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(共24张PPT)
1.3 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
1. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯.
2. 灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力.(重点)
3. 能熟练运用勾股定理解决最短路径问题.(难点)
回顾前面学过的内容，回答问题：
1.勾股定理的内容是什么？
直角三角形 → a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2 → 直角三角形
2.勾股定理的逆定理是什么？
A
C
B
a
b
c
情境启航
亲爱的同学们，经过前面课程的学习，我们已经知道了勾股定理及其逆定理，今天我们接到了三个“几何侦查团”的任务，帮助求助者破解难题，你要挑战吗？
一把卷尺定垂直
神秘折叠算长度
古题新作测水深
问题构建
一把卷尺定垂直
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB.李叔叔随身带了卷尺，
问题1：如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
现实情境：地板砖边缘垂直问题
数学问题：直角判定问题
实际操作：测量线段长度
（2）李叔叔测得边AD长30cm,边AB长40cm,点B,D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？
问题构建
解：因为AD=30cm，AB=40cm，BD=50cm
在△ABD中，
所以△ABD是直角三角形，BD是斜边.
所以∠DAB=90°
所以AD⊥AB.
借助勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，进而验证直角或两条直线的垂直关系.
一把卷尺定垂直
新知初探
探究二：经典例题
贰
例 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
新知初探
贰
解：如图，设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺.
在Rt△ABC中，BC=5尺.
由勾股定理得BC2+AC2=AB2，
即52+x2=（x+1）2，
解得x=12，x+1=13。
答：水池的深度为12尺，这根芦苇长13尺。
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。
知识点2 勾股定理的应用
解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺.
由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.
在Rt△OAC中，由勾股定理，得
AC +OA =OC ，
即 5 +x =(x+1) .
解得 x=12.
12+1=13.
因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
知识点2 勾股定理的应用
【知识技能类作业】
必做题：
1、李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，
B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？
解：在AD和AB边分别任取一点E、F。测量AE、AF、EF,使AE、AF、EF均小于20cm,然后仿照（2）进行检验是否垂直。
∴AD⊥AB
能
课堂作业
1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离
AB=25
解：
【知识技能类作业】
选做题：
课堂练习
要点归纳：
利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤：
①标已知，设未知；
②利用折叠，找相等；
③利用勾股定理，列方程；
④解方程，得解.
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
【活动2】：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度. 以下是小丽设计的测量方案：
项目背景
项目方案
测量实物图：
如图，小丽制订了如下测量方案，并进行实地测量.
测量示意图：
测量过程：
步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N. 将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度．
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。
课堂总结
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，
则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m,
CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设直角三角形斜边AC=Xm , 依题意得：
解得x=5
答：滑道AC长5m.
课堂练习
例2：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问:水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)题目大意:有一个水池，
水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，
它高出水面1尺(如图)。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的
顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度
各是多少
解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺.
由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.
12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺.
2.如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用(　　)
A.3 m B.5 m C.7 m D.9 m
学以致用
A
4.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为 .
3.如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q，那么所用细线最短需要 cm.
学以致用
13
25
例2 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400 m 到达点 B，然后再沿北偏西 37° 方向走了 300 m 到达目的地 C. 求 A，C 两点之间的距离.
解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解.
北
C
B
E
A
D
东
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
解：如图，过点 B 作 BE∥AD.
∴∠DAB = ∠ABE = 53°.
∵ 37° + ∠CBA + ∠ABE = 180°，
∴∠CBA = 90°.
∴AC = BC + AB = 300 + 400 = 500 .
∴AC = 500 m，
即 A、C 两点间的距离为 500 m.
方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题.
北
C
B
E
A
D
东
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
知识点1 勾股定理的应用
（第1题）
1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条
长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为
( )
A
A. B. C. D.
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（第2题）
2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为
，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中，
设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( )
B
A.9 B.11 C.12 D.14
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