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(共27张PPT)
考点1 比例线段和比例的基本性质
1.相关概念
（1）线段的比：两条线段长度的比叫作这两条线段的比.（求两条线段的比时必须统一单
位）
（2）比例线段：四条线段,,, 中，如果①______，那么这四条线段叫作成比例线段，
简称比例线段.
（3）比例中项：如果三个数,,满足比例（或）,那么就叫作, 的比例
中项.
（4）黄金分割：线段上一点把线段分成两条线段与 ，如果
，那么称点是线段的黄金分割点，线段与整条线段 的比叫作黄金比，即
.
2.比例的性质
（1）;
（2） ;
（3） .
3.平行线分线段成比例
基 本 事 实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成 比例. 如图，当时，有， __________________________________________
推 论 平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线）,所得的对应线段成比例.如 图,当时，有， 等 __________________________________________________________________________
考点2 相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
1.相似三角形的性质
（1）对应角②______，对应边③________;
（2）相似三角形对应线段（中线、高、角平分线）的比都等于④________;
（3）周长之比等于相似比，面积之比等于⑤______________.
相等
成比例
相似比
相似比的平方
2.相似三角形的判定
判 定 定 理 平行于三角形一边的直 线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角分别⑥______的两个三角形相似 两边成比 例且⑦______相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 一条直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似
图 示 ________________ __________________ __________________ ________________________ __________________ ___________________ _________________ _________________ ______________________________________________
相等
夹角
3.相似多边形
（1）定义：两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形
叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作相似比.
（2）性质：对应角相等;对应边的比等于相似比；周长比等于相似比，面积比等于相似比
的平方.
考点3 图形的位似
定义 如果两个图形不仅相似而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的
两个图形叫作位似图形,这个点叫作位似中心,对应边的比叫作位似比,位似比
等于相似比（位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形）
示例 如图，两个多边形的顶点与,与,与, 所在的直线都经过同一点
,并且 ，像这样的两个多边形叫作位似图形，点 是位
似中心
____________________________________________
性质 （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于⑧________；
（2）对应边互相平行或在一条直线上；
（3）对应点连线所在的直线都经过同一点（位似中心）
位似变换 与坐标的 关系 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的
图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上点 对应的位似图
形上点的坐标为或
位似比
续表
如图，在中，，分别是边，上的动点（不与，，重合），和 交
于点，连接 .
（1）若，， .
① __；
②当时， ___；
2
③写出所有与 相等的线段比：________________；
，，，
④当时，___，当时，
____.
4
21
（2）若 ， ，则当___________时，与 相似.
（3）若，，，，且与 位似,则位似中心为点
___， ___.
或
命题点1 比例线段与相似多边形
1.[2025河北]“这么近,那么美,周末到河北.”嘉嘉周末到弘济桥游览,
发现青石桥面上有三叶虫化石,他想了解其长度,在化石旁放了一支
笔拍下照片（如图）.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为
和,笔的实际长度为 ,则该化石的实际长度为( )
C
A. B. C. D.
2.[2025甘肃]“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”风筝古称纸鸢,起源于
春秋战国时期,风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富
校园生活,某校开展风筝制作活动,小言和哥哥制作了一大一小两个形状
相同的风筝,风筝的形状如图所示,其中对角线 .已知大、小风筝
的对应边之比为,如果小风筝两条对角线的长分别为和 ,
那么大风筝两条对角线长的和为_____ .
195
命题点2 相似三角形的性质与判定
炼方法 相似三角形的判定思路
（1）有平行截线:直接用判定定理.
（2）有一对等角:找
（3）有两边分别成比例:找
（4）直角三角形:找
（5）等腰三角形:找
3.[2025河北]如图,在五边形中,,延长, ,分别
交直线于点, .若添加下列一个条件后,仍无法判定
,则这个条件是( )
D
A. B.
C. D.
4.[2021河北]图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，
此时液面 ( )
C
图1
图2
A. B. C. D.
5.[2022河北]钉板示意图如图所示，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形的顶
点，钉点，的连线与钉点，的连线交于点 ，则
（1）与 是否垂直？____（填“是”或“否”）.
（2） _ ___.
是
6.[北师九上P122复习题T18改编]已知、、 是三个
全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且 ，
.连接，分别交、、于点、、 .
（1）求证： ；
证明：、、 是三个全等的等腰三角形，
，，， ，
又 ，
.
（2）求 的长；
解:由（1）知 ，
， ，
.
（3）计算 ___.
2
提示：、、 是三个全等的等腰三角形，
，， ，
，， ，
同理 ，
， ，
， ，
，， ，
.
命题点3 图形的位似
炼方法 1.位似图形需满足两个相似多边形的对
应顶点所在的直线相交于一点，这个交点就是位似中心.若两个相似多边形的对应顶点所
在直线不交于同一点，则这两个图形不具备位似关系.
2.若已知原图形及位似中心，确定哪个是原图形的位似图形,则只需根据位似图形的画法
对给出的点进行观察，即可确定位似图形.
7.[2020河北]在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形 的
位似图形是( )
A
A.四边形 B.四边形
C.四边形 D.四边形
8.[2024保定模拟]如图1，以为位似中心，作出的位似,使 与
的位似比为 .图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证
.则下列说法正确的是( )
C
图1
图2
图3
A.只有珍珍正确 B.只有明明正确 C.两个人都正确 D.两个人都不正确
9.[2025浙江]如图,五边形,是以坐标原点 为
位似中心的位似图形,已知点,的坐标分别为,.若
的长为3,则 的长为( )
C
A. B.4 C. D.5(共27张PPT)
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
1.几何初步、 相交线与平 行线 直线、射线、线 段与角 5年2考 4.全等三角形 全等三角形的性 质 5年3考
相交线与平行线 5年3考 全等三角形的判 定 5年_____考
角平分线和线段 的垂直平分线 5年1考 5.相似三角形 （含位似） 比例线段与相似 多边形 5年1考
命题 — 相似三角形的性 质与判定 5年_____考
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
2.三角形及其 性质 三角形的有关概 念 5年4考 5.相似三角形 （含位似） 图形的位似 —
三角形中的重要 线段 5年3考 6.锐角三角函 数与解直角 三角形 求锐角三角函数 值 5年1考
3.等腰三角形 与直角三角 形 等腰三角形 5年4考 方向角、仰角、 俯角 5年1考
直角三角形 5年_____考 解直角三角形的 实际应用 5年3考
续表
模块体系构建
第1讲 几何初步、相交线与平行线
目标领航
考点通关
命题研究
考点1 直线、射线、线段与角（含角平分线）
1.直线、射线与线段
两个基本事实 （1）经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）；
（2）两点之间的所有连线中，线段最短.简述为：两点之间，线段最短
两点之间的距 离 连接两点间线段的①______，叫作这两点之间的距离
线段的中点 ___________________________________________
如图，把线段分成相等的两条线段、，点叫作线段 的
中点.②_ _（或 ）
长度
2.角与角平分线
角的定义 有公共端点的两条③______组成的图形叫作角 角的类型 常见角的类型有锐角、直角、钝角、平角、周角.1周角 平角 直角 度、分、秒的换算 ； （度、分、秒之间是60进制） 余角 和为④_____的两个角互为余角（同角或等角的余角相等） 补角 和为⑤______的两个角互为补角（同角或等角的补角相等） 角平分线 性质 角平分线上的点到角两边的距离⑥______
判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
射线
相等
考点2 相交线（含线段的垂直平分线）
1.相交线中的角
两条 直线 相交 对顶角 性质：对顶角⑦______ 邻补角 性质：互为邻补角的两个角的和为⑧______（互为补角与互为邻补角的区别:互为补角只强调两个角之间的数量关系，而互为邻补角还要强调两个角之间的位置关系） 三条 直线 相交 三线 八角 同位角 与⑨____，与，与， 与 是同位角
内错角 与， 与⑩____是内错角 同旁内角 与， ____与 是同旁内角 相等
2.垂线
（1）性质： .在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；
.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ________最短.
（2）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
垂线段
3.线段的垂直平分线
（1）性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
（2）判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
考点3 平行线（两条平行线间的距离处处相等）
平行公理及其 推论 公理 经过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线的性质 与判定 两直线平行同位角 ______；两直线平行 内错角相等； 两直线平行 同旁内角 ______ 相等
互补
知识拓展 平行线中的模型
作平行线 作延长线 结论
铅笔头模型 ________________________________ _____________________________________ 若 ,则
锯齿模型 ____________________________________ ______________________________ 若,则
作平行线 作延长线 结论
外折模型 ________________________________ ____________________________________ 若,则
续表
考点4 命题与定理
1.命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫作命题.命题由题设和结论两部分组成.
（2）分类
（3）互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和
题设，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理.
方法点睛 判断命题真假的方法
1.判断命题是假命题的常用方法是举反例；
2.真命题可根据定义、公式、性质、判定定理等直接做出判断，必要时需严格推理论证.
命题点1 直线、射线、线段与角
1.[2021河北]如图，已知四条线段，，， 中的一条与挡板另一侧的线
段 在同一直线上，借助直尺可判断该线段是( )
A
A. B. C. D.
2.[2025河南]如图所示,有一个六边形零件,利用图中的量角
器可以量出该零件内角的度数,则所量内角的度数为( )
C
A.
B.
C.
D.
3.[2025贵州]下列图中能说明 一定成立的是( )
A
A. B. C. D.
命题点2 相交线与平行线
4.[2025河北]榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.下图是某个构件的截面图,其
中, ,则 ( )
C
A. B. C. D.
5.[2020河北]如图，在平面内作已知直线 的垂线，可作垂线的条数有( )
D
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
6.[2022河北]要得知作业纸上两相交直线， 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业
纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
方案Ⅰ
_________________________________________________
①作一直线，交，于点， ；
②利用尺规作 ；
③测量 的大小即可.
图1
方案Ⅱ
_____________________________________________
①作一直线，交，于点， ；
②测量和 的大小；
③计算 即可.
图2
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是( )
C
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都可行 D.Ⅰ、Ⅱ都不可行
7.[2019河北]下面是投影屏上出示的抢答题，需
要回答横线上符号代表的内容.
下列回答正确的是( )
C
A.◎代表 B.@代表同位角
C.代表 D.代表
命题点3 角平分线和线段的垂直平分线
炼方法 角平分线中添加辅助线的方法
已知平分 .
方法一：作垂线.#1.2
方法二：作平行线.#1.3
方法三：延长垂线段.#1.4
8.[2025江苏连云港]如图,在中,, 的垂直平
分线分别交、于点、, 的垂直平分线分别交
、于点、,则 的周长为( )
C
A.5 B.6 C.7 D.8
9.[2025内蒙古]如图,直线,点,分别在直线, 上,连接
,以点为圆心,适当长为半径画弧,交射线于点,交于点 ,
再分别以点,为圆心,大于 的长为半径画弧（两弧半径相
等）,两弧在的内部相交于点,画射线交于点 ,若
,则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
10.[2025江苏连云港]如图,在中, ,
,平分,,为垂足,则 的值为
( )
A
A. B. C. D.
解析 延长与，使其相交于点 ，
易得， ，
， ，
， ，
， ，
平分 ，
，
， ，
， ，
，
.
11.[2024张家口期末]如图，平分， ，于点， ，
，则 ___.
2
命题点4 命题
12.[2025四川成都]下列命题中,假命题是( )
D
A.矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.平行四边形的对角线相等
13.[2025北京]能说明命题“若,则”是假命题的一组实数,的值为 ___,
_________________.
1（答案不唯一）(共29张PPT)
考点1 锐角三角函数
1.锐角三角函数的定义
如图，在中， ，,,, 为
的一个锐角，则有：
的正弦： ①__；
的余弦： ②__；
的正切： ③__.
温馨提示
三角函数的值都是比值，所以其大小只与角的大小有关，而与它所在三角形的边长无关.
2.特殊锐角的三角函数值
图示
④_ _ ⑤_ __ ⑥_ __ ____________________________
__________________________
⑦_ __ ⑧_ __ ⑨_ _ ⑩_ __ ___ ____
1
考点2 解直角三角形
前提 元素 关系
如图，在 中， ，，， 分别为 ,, 所对的边 ____________________________________________ 三边 （勾股定理）
两锐角 _____
边和角 ，
，
，
方法点睛
解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦）,无斜用切（正切）,宁
乘勿除,取原避中”,其含义是当已知条件中有斜边时,选用正弦或余弦,无斜边时,就用正切;
当所求元素既可用乘法又可用除法求解时,通常用乘法,不用除法,既可用已知数据又可用中
间数据求解时,用已知数据,不用中间数据.
1.[人教九下P84复习题改编]在中， ,，则 _ ____.
2.[人教九下P84复习题改编]在中， ,，，则
_____，_____， _____.
考点3 解直角三角形的实际应用
内容 描述 图示
仰角、俯 角 它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角.如图,是仰角, 是俯角 ____________________________________
坡度（坡 比）、坡角 如图,通常把坡面的铅垂高度和水平宽度 的比叫作坡度 （或坡比）,用字母表示,即 .坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作 ,则有 ______ ___________________________________
内容 描述 图示
方向角 如图,点位于点的北偏东 方向,点位于 点的南偏 东 方向 ______________________________________
续表
3.[北师九下P15习题 改编]一辆汽车沿着一山坡行驶195米，其铅直高度上升了75米，则
山坡的坡度是___.
4.[北师九下P25复习题改编]一艘船由A港沿北偏东 方向航行 至B港，然后
再沿北偏西 方向航行至C港.则A，C两港之间的距离为______ （结果保留根
号），C港在A港北偏东_____方向上.
命题点1 求锐角三角函数值
方法 命题点1
求锐角三角函数值的方法
1.直接法:利用锐角三角函数的定义直接求解,有时需利用勾股定理求出第三边.
2.构造法:添加辅助线构造直角三角形,在直角三角形中进行相关计算.
3.转换法:不能直接计算时,可通过等角的三角函数值相等,去求等角的三角函数值.
1.[人教九下P69习题T6改编]如图，在 的网格中，每个小正方形的边
长均为1．若点，，都在格点上，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
2.如图，是平面镜，光从点出发经上点反射后照射到 点，若
入射角为 ，反射角为 （反射角等于入射角），于点 ，
于点，且，，，则 的值为__.
3.[2024石家庄模拟]如图，6个大小相同的小正方形恰好放置在 中，若小正方形的
边长为1，则：
（1） _ _；
（2） ___.
8
命题点2 方向角、仰角、俯角
方法 命题点2
1.若在的北偏东 方向上，则在的南偏西 方向上.
2.解决方向角问题常用关系：
妙招 命题点2
东北方向指北偏东 方向，东南方向指南偏东 方向，西北
方向指北偏西 方向，西南方向指南偏西 方向.
4.[2019河北]如图，从点观测点 的仰角是( )
B
A. B. C. D.
5.[2023河北]淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西 的方
向，则淇淇家位于西柏坡的 ( )
D
A.南偏西 方向 B.南偏东 方向
C.北偏西 方向 D.北偏东 方向
6.T5变式 如图，快艇从处向正北航行到处时，向左转 航行到 处，
再向右转 继续航行，此时的航行方向为( )
A
A.北偏东 B.北偏东 C.北偏西 D.北偏西
7.T5变式 已知:岛位于岛的正西方,由岛,分别测得船位于南偏东 和南偏西
方向上.符合条件的示意图是( )
D
A. B. C. D.
命题点3 解直角三角形的实际应用
考情 命题点3
河北2024年首次以解答题形式单独考查利用锐角三角函数解决实际问题，往年多是和其
他知识结合在解答题出现，体现了2022年版课标中创设合理情境，结合生活经验，感受
数学在现实世界的广泛应用.
方法 命题点3
1.解直角三角形实际应用问题的思路：
方法 命题点3
2.解直角三角形实际应用问题的一般方法：
（1）紧扣三角函数定义,寻找边角关系.
（2）添加辅助线,构造直角三角形.作高线是常用的辅助线添
加方法.
（3）逐个分析，构造方程求解.可设直角边长为,分别在不同的直角三角形中用含 的代
数式表示出未知边长,再根据两个直角三角形边长的数量关系（和差或相等）列方程求出
未知量.
8.[2025浙江]无人机警戒在高速公路场景中的应用是我国低空
经济高质量发展的重要实践方向.如图,在高速公路上,交警在 处
操控无人机巡查,无人机从点处飞行到点 处悬停,探测到它的
正下方公路上点处有汽车发生故障.测得处到 处的距离为
,从点观测点的仰角为 ,,则处到 处的
距离为_____ .
490
9.[冀教九上P124复习题A组T5改编]某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 .如
图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为 ，无人机沿水平线
方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为 ，无人机距地面的铅直高度
为米，点，，在同一条直线上，其中.求河流的宽度
（结果精确到1米，参考数据： ）.
解:过点作于点，则四边形 是矩形.
， ，
， .
在中， ，
， ，
.
在中， ， ，
，即 ，
，
（米）.
答：河流的宽度 约为64米.
10.新考法 [2024河北] 中国的探月工程激发
了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过
窗户的最高点 恰好看到一颗星星，此时淇
淇距窗户的水平距离,仰角为 ;淇
淇向前走了后到达点,透过点 恰好看到
月亮，仰角为 ,下图是示意图.已知，淇淇
的眼睛与水平地面 的距离
,点到的距离,的延长线交于点 . （注：图中所有
点均在同一平面）
（1）求 的大小及 的值;
解:，,, 四边形 为矩形，
.
,， ,
四边形 为矩形，
,, , .
, ,
, .
为等腰直角三角形,
.
（2）求的长及 的值.
解：在 中，
.
,, ,
过点作，垂足为点 ,
, 设 ,
则 ,
,
又, ，
即 ,
.(共25张PPT)
考点1 全等三角形的性质
1.定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形（平移、翻折、旋转前后的两个三角
形必然全等）.两个全等三角形能互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，能互相重
合的边叫作全等三角形的对应边，能互相重合的角叫作全等三角形的对应角.
2.性质
（1）全等三角形的对应边①______，对应角②______；
（2）全等三角形的周长相等，面积③______；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等.
相等
相等
相等
. .
考点2 全等三角形的判定
1.判定方法
判定方法 文字叙述
（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等
（边角边） 两边和它们的④______分别相等的两个三角形全等
（角边角） 两角和它们的⑤______分别相等的两个三角形全等
（角角边） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
（斜边、直角边） 斜边和一条⑥________分别相等的两个直角三角形全等
夹角
夹边
直角边
2.判定思路
找夹角→ ,
找直角（非夹角）→ ，
找另一组边→ .
（2）
找夹边→ ,
找其中一角的对边→ .
（1）已知两组边分别相等
（3）已知两组角分别相等
易错警示
“”不是判定三角形全等的方法.例如，如图，在和中，，
，，但与不全等.
如图，在中，于点，于点，与交于点，且 ，
连接 .
（1）下面是黑板上给出的问题及不完整的证明过程，请填写横线上的内容.
求证： .
证明：，， .
在和 中，
,
_______________, (______).
,
.
（2）求证： .
证明：由（1）知， .
又 ， .
在和中，
.
（3）求证： .
证明：由（2）知， .
在和中，
.
（4）求证： .
证明：延长交于点 ，
由（2）易得 ，
由（3）易得 ，
， ,
， ，
.
命题点1 全等三角形的性质
易错 命题点1
全等三角形的性质包括对应边相等、对应角相等，有时还有对应高、中线、角平分线相
等及周长、面积相等.解题时可能只考虑到对应边和对应角相等，而忽略其他.
1.已知图中的两个三角形全等，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
2.[2025江苏扬州]在如图所示的房屋人字梁架中,,点在 上,下列条件不能说明
的是( )
B
A. B. C. D.平分
3.[2024石家庄模拟]若，且的周长为20，， ，则
___.
7
4.[2019河北]如图，和中，，， .边
与边交于点（不与点，重合），点，在异侧.为 的内心.
备用图
（1）求证： ；
证明：，，， .
，即 .
（2）设，请用含的式子表示，并求 的长度的最大值；
解: .
如图，当时，最小， 最长.
，， .
.
的长度的最大值为3.
（3）当时，的取值范围为 ，分别直接写出， 的值.
解：， .
提示：根据为的内心可得， ，
，的大小取决于的大小.假设点 与点
重合，此时 ；随着点接近点，的值接近于 ，假设
，此时 ，即 ，
， .
妙招
1.根据“”证 ，再根据角的和差关系即可证明.
2.由得用表示的式子.当最短时， 长取得最大值.
3.根据内心的性质易求得,可知的大小取决于 的大小，判
断 的大小即可求解.
命题点2 全等三角形的判定
方法 命题点2
判定三角形全等时找等角或等边的常用方法:
5.[2023河北]在和中， ,, .已
知 ,则 ( )
C
A. B. C. 或 D. 或
解析 ,, 点到的距离为3，点到 的距离为
， 点的位置有两个，易得 或 ,故选C.
6.[2024四川遂宁]如图①，与满足， ，
，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在
中，，点，在线段上，且 ，则图②中共有“伪全等三角形”
( )
D
图①
图②
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
解析 ， .
在和 中，
，
.
，， ，
，和 是一对“伪全等三角形”.
同理可得，和是一对“伪全等三角形”，和 是一对“伪全等三角形”，
和 是一对“伪全等三角形”.
所以图中的“伪全等三角形”共有4对.故选D.
7.[2025河北]如图,四边形的对角线,相交于点 ,
,,点在上, .
（1）求证: ;
证明： ，
，
.
在和 中，
.
（2）若,求证: .
证明：， ，
， .
8.[新冀教八上P56练习改编]如图，是线段上一点， 和
都是等边三角形，交于点，交于点，交于点 ，
连接 .
求证：
（1） ；
证明:，是等边三角形，，， ，
，即 ，
，
.
（2） ；
证明： ，
，
， .
， ，
.
（3） .
证明：， ，
是等边三角形.
.
.(共26张PPT)
考点1 等腰三角形
等腰三角形 等边三角形
定义 有两边相等的三角形叫作 等腰三角形 三条边都相等的三角形叫作等边三角形
性 质 边 两腰相等 三条边都相等
角 等腰三角形的两个底角相 等 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于
对 称 性 等腰三角形是轴对称图 形，有1条对称轴 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
等腰三角形 等边三角形
性 质 三 线 合 一 等腰三角形的顶角平分 线、底边上的①______和 底边上的高互相重合 等边三角形任意一条角平分线与该角所对的边上的
中线、高线重合
判定 （1）两边相等的三角形是 等腰三角形（定义）； （2）有两个角相等的三角 形是等腰三角形 （简称“ ②____________”） （1）三条边都相等的三角形是等边三角形
（定义）；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;
（3）有一个角是③_____的等腰三角形是等边三角
形
中线
等角对等边
续表
等腰三角形 等边三角形
面积 ,是底边长， 是 底边上的高 , 是等边三角形的边长
注意 （1）在解决等腰三角形边、角问题时，若题目中没有明确边是底边还是腰， 角是顶角还是底角，则需要进行分类讨论.（2）在进行分类讨论时，要注意三 角形两边之和大于第三边这个隐含条件 续表
方法点睛 等腰三角形中常见的辅助线
（1）①作底边上的高；②作底边上的中线；③作顶角的平分线，即利用“三线合一”作辅
助线.
（2）作底边或腰的平行线构造等腰三角形.（3）利用“角平分线平行”或“角平分线 垂
直”构造等腰三角形.
1.[新北师七下P94习题 改编]等腰三角形的一条边长为5，另一条边长为8，则该三角形
的周长为( )
C
A.18 B.21 C.18或21 D.21或23
2.若一个等边三角形的面积是 ，则该等边三角形的周长是___.
6
3.[新人教八上P86习题改编]如图，，是的边
上的两点，并且，则 的度数
为______.
考点2 直角三角形
直角三角形 等腰直角三角形
定义 有一个角是直角的三角形叫作直角 三角形 顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三
角形
直角三角形 等腰直角三角形
性 质 角 两个锐角互余 两锐角相等且都等于④_____
边 （1） 角所对的直角边等于 ⑤______的一半； （2）斜边上的中线等于斜边的一 半； （3）勾股定理：如果直角三角形 的两条直角边长分别为, ，斜边 长为 ，那么⑥_____________ （1）两直角边相等；
（2）具有等腰三角形和直角三角形的所有
性质
续表
斜边
直角三角形 等腰直角三角形
性 质 对 称 性 — 等腰直角三角形是轴对称图形，有1条对称
轴，对称轴为底（斜）边的垂直平分线
续表
直角三角形 等腰直角三角形
判定 （1）有一个角是直角的三角形是 直角三角形（定义）； （2）有两个角⑦______的三角形 是直角三角形； （3）若一个三角形两边的平方和 等于第三条边的平方，则这个三角 形是直角三角形 （1）有一个角为⑧_____的等腰三角形是
等腰直角三角形；
（2）有两个角为 的三角形是等腰直角
三角形；
（3）有一个角为 的直角三角形是等腰
直角三角形；
（4）有两边相等的直角三角形是等腰直角
三角形
续表
互余
直角三角形 等腰直角三角形
面积 , 为两直角边的 长，为斜边长，为斜边上的高 为腰长， 为底边长，
注意 解直角三角形时，若已知两条边，且直角边与斜边没有明确告知，在求第三边 时，应分类讨论： （1）两边均为直角边；（2）一边为直角边，另一边为斜边 续表
知识拓展 常见的勾股数
，4，5；，12，13；，8，10；，24，25；，15，17； ，40，41.
勾股数的正整数倍也是勾股数.
方法点睛 解决有关直角三角形的计算题的常用思路
（1）直角三角形中出现 角或 角时，要想到“ 角所对的直角边等于斜边的一半”.
（2）当直角三角形中出现斜边上的中线时，要想到“斜边上的中线等于斜边的一半”.
4.[北师八下P34复习题改编]如图，在中， ，
，是的中线，则 的长为_ ____.
5.[人教八下P34习题改编]在中，，，的对边分别是，， ，下列条件：
,,;,,; ;
；其中可以判定 是直角三角形的是
________（填序号）.
①③④
命题点1 等腰三角形
方法 命题点1
等腰三角形中的分类讨论
1.已知三角形中的一个角 ，需分这个角是顶角和底角两种情况，并结合三角形的内角和
定理进行验证.
（1）若 是钝角，则 为顶角，底角度数是 .
（2）若 是直角，则 为顶角，底角度数是 .
（3）若 是锐角，则 可能是顶角，也可能是底角.当 是顶角时，底角度数是
；当 是底角时，顶角度数是 .
2.已知两边长（不相等），需分这两边长分别为腰长时的情况，并结合三角形的三边关系
进行验证.
1.[2018河北]已知：如图，点在线段外，且.求证：点
在线段 的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法
不正确的是( )
B
A.作的平分线交于点 B.过点作于点且
C.取的中点，连接 D.过点作，垂足为
2.[2023河北]四边形的边长如图所示，对角线 的长度随四边形形
状的改变而变化.当为等腰三角形时，对角线 的长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
3.[2020河北]如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达;从出发向北走
也到达 .下列说法错误的是( )
A
A.从点向北偏西 走到达
B.公路的走向是南偏西
C.公路的走向是北偏东
D.从点向北走后，再向西走到达
4.[2024石家庄二中模拟]如图1，锐角中， ，要用尺规作图的方法在
边上找一点，使 为等腰三角形，关于图2中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列
说法正确的是( )
A
A.甲、乙、丙都正确 B.甲、丙正确，乙错误
C.甲、乙正确，丙错误 D.只有甲正确
5.[2022河北]题目：“如图， ，，在射线上取一点 ，
设，若对于的一个数值，只能作出唯一一个，求 的取值范
围.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答： ，则正确
的是( )
B
A.只有甲答得对 B.甲、丙答案合在一起才完整
C.甲、乙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整
解析 过点作于点 ，， .
当点与点重合，即时，只能作出唯一一个 ；
过点作，与交于点， ， ，
，当点在射线上时，，显然当时，只能作出唯一一个 .故选B.
命题点2 直角三角形
易错 命题点2
勾股定理运用出错：对勾股定理中，、为直角边长，为斜边长这一条件
记忆模糊，在已知两边长求第三边长时，不判断所求边是直角边还是斜边就直接代入公
式计算.
知识 命题点2
1.勾股定理的拓展应用：如图，若直角三角形的三边分别记为，， ，分别以三条边为
边或直径向外作等边三角形、正方形、半圆，则有 .
2.赵爽弦图：如图，若直角三角形的三边分别记为，， ，则由
，可得 .
6.[2023河北]如图,在中，,点是斜边的中点，以 为边作正方形
.若，则 ( )
B
A. B. C.12 D.16
7.T6变式 如图，在中，，点是斜边 的中点，
以，为边作，若的周长为24，则
( )
B
A. B. C.12 D.18
8.[2020河北]用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图
案如图所示.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中
三块（可重复选取）按图中的方式组成图案，使所围成的三角形是面积
最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
B
A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4
9.[2019河北]已知:整式,整式 .
尝试 化简整式 .
解:
.
发现 .求整式 .
解： ,
且,, .
联想 由上可知,,当时,,, 为直角三角形的三边长,如
图.填写下表中 的值:
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ 8 ____
勾股数组Ⅱ 35 ____
17
37

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