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中山市第一中学2027届高二第一学期第一次段考数学答案
1．A 因为向量，，则，，，所以向量在向量上的投影向量为
2. D 设直线的倾斜角为，其中，由直线，可得斜率为，即，可得，根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过点，可得直线的方程为，即.
3．C对于A：直线在轴上的截距为，故A正确；对于B：直线的斜率，所以其一个方向向量为，故B正确；对于C：当在，轴上的截距都为时直线方程为，当在，轴上的截距都不为时，设直线方程为，则，所以直线方程为，故过点且在，轴上的截距相等的直线方程为或，故C错误；对于D：因为，，所以，所以，，三点共线，故D正确.
4．A 由题意得，而，
，，
则.
D 对于A，由，得，则，解得，故A错误；对于B，由，得，则，解得，故B错误；对于C，由，得，，，则与不垂直，故C错误；对于D，由，得，，，则，故D正确.
C 设取得黄、红、白球分别为，有放回地取球3次，
共
27种等可能果，
其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误；颜色全不相同的结果 6种，其概率为，故B错误；颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故C正确；无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误．
7.C对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A正确；对于B：设样本容量为，则，解得，故B正确；对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；对于D：，则，故数据的标准差为，故D正确；
8. C 以为坐标原点，以分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，则，因为平面，所以，即，解得，所以，所以，又，所以当时，即是的中点时，取得最小值，当或，即与点或重合时，取得最大值，所以线段长度的取值范围为.
9.BC 对于A，当甲的统计结果为时，满足平均数为3，中位数为2，故A不正确；
对于B，因乙同学的统计平均数为2.4，则总点数为，又众数为3，则至少有两个3.当有两个3时，另外三个骰子点数之和为6，则任何一个骰子不可能出现点数6；当有三个3时，另外两个骰子点数之和为3，不可能出现点数6；有四个3更不可能，故B正确；
对于C，因丙同学的统计平均数为2，若出现了至少一次点数6，设其余四次点数分别为，则其方差为，故C正确；对于D，当丁同学的统计结果为时，满足中位数为3，众数为2，故D不正确.
10.BC 由题意，不放回地随机取两次，共有种情况，
= {(2，1)，(2，3)，(2，4) ，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) ，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}共15个样本点，
= {(2，1)， (3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(1，3)，(2，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5) ，(6，5)}共15个样本点，故，故C正确;事件与可以同时发生，不是互斥事件，故A错误;= {(1，3)，(1，5) ，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，2)，(4，6)，(5.1)，(5，3) ，(6，2)，(6，4)}共12个样本点，故，
D = {(1，2)，(1 ，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3) ，(4，5).(5，2)，(5.4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)}共18个样本点，所以C与D互为对立事件，故B正确;事件BC = {(3，1)， (5，1)，(1，3)，(5，3)，( 1，5)，(3，5)}共6个样本点，所以，所以B与C相互独立，故D不正确.
11．ACD 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，设点，其中，.
对于A选项，，，则，
所以，，A对；对于B选项，，若，则，解得，不合乎题意，所以，不存在点，使得，B错；对于C选项，，点到平面的距离为，所以，，C对；对于D选项，，若，则，可得，由可得，
，当且仅当时，等号成立，因为平面，平面，，，D对.
由题意可得与同向的单位向，
点到直线的距离．
因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即，若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，
其中两人的成绩都低于的情况有6种，分别为，
所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为.
12 解：点在线段的延长线上，设，
设直线与轴的交点坐标为，由可得，解得，则所求面积，
令，则，当且仅当，即时取等号．故的最小值为．
15.【详解】设点，由，得的中点在直线上，可得，解得，
所以点的坐标为；
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以反射光线所在的直线方程为，可得．
【详解】(1)由题意可知，事件A所包含情况为“甲连赢两球或乙连赢两球”, 所以
(2)由题意可知，事件B包含的情况为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，所以
17.【详解】（1）由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
因为，
设下四分位数即第25百分位数为，则，则，解得，故下四分位数为63．
平均数为，
（2）10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10，则样本空间
共45个样本点，记两名面试者成绩都在第五组为事件A， 则事件，故；
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
18.【详解】（1）记的中点为，连结，因为，，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以平行四边形是矩形，则，因为平面，平面，所以，则两两垂直，故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，
因为为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，而，，则，令，则，所以，则，
又平面，所以平面．
.（2）设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
记平面与平面夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）依题意，不妨设，则，，
又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，
所以，解得（负值舍去），
所以，则，
而由（2）得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
19.【解答过程】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，因为，则，，
由余弦定理可得，所以，，则，同理可证，
翻折后，则有，，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
所以平面平面.
（2）因为平面，，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，，
平面的一个法向量为，，，
则，令，可得，
则 ，整理可得，
因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中山市第一中学2027届高二第一学期第一次段考
数 学
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）
向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
下列说法中，错误的是（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．直线的一个方向向量为
C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为
D．，，三点共线
如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（ ）
A． B． C． D．2
若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ）
A．取出的3个球颜色相同的概率为
B．取出的3个球颜色全不相同的概率为
C．取出的3个球颜色不全相同的概率为
D．取出的3个球无红球的概率为
A．一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同
B．有、、三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为18
C．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲
D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16
正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是（ ）
A．甲：平均数为3，中位数为2 B．乙：众数为3，平均数为2.4
C．丙：平均数为2，方差为2.4 D．丁：中位数为3，众数为2
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A．与是互斥事件 B．与互为对立事件
C．发生的概率为 D．与不相互独立
如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A． B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为 D．若，则面积的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到的距离为 .
某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，88，78，82，93，85，90，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 .
在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（本小题13分）
已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边的高所在直线方程为．
求点的坐标；
若入射光线经过点，被直线反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
（本小题15分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)设事件A=“X=2”，求P（A）；
(2)设事件B=“X=4且甲获胜”，求P（B）.
（本小题15分）
2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的下四分位数和平均数；
(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
（本小题17分）
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
（本小题17分）
如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.试卷第1页，共3页

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