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3.4实数的运算
【题型1】实数的运算 2
【题型2】根据运算程序计算 2
【题型3】新定义运算 4
【题型4】利用计算器开方 5
【题型5】实数运算的实际应用 7
【知识点1】实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1.（2025 白城模拟）若使算式“〇”的运算结果最小，则“〇”表示的运算符号是（　　） A．+B．-C．×D．÷
【题型1】实数的运算
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】在“□”内添加运算符号，使□的运算结果为无理数．则添加的运算符号是（　　）
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【举一反三2】　　．
【举一反三3】计算：
（1）；
（2）．
【题型2】根据运算程序计算
【典型例题】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为时，输出的y的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】按如图所示的程序计算，输入x是（　　）时，始终无法输出y．
A.无理数 B.0 C.1 D.0或1
【举一反三2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图是一个数值转换器示意图：
（1）当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
（2）若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
（3）若输出的y＞2，则x的最小整数值是_______.
【举一反三4】下面是一个简单的数值运算程序：
当输入x的值是时，输出的结果是 .
【举一反三5】如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题．
（1）当x为8时，y的值为______．
（2）当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值．
（3）是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
【举一反三6】任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
（1）当m=1时，输出的结果为________．
（2）当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果．
【题型3】新定义运算
【典型例题】用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※2=12-4×2=-7．则※(-2)的结果是（ ）
A.9 B.11 C.13 D.15
【举一反三1】对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）
A. B.3 C.6 D.
【举一反三2】定义新运算：且，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.
【举一反三3】对于两个有理数a，b，定义一种新运算如．下：，如：，那么 ．
【举一反三4】用△定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：
（1）求；
（2）若，求m的值．
【举一反三5】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2．例如：7※4＝7+42＝23．
（1）求5※3的值；
（2）求13※（1※）的平方根．
【题型4】利用计算器开方
【典型例题】用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（　　）
A.﹣5 B.﹣1 C.0 D.5
【举一反三1】用计算器进行计算，请根据以下按键顺序和所得到的运算结果，判断结论正确的是（　　）
A.a＝b B.a＝c C.b＝c D.a＝b＝c
【举一反三2】如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：，则按键的结果为（　　）
A.3 B.7 C.15 D.19
【举一反三3】用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（　　）
A.3.2 B.4.0 C.4.2 D.4.4
【举一反三4】用计算器按照下列按键顺序，，则输出的结果为（　　）
A.67 B.84 C.15 D.21
【举一反三5】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图：
则输出结果应为 　　．
【举一反三6】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图：
则输出结果应为 　　．
【举一反三7】在计算器上按键，显示的结果为 　　．
【题型5】实数运算的实际应用
【典型例题】如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．
【举一反三1】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ．
【举一反三2】如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间（单位：s）与细线长度（单位：m）之间满足关系，当细线长度为1dm时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？取值为
【举一反三3】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得（d＝20m，f＝0.6，该路段限速60km/h，则该汽车超速了吗？请说明理由．（参考数据：）3.4实数的运算
【题型1】实数的运算 2
【题型2】根据运算程序计算 3
【题型3】新定义运算 6
【题型4】利用计算器开方 8
【题型5】实数运算的实际应用 11
【知识点1】实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1.（2025 白城模拟）若使算式“〇”的运算结果最小，则“〇”表示的运算符号是（　　） A．+B．-C．×D．÷
【答案】B 【分析】分别计算加入各运算符号的结果后比较大小即可． 【解答】解：+=2+=3；
-=2-=；
×=4；
÷=2；
∵＜2＜4＜3，
∴“〇”表示的运算符号是-，
故选：B．
【题型1】实数的运算
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．（）3＝3，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．无法合并，故此选项不合题意；
D．3，故此选项符合题意.
故选：D．
【举一反三1】在“□”内添加运算符号，使□的运算结果为无理数．则添加的运算符号是（　　）
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【答案】A
【解析】A、，2是无理数，符合题意；
B、，0是有理数，不符合题意；
C、，3是有理数，不符合题意；
D、1，1是有理数，不符合题意.
故选：A．
【举一反三2】　　．
【答案】
【解析】
．
【举一反三3】计算：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）原式.
（2）原式．
【题型2】根据运算程序计算
【典型例题】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为时，输出的y的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】第次计算得：，而是有理数，
第次计算得：，而是有理数，
第次计算得：，是无理数.
故选：D．
【举一反三1】按如图所示的程序计算，输入x是（　　）时，始终无法输出y．
A.无理数 B.0 C.1 D.0或1
【答案】D
【解析】当x=0时，因为0的算术平方根为0，0的立方根为0，所以输入x是0时，始终无法输出y；
当x=1时，因为1的算术平方根为1，1的立方根为1，所以输入x是1时，始终无法输出y.
故选：D．
【举一反三2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若开始输入的x的值是64，则其立方根为4，它是有理数；
然后求得4的算术平方根是2，它是有理数；
则2的立方根为，它是无理数，输出答案.
故选：C．
【举一反三3】如图是一个数值转换器示意图：
（1）当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
（2）若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
（3）若输出的y＞2，则x的最小整数值是_______.
【答案】（1）；（2）0和1；（3）5
【解析】（1）当x=36时，取算术平方根，不是无理数，
继续取6算术平方根，是无理数，所以输出的y值为.
（2）当x=0，1时，始终输不出y值．
因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数.
（3）∵输出的y＞2，∴y2＞4，∴输入的x＞4，
当x=5时，5的算术平方根是，是无理数，所以输出的y值为，
∴x的最小整数值是．
【举一反三4】下面是一个简单的数值运算程序：
当输入x的值是时，输出的结果是 .
【答案】
【解析】由题意得，.
【举一反三5】如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题．
（1）当x为8时，y的值为______．
（2）当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值．
（3）是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
【答案】解：（1），则y=.
（2）答案不唯一，x＝或x＝．
（3）当输入的x=-1、0和1时，取它们的立方根始终是-1、0和1，是有理数，
∴输入的x=-1、0和1时，始终输不出y值.
【举一反三6】任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
（1）当m=1时，输出的结果为________．
（2）当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果．
【答案】解：（1）当m=1时，.
（2）根据题意得：m==3，
∴．
【题型3】新定义运算
【典型例题】用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※2=12-4×2=-7．则※(-2)的结果是（ ）
A.9 B.11 C.13 D.15
【答案】B
【解析】由题意得：※(-2)=()2-4×(-2)=3+8=11．
故选：B．
【举一反三1】对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）
A. B.3 C.6 D.
【答案】A
【解析】∵，，∴，，
∴，.
故选：A.
【举一反三2】定义新运算：且，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，.
故选：B．
【举一反三3】对于两个有理数a，b，定义一种新运算如．下：，如：，那么 ．
【答案】
【解析】
．
【举一反三4】用△定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：
（1）求；
（2）若，求m的值．
【答案】解：（1）.
（2）由题意，得：，∴，
∴．
【举一反三5】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2．例如：7※4＝7+42＝23．
（1）求5※3的值；
（2）求13※（1※）的平方根．
【答案】解：（1）∵a※b＝a+b2，
∴5※3＝5+32＝5+9＝14.
（2）∵a※b＝a+b2，
∴1※＝1+5＝6，
∴13※（1※）＝13※6＝13+62＝13+36＝49．
【题型4】利用计算器开方
【典型例题】用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（　　）
A.﹣5 B.﹣1 C.0 D.5
【答案】A
【解析】根据题意知，用计算器计32＝4﹣9＝﹣5.
故选：A．
【举一反三1】用计算器进行计算，请根据以下按键顺序和所得到的运算结果，判断结论正确的是（　　）
A.a＝b B.a＝c C.b＝c D.a＝b＝c
【答案】D
【解析】计算结果：a＝25；b＝25；c＝25.
故选：D．
【举一反三2】如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：，则按键的结果为（　　）
A.3 B.7 C.15 D.19
【答案】C
【解析】依题意得：＝4+16﹣2﹣3＝15.
故选：C．
【举一反三3】用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（　　）
A.3.2 B.4.0 C.4.2 D.4.4
【答案】C
【解析】由题意可得，1≈3.2+1＝4.2.
故选：C．
【举一反三4】用计算器按照下列按键顺序，，则输出的结果为（　　）
A.67 B.84 C.15 D.21
【答案】A
【解析】依题意得：43＝3+64＝67．
故选：A．
【举一反三5】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图：
则输出结果应为 　　．
【答案】﹣5
【解析】根据按键顺序可知算式为．
【举一反三6】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图：
则输出结果应为 　　．
【答案】﹣5
【解析】根据按键顺序可知算式为．
【举一反三7】在计算器上按键，显示的结果为 　　．
【答案】﹣4
【解析】根据题意可知：（）2＝﹣2﹣2＝﹣4，即显示的结果为：﹣4．
【题型5】实数运算的实际应用
【典型例题】如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】大正方形的面积为：，小正方形的面积为：1；
阴影部分的面积为：.
【举一反三1】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ．
【答案】18cm2
【解析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，∴，
∵，∴，∴阴影面积为，
∵，∴，∴，
故正方形面积为18cm2．
【举一反三2】如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间（单位：s）与细线长度（单位：m）之间满足关系，当细线长度为1dm时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？取值为
【答案】解：dm，
（s）.
答：小重物来回摆动一次所用的时间是s.
【举一反三3】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得（d＝20m，f＝0.6，该路段限速60km/h，则该汽车超速了吗？请说明理由．（参考数据：）
【答案】解：该汽车没有超速，理由如下，
依题意，（km/h），
∵54.4＜60，∴该汽车没有超速．

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