .
综上，点坐标为或 .
6.[2025邢台部分学校二模]如图,抛物线
为常数,与轴的交点分别为点,,且点在点 的左侧.
（1）若 ,
①当时,求 的取值范围;
解:时, .
令,得 ,
解得, .
抛物线 的开口向上,
当时, .
②点是抛物线的对称轴上的一点,点是抛物线上一点,若以点,,, 为顶点的四边
形是平行四边形,求点 的坐标.
解：抛物线的对称轴为直线.设点的横坐标为 .
当为平行四边形的边时,如图1、图2,则,即 ,
解得, .此时 .
点的坐标为,, .
图1
图2
图3
如图3,当为平行四边形的对角线时，易得点为抛物线的顶点 .
综上所述,点的坐标为,, .
（2）当时,是否存在的值，使得二次函数的最小值为？若存在，求出 的
值；若不存在，说明理由.
解：不存在.理由： 抛物线与轴的交点为,，且 ,
对称轴为直线 .
当,即 时,
抛物线的开口向上, 当时，随 的增大而增大,
故当时,取最小值，为 ,不符合题意;
当,即时,二次函数在 处取得最小值,
，不符合题意.
综上,当时,不存在的值，使得二次函数的最小值为 .(共23张PPT)
考点1 一次函数的图象与性质
1.一次函数的概念
一般地，形如，都是常数，且 的函数叫作一次函数.
特别地，当时，称为正比例函数.非0常数 叫作比例系数.
. .
2.一次函数的图象与性质
的符号 的符号
图象 __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________
所过象 限 过第①____ _______象 限 过第一、 二、三象限 过第一、 三、四象限 过第二、四 象限 过第②____ ________象 限 过第二、
三、四象限
性质 时，随 的增大而③______ 时，随 的增大而④______ 越大，直线越靠近轴；越小，直线越靠近 轴 一、三
一、
二、四
增大
减小
知识拓展 , 的符号与一次函数图象的关系
1. 的符号确定图象的倾斜方向与函数的增减性：
一次函数的图象从左向右看：呈上升趋势;呈下降趋势 .
2.的符号确定图象与 轴的交点位置：
一次函数的图象与轴的交点：在正半轴上;在负半轴上 ;是坐
标原点 .
3.直线与坐标轴的交点
直线，，是常数与轴的交点坐标为⑤________，与 轴的交点坐标
为⑥______.
考点2 一次函数解析式的确定与图象的平移
1.待定系数法确定解析式的步骤：
（1）设：设一次函数解析式为 ；
（2）代：将已知点的坐标（两组不同的，的值）代入函数解析式，列出关于系数，
的方程组；
（3）解：解方程组，求出与 的值；
（4）定：将，的值代入 中，从而得到函数解析式.
2.一次函数图象的平移（口诀:左加右减自变量,上加下减常数项）
知识点睛
直线和 的位置关系：
当，时，直线与 平行；
当时，直线与 垂直．
考点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系
图示 关系 ___________________________________________ 关于的一元一次方程 的根就是一次函数 、是常数， 的图象与⑦___轴交点的 ⑧____坐标 从数上看 或时，自变量 的取值范围就是不
等式或 的解集
从形上看 如图，当时，取直线在轴上方部分， 的
取值范围为⑨________；当 时，取直线在
轴下方部分， 的取值范围为⑩_______
横
图示 关系 _____________________________________________________ 方程组 的解就是两个一次函数图象的交点坐 标 从数上看 或时，自变量 的取值范围就
是不等式 或
的解集
从形上看 以交点为界限，直线位于直线 上方时，
，此时 的取值范围为 _______；直线
位于直线下方时，，此时 的取值范
围为 _______
续表
1.已知一次函数 .
（1）的取值范围是_________，若该函数是正比例函数，则 的值为___；
（2）若该函数图象与轴的交点坐标为，则的值为____，若该函数图象与 轴交
于负半轴，则 的取值范围为_______；
（3）若该函数图象不经过第四象限，则 的取值范围为____________；
（4）若，是该一次函数图象上的两点，当时，，则
的取值范围为_________.
1
2.已知一次函数，其图象经过点和 .
（1）____， ___；
（2）不等式 的解集为______；
（3）直线与直线的交点 的坐标为______；
（4）不等式 的解集为______；
（5）将直线 向下平移2个单位，得到的直线的表达式为____________.
3
命题点1 一次函数的图象与性质
方法 命题点1
对于一次函数，当时，随的增大而增大，且 时，函数图
象经过第一、二、三象限，时，函数图象经过第一、三、四象限；当时， 随
的增大而减小，且时，函数图象经过第一、二、四象限， 时，函数图象经过
第二、三、四象限.
1.[2025邯郸武安模拟]关于一次函数 ，下列说法不正确的是( )
B
A.图象经过点 B.图象经过第三象限
C.函数随自变量的增大而减小 D.当时，
2.若，，则 的图象可能是( )
B
A. B. C. D.
3.变式 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象分别为直线和直线 ，下列结论正确的是( )
D
A. B. C. D.
命题点2 一次函数解析式的确定与图象的平移
4.[2025天津]将直线向上平移 个单位长度,若平移后的直线经过第三、第二、
第一象限,则 的值可以是_________________________________（写出一个即可）.
2（答案不唯一，满足即可）
5.[2025邯郸武安模拟节选]如图，已知点， 为平面直
角坐标系内两点，点为轴上一点，连接， .
（1）求直线 的函数解析式；
解：设直线的函数解析式为 ,
将， 代入，
得解得
直线的函数解析式为 .
（2）当的周长最小时，求点 的坐标.
解：当 的周长最小时，
的长为定值， 的值最小.
作点关于轴的对称点，则点坐标为，延长，点在直线 上，此时
的值最小，最小值为 的长,
设直线的函数解析式为 ，
将， 代入，
得解得
直线的函数解析式为,令，则 ,
当的周长最小时， .
妙招
（2）当的周长最小时，因为的长为定值，则的值最小，作点关于
轴的对称点，则点坐标为，延长，点在直线上，此时 的值最
小，最小值为的长，求出直线的函数解析式为，令 ，则
，从而得到点的坐标为 .
命题点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系
方法 命题点3
1.一次函数与一元一次方程
（1）从“数”的角度看,方程的解就是函数在 时
对应的 的值;
（2）从“形”的角度看,方程的解就是函数的图象与
轴交点的横坐标.
2.一次函数与二元一次方程组
（1）从“数”的角度看,解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时,方程组对应的两个
函数的值相等,以及这个函数值是何值;
（2）从“形”的角度看,解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地,如果一
个二元一次方程组有唯一解,那么这个解就是二元一次方程组对应的两条直线的交点坐标.
3.一次函数与不等式
（1）从“数”的角度看,解不等式 或 就是求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围;
（2）从“形”的角度看,解不等式 或就是确定直线
在 轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.
6.如图，直线与直线为常数 的交点在第四象
限，则 的取值范围可能是( )
D
A. B.
C. D.
7.[2025沧州学业考试]在平面直角坐标系中，直线与为常数 相交
于点，则关于，的二元一次方程组 的解为 ( )
B
A. B. C. D.
8.[2020河北]表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线 ，
如图所示.而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与 交换位置后得另一个
一次函数，设其图象为直线 .
0
1
（1）求直线 的解析式；
解:直线的解析式为 .
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和 轴所截线段的长；
解：如图， 为所画直线.
由，交换位置得直线的解析式为.设直线与直线交于点 ，
与轴交于点，过点作轴于点.易得点的坐标为 .
联立得解得
.
在中，， ，
.
直线被直线和轴所截线段的长为 .
（3）设直线与直线，及 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直
接写出 的值.
解：或 或7.(共25张PPT)
命题点 二次函数的实际应用
明考向 1.运动轨迹（抛物线形）问题,, ;
2.构建二次函数模型解决问题 ;
3.销售、利润问题, .
1.[2023河北]嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图,在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长.嘉嘉在点 处将沙包（看成点）
抛出，其运动路线为抛物线的一部分.淇淇恰好在点 处接住,
然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分.
（1）写出的最高点坐标，并求, 的值；
解:的最高点坐标为 .
将代入得，解得 .
所以的解析式为 ，
当时，，所以 .
（2）若嘉嘉在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过 的范围内可以接到沙
包，求符合条件的 的整数值.
解：将代入，得；将代入 ，得
，所以的取值范围为，所以符合条件的 的整数值为4或5.
2.跨学科 [2020河北]用承重指数 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一
些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度 （厘米）
的平方成正比，当时， .
（1）求与 的函数关系式.
解:设 ，
把，代入，得 ，
解得. .
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块
木板（不计分割损耗）.设薄木板的厚度为（厘米）， .
①求与 的函数关系式.
解：
.
②为何值时，是 的3倍？
【注：（1）及（2）中的①不必写 的取值范围】
解：由题意，得 ，
解得， （舍去）.
.
3.[2025秦皇岛摸底]某公司生产一种建筑材料，生产费用 （万元）由材料费用、人工费
用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产量 （吨）成正比，
制造费用（万元）与生产量（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1 000万元，试行
中得到了下表中的数据．
生产量 吨 50 70
生产费用 万元 1 500 1 840
（1）求与 的函数解析式.
解:依题意，设材料费用为，制造费用为 ，
则 ，
将， 代入可得
解得
与的函数解析式为 .
（2）已知售出吨该建筑材料的单价为万元，其中为常数)．设出售 吨
材料时的利润为 万元．
①求与 的函数解析式；
解：依题意得
.
②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产量是150吨时，所获利润最大，求此时 的值．
解： ，
当生产量是150吨时，利润最大，
，解得 ，
此时 ．
4.[2017河北]某厂按用户的月需求量（件）完成一种产品的生产，其中 .每件的售
价为18万元，每件的成本 （万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动
价与月需求量（件）成反比，经市场调研发现，月需求量与月份 为整数，
符合关系式 为常数)，且得到了表中的数据.
月份 月 1 2
每件的成本 万元 11 12
月需求量 件 120 100
（1）求与 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
解:由题意设 ，由题表中数据，
得解得
.
当利润为12万元时，
，整理得 ，
，， 一件产品的利润不可能是12万元.
（2）求 ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
解：将，代入，得 ，
解得， .
由题意，得，解得 .
经检验， 是分式方程的解.
令 ，
即 .
，
方程无实数根. 不存在某个月既无盈利也不亏损.
（3）在这一年12个月中，若第个月和第个月的利润相差最大，求 .
解：若用表示第个月的利润，用和分别表示第个月和第 个月的利润，
则 ，
第个月的利润，第 个月的利润
当时， ，
取最小值1时， 的值最大，为240.
当时， ，
， ，
取最大值11时， 的值最大，为240.
综上所述， 或11.
5.[2025张家口一模]嘉嘉和淇淇在一起玩弹力球，在点 处有一个发射装置，向右上方发
射一个弹力小球，小球的运动轨迹是抛物线 的一部分，建立如图所示的平面直角坐标
系，点，在抛物线上，抛物线交轴于点，最终，小球落在了 轴
上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起来，继续向右沿着另一条抛物线 运
动，抛物线和 形状相同，且小球最大高度为2．
（1）求抛物线 的表达式和其顶点坐标;
解: 抛物线过点和 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
设抛物线 的表达式为 ，
抛物线过点 ，
将点， 的坐标代入，得
抛物线 的表达式为 ,
抛物线的顶点坐标为 .
（2）在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球筐，斜边为入口， ，
,当小球落在斜边（不包括端点）上时，小球落入球筐，若点 的坐标为
，判断小球被反弹后，是否能落入球筐，若能，请说明理由，若不能，则为了使
小球落入球筐，需平移球筐，求平移后点横坐标 的取值范围．
解：小球不能落入球筐.
抛物线和抛物线形状相同，且小球的最大高度为2，
设 的表达式为 ,
抛物线过点， 将代入可得 ,
解得，（舍去）， ，
抛物线 的表达式为 ，
将代入 ,
得（舍去）， .
点的横坐标为 ,
小球不能落入球筐.
当抛物线与斜边（不包括端点）相交时，小球能落入球筐， ,
令 ,
或 （舍去），
，
平移后点横坐标的取值范围为 .
6.[冀教九下P43习题B组改编]第二十四届冬季奥林匹克运动会在
北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌.在该项目中，
运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体
在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止.本项目主要考核
运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
该兴趣小组绘制的赛道截面示意图如图所示，以停止区所在的水平线为 轴，过起跳点
与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系.着陆坡 的坡角为
，. 某运动员在处起跳腾空后，飞行至着陆坡的处着陆， .
在空中飞行的过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离 具备二次函
数关系，其解析式为 .
（1）求、 的值.
解:过点作交轴于点，交轴于点 ，
， ，
，
，
，
，
.
抛物线过，两点，将坐标代入 中，
得
解得
（2）进一步研究发现，运动员在飞行的过程中，其水平方向移动的距离 与飞行时间
具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行 后着陆.
①求关于 的函数解析式.
解：由题意可设 ，
易得当时， ，
， ，
关于的函数解析式为 .
②当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离 最大？最大值是多少
解：设直线的函数解析式为，由直线过，
两点，
得解得
直线 的函数解析式为 ，
运动员飞行路线满足 ，
，
由①得 ，
，
当时，最大，最大值为 .

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