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西南大学附中高 2028 届高一上 11 月期中考试
数学试题
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。
3. 考试结束后，将答题卡交回 (试题卷学生留存，以备评讲)。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
① ， ② ，则 ， ③ ，④
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. “ ” 是 “函数 在 内单调递增” 的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要
4. 函数 的图象大致为( )
A BCD
5. 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为( )
A. B. C. D.
6. 设函数 满足等式 ,则 的值域为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 的定义域为 ,且满足下列三个条件:
① 对任意的 ，都有 恒成立
②
③ 是偶函数
若 . 则 的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. 2 C. D. 4
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知正数 ，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
10. 若函数 ，且 ，则()
A. B.
C.
D.
A. 定义在 上的偶函数 满足在 上单调递减，且 ，若 对任意的 恒成立,则实数 的取值范围是
B. 函数 在 上的值域为
C. 函数 ,若不等式 对 恒成立,则
D. 若一元二次方程 的两根都是负数，则 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若 ，且 ，则 _____.
13. 已知函数 ，给出下列四个结论:①函数 是偶函数；②函数 是增函数； ③函数 定义域为 ，区间 ，若任意 ， ，都有 ，则 在区间 上单调递减；④ 定义域为 ，“对于任意 ，总有 ( 为常数)” 是 “函数 在区间 上的最大值为 ” 的必要不充分条件、其中正确结论的序号是_____.
14. 若定义在区间 上的函数 值域也为 ,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 在 上单调，求 的取值范围.
16. (15 分) 已知幂函数 是奇函数.
(1) 求实数 ,并证明: 在 上单调递增;
(2)若 有唯一解，求实数 的值.
17. (15 分) 已知定义域都为 的函数 与 满足: 是偶函数, 是奇函数,
(1)求函数 与 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
18. (17 分) 已知函数 .
(1)若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
(2)当 ， 时，求 在 上的值域；
(3) 当 时,设 ,记 的最小值为 ,求 的最小值.
19. (17 分)某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣， 小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式 可以推广至 阶. 即:若实数 均大于 0,那么 请利用上述事实解决下列问题:
(1) 若 ,求 的最大值,并指明取最大值时 的值;
(2)将一个边长为 2 的正方形纸板四个角各减去一个边长为 的小正方形后折成一个无盖长方体 (如图), 若要使得长方体的体积最大, 则减去的小正方形的边长应为多少
(3) 试证明,对任意的正整数 ,不等式 成立.

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