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北师大版九年级上册 第1章 特殊的平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等
2．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，则∠ECB的度数是（　　）
A．15° B．30° C．60° D．75°
3．如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，且OE=3，则CD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把 ABCD变成“矩形”，需要增加的条件是（　　）
A．AC=BD B．AD=BC C．AB=BC D．AB=CD
5．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（　　）
A．相等 B．互相垂直
C．互相平分 D．平分一组对角
6．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边相等
8．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠D=60°，点P为边CD中点，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF=BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为（　　）
A． B． C． D．18
9．菱形ABCD的对角线长分别为5和8，它的面积为（　　）
A．20 B．40 C．24 D．30
10．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
（1）以点A为圆心，任意长为
半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
11．在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AC=BD B．∠C=∠D C．∠A=∠B D．AC⊥BD
12．已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=3，∠ACB=30°，延长DC至点E，使得CE=DC，连接OE交BC于点F，则CF的长度为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二．填空题（共5小题）
13．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AC=6，BD=8，则OE的长为______．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点．若∠A=35°，则∠BCD的度数为 ______°．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若，则AB的长为 ______．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，OE=CE，则BC的长为 ______．
17．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，F在CD上，AE平分∠BAF，若AF=5DF，FC=3，则线段AE的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在正方形ABCD中，以AD为边在AD下方作等边△ADE，连接BE、CE．求证：BE=CE．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE=CF，连接BE、BF．求证：△BAE≌△BCF．
20．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB=60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．
（1）求证：DM=ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s.
（1）经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长和面积．
22．《九章算术》句股章[一五]问“句股容方”描述了关于图形之间关系的问题：知道一个直角三角形较短直角边（“句”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾股正方形”）
其文如下：
题：今有句五步，股十二步，问句中客方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并句、股为法，句股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“句容正方形”的边长是多少？
答案：3．
解法．
（1）根据“句股容方”中描述的直角三角形与其“句容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）应用（1）中的命题解决问题：
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示．其中，E是DC的中点，点H，G在BC边上，HF垂直平分AE，垂足为F，∠BAE=∠AEG．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆．该菱形场地面积为19200m2，且两条对角线长度之和为400m.考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主人口BH的宽度为12m.去年的规划方案是否可行？请说明理由．
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、D 3、D 4、A 5、C 6、A 7、A 8、C 9、A 10、D 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、2.5； 14、55； 15、； 16、4cm； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=∠ADE=60°，AE=ED，
∴∠BAD-∠EAD=∠ADC-∠ADE，
即∠BAE=∠CDE，
又∵AB=CD，AE=ED，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE．
19、证明：∵菱形ABCD，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAE=∠BCF，
∵AE=CF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS）．
20、（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，
∴∠ACP=∠BCP=30°，
∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，
∴PD=PE，
在Rt△DCP和Rt△ECP中
，
∴Rt△DCP≌Rt△ECP，
∴CD=CE，
在△DCM和△ECM中
，
∴△DCM≌△ECM，
∴DM=ME；
（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
理由如下：∵∠DCP=30°，
∴PC=2PD，∠CPD=60°，
∵PD=PE，MD=ME，
∴当DM=DP时，PD=PE=MD=ME，则四边形DMEP为菱形，
此时△PDM为等边三角形，
∴PD=PM，
∴CM=PM，
∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
21、解：（1）∵四边形AQCP是菱形，
∴AQ=CQ，
设CQ=x,则BQ=BC-CQ=8-x,
在Rt△ABQ中，根据勾股定理得，AB2+BQ2=AQ2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
所以，CQ=5，
BQ=8-5=3，
∵点P，Q的速度都是1cm/s,
∴运动的时间=3÷1=3（s）；
（2）菱形AQCP的周长=4CQ=4×5=20cm,
面积=CQ AB=5×4=20cm2．
22、解：（1）命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,那么该直角三角形的“句容正方形”的边长是；
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,四边形DECF是正方形，且点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，
求证：DE=．
解法一：
证明：如图1，∵四边形DECF是正方形，
∴DE∥AC，DE=EC，
∴△BED∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴DE=；
解法二：
如图2，连接CD，
∵四边形DECF是正方形，
∴∠DEC=∠DFC=90°，DE=DF，
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD= a DE+ b DF=（a+b） DE，
∵∠ACB=90°，
∴S△ABC=ab,
∴ab=（a+b） DE，
∴DE=；
（2）去年的规划方案可行，理由如下：
设菱形场地的两条对角线长分别为2a米，2b米，
由题意得：，化简得：，
如图3，若正方形ABCD的四个顶点分别在菱形PLNQ的四条边上，且DC⊥OQ，点E在线段OQ上，则DE是Rt△POQ的“句容正方形”的边长，
由（1）得：DE==48米，
如图4，∵E是DC的中点，
∴DC=2DE=96米，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=DC=96米，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
在Rt△ADE中，AE===48米，
∴sin∠DAE===，tan∠DAE===，
∵F是AE的中点，
∴AF=AE=24米，
如图4，延长AB，FH交于点M，
∵FH⊥AE，
∴∠AFM=90°，
∴∠M+∠BAE=90°，
∴∠M=∠DAE，
∴sinM=sin∠DAE=，tanM=tan∠DAE=，
在Rt△AFM中，sinM===，
∴AM=120米，
∴BM=AM-AB=120-96=24米，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
在Rt△MBH中，tanM===，
∴BH=BM=12米，
所以去年的规划方案可行．

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