资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.1.2 有理数
副标题：理解有理数概念，掌握分类方法
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解有理数的概念，能准确判断一个数是否为有理数。（基础）
掌握有理数的两种分类方法，能对有理数进行正确分类。（重点）
明确有理数与整数、分数、正数、负数、0 之间的关系。（重点）
能运用有理数的分类解决简单问题，提升分类思想的应用能力。（难点）
幻灯片 3：情境回顾与引入
回顾：上节课学习了正数和负数，知道像 3，\(+0.7\)，100 这样的数是正数；像\(-3\)，\(-\frac{2}{3}\)，\(-1.2\)这样的数是负数；0 既不是正数也不是负数。
思考：我们学过的数有哪些类型？这些数之间有什么关系？能否将它们进行分类？
引入：今天我们学习有理数，通过分类梳理学过的数，明确它们的归属。
幻灯片 4：知识点 1：有理数的定义
有理数的概念：整数和分数统称为有理数。
整数：像\(-3\)，\(-2\)，\(-1\)，0，1，2，3 这样的数叫做整数。
分数：像\(-\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)，\(0.1\)，\(3.5\)这样的数叫做分数（有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于分数范畴）。
有理数的特征：有理数都可以表示为\(\frac{p}{q}\)的形式，其中\(p\)、\(q\)是整数，且\(q≠0\)。
例题 1：下列各数中，哪些是有理数？
\(5\)，\(-3\)，\(0\)，\(+0.7\)，\(-\frac{2}{3}\)，\(100\)，\(-1.2\)，\(\sqrt{2}\)，\(\pi\)
答案：有理数：\(5\)，\(-3\)，\(0\)，\(+0.7\)，\(-\frac{2}{3}\)，\(100\)，\(-1.2\)；\(\sqrt{2}\)和\(\pi\)不是有理数（它们是无限不循环小数）。
幻灯片 5：知识点 2：有理数的分类（一）—— 按定义分类
分类框架：
有理数
├── 整数
│ ├── 正整数：如1，2，3，…
│ ├── 零：0
│ └── 负整数：如-1，-2，-3，…
└── 分数
├── 正分数：如$\frac{1}{2}$，$0.3$，$+5.2$，…
└── 负分数：如$-\frac{1}{3}$，$-0.7$，$-3.5$，…
注意事项：
0 是整数，但不是正数也不是负数。
有限小数和无限循环小数都属于分数，例如\(0.5=\frac{1}{2}\)，\(0.\dot{3}=\frac{1}{3}\)。
整数可以看作分母为 1 的分数，但通常不这样分类。
例题 2：把下列各数填入相应的集合内：
\(-5\)，\(3.6\)，\(0\)，\(\frac{3}{4}\)，\(-2.1\)，\(10\)，\(-1\)，\(-\frac{7}{8}\)
正整数集合：\(\{\) …\(\}\)
负整数集合：\(\{\) …\(\}\)
分数集合：\(\{\) …\(\}\)
整数集合：\(\{\) …\(\}\)
答案：
正整数集合：\(\{10\}\)
负整数集合：\(\{-5, -1\}\)
分数集合：\(\{3.6, \frac{3}{4}, -2.1, -\frac{7}{8}\}\)
整数集合：\(\{-5, 0, 10, -1\}\)
幻灯片 6：知识点 2：有理数的分类（二）—— 按性质分类
分类框架：
有理数
├── 正有理数
│ ├── 正整数：如1，2，3，…
│ └── 正分数：如$\frac{1}{2}$，$0.3$，$+5.2$，…
├── 零：0
└── 负有理数
├── 负整数：如-1，-2，-3，…
└── 负分数：如$-\frac{1}{3}$，$-0.7$，$-3.5$，…
对比分析：
按定义分类强调数的结构（整数或分数）；按性质分类强调数的正负性（正、负或零）。
0 是有理数，但既不是正有理数也不是负有理数。
例题 3：把例题 2 中的数按性质分类填入相应集合：
正有理数集合：\(\{\) …\(\}\)
负有理数集合：\(\{\) …\(\}\)
非负有理数集合：\(\{\) …\(\}\)（非负有理数指正数和 0）
答案：
正有理数集合：\(\{3.6, \frac{3}{4}, 10\}\)
负有理数集合：\(\{-5, -2.1, -1, -\frac{7}{8}\}\)
非负有理数集合：\(\{3.6, 0, \frac{3}{4}, 10\}\)
幻灯片 7：知识点 3：有理数与相关概念的关系
包含关系：
整数和分数都是有理数。
正数和负数中的整数和分数都是有理数（注意：正数和负数中可能有非有理数，如\(\sqrt{2}\)是正数但不是有理数）。
0 是有理数，也是整数，但不属于正数或负数。
易混淆点：
有理数≠正数：有理数包括正有理数、0、负有理数。
分数≠负分数：分数包括正分数和负分数。
整数≠正整数：整数包括正整数、0、负整数。
图示关系：
有理数 整数 {正整数, 0, 负整数}
有理数 分数 {正分数, 负分数}
有理数 = {正有理数, 0, 负有理数}
幻灯片 8：易错点分析
错误 1：将无限循环小数排除在分数之外。
例如：认为\(0.\dot{3}\)不是分数，实际\(0.\dot{3}=\frac{1}{3}\)，属于分数，也是有理数。
错误 2：分类时出现重复或遗漏。
例如：将 0 归为正整数集合，或在按定义分类时漏掉 0。
错误 3：混淆 “非正有理数” 和 “负有理数” 的概念。
例如：认为非正有理数就是负有理数，实际非正有理数包括负有理数和 0。
错误 4：误认为所有小数都是有理数。
例如：认为\(\pi\)是有理数，实际\(\pi\)是无限不循环小数，不是有理数。
幻灯片 9：课堂练习
下列说法正确的是（ ）
A. 有理数就是整数 B. 有理数就是分数 C. 整数和分数都是有理数 D. 有理数就是正数、负数和 0
答案：C
把下列各数填入相应的大括号内：
\(-2\)，\(0.5\)，\(-\frac{3}{4}\)，\(0\)，\(3\)，\(-1.2\)，\(\frac{1}{3}\)，\(-5\)
（1）整数集合：\(\{\) …\(\}\)
（2）分数集合：\(\{\) …\(\}\)
（3）正有理数集合：\(\{\) …\(\}\)
（4）负有理数集合：\(\{\) …\(\}\)
答案：
（1）整数集合：\(\{-2, 0, 3, -5\}\)
（2）分数集合：\(\{0.5, -\frac{3}{4}, -1.2, \frac{1}{3}\}\)
（3）正有理数集合：\(\{0.5, 3, \frac{1}{3}\}\)
（4）负有理数集合：\(\{-2, -\frac{3}{4}, -1.2, -5\}\)
下列说法错误的是（ ）
A. 0 是有理数 B. 正分数一定是有理数 C. 负整数一定是有理数 D. 无限小数一定是有理数
答案：D
幻灯片 10：拓展应用
情境问题：某班同学进行数学测验，成绩如下（单位：分）：85，90，75，0（缺考），92，-5（作弊扣分），88，-2（迟到扣分）。
（1）这些成绩中哪些是有理数？
（2）将这些有理数按性质分类。
解答：
（1）所有成绩都是有理数，即 85，90，75，0，92，-5，88，-2。
（2）正有理数：85，90，75，92，88；负有理数：-5，-2；0。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识点：
有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
两种分类方法：
按定义：有理数 = 整数 + 分数（整数 = 正整数 + 0 + 负整数；分数 = 正分数 + 负分数）。
按性质：有理数 = 正有理数 + 0 + 负有理数（正有理数 = 正整数 + 正分数；负有理数 = 负整数 + 负分数）。
关键关系：0 是有理数，是整数，既不是正数也不是负数。
学习方法：运用分类思想梳理数的类型，通过对比不同分类标准理解概念间的联系与区别。
幻灯片 12：课后作业
教材第 6 页练习第 1、2 题。
自己写出 5 个有理数，并按两种分类方法进行分类。
思考：为什么说有限小数和无限循环小数都是分数？举例说明。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1.2 有理数
第1章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
请同学们将所有学过的数进行分类，并与同伴进行交流．
数的认识 类型
1，2，3，···
正整数
0
零
﹣1，﹣2，﹣3，···
负整数
正分数
负分数
探究新知
整数
分数
有理数
整数和分数统称为有理数．
有理数的定义
“有理数”的英文名 rational number 中的单词 rational 应看成 ratio（比、比率）的形容词形式．因此，rational number 应该理解为“比率数”，即可以表示为两个整数之商（比率）的数．在学习了有理数的除法（1.10节）之后我们可以看到，这样的解释准确地描述了有理数的本质．
为什么叫“有理数”？
有理数
整数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
分数
有理数
正有理数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
负有理数
按定义分
按符号分
整数集
有理数集
负数集
非负整数集
(自然数集)
有理数的分类：
还有其他的分类方法吗？
①分类的标准不同，结果也不同；
②分类的结果应无遗漏、无重复。
注：
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．
所有有理数组成的数集叫做有理数集．
正数集
负数集
整数集
有理数集
例1
把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里：
﹣18， 3.1416，0，2023， ﹣0.142857，95%．
都是
3.1416，
2023，
95%
﹣18，
﹣0.142857
﹣18，
0，
2023
正数 负数 整数 分数 有理数
-8
0.9
0
π
例2
判断表中各数分别是什么数，在相应的空格中打√.
π不是有理数.
（1）0是整数；（ ） （6）所有的整数都是正数；（ ）
（2）自然数一定是整数；（ ） （7）所有的正数都是整数；（ ）
（3）0是正整数；（ ） （8）一个数不是正数就是负数；（ ）
（4）整数一定是自然数；（ ） （9）分数一定是有理数；（ ）
（5）任何小数都是有理数；（ ） （10）0是最小的有理数.（ ）
例3
判断下列说法是否正确.
非负整数
无限不循环小数
0
巩固练习
1．请说出两个正整数、两个负整数、两个正
分数、两个负分数．它们都是有理数吗？
【教材P6 练习 第1题】
解：(答案不唯一)两个正整数：1，2：
两个负整数：-2，-7；
两个正分数:
两个负分数:
它们都是有理数.
2．有理数集中有没有这样的数，它既不是正数，
也不是负数？若有，请说出这样的数．
解：有，它是 0．
【教材P6 练习 第2题】
知识点1 有理数及其相关概念
1.下列各数中，是正整数的是( )
A
A.3 B.2.1 C.0 D.
返回
2.在，0，，， 中，分数有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
3.下列说法中，错误的是( )
B
A. 是负有理数 B.0不是整数
C.是正有理数 D. 是负分数
返回
知识点2 有理数的分类
4.［2025太原期中］下列说法正确的是( )
D
A.整数就是正整数和负整数
B.0和循环小数不是有理数
C.正有理数和负有理数组成全体有理数
D.整数和分数统称为有理数
返回
5.［2025郑州月考］在，，，260，，，0， 中，
正数有___个，负数有___个，正分数有___个，负分数有___个.
4
3
2
2
返回
6.［教材习题 变式］把下列各数填入它所在的数集的大括号里：
，，0，，，，，， .
正整数集：{________…}；
负整数集：{____________…}；
分数集：{_______________________________…}.
，
，，
，，，，，
返回
7.在，，0，，， ，7中，非负数有___个.
4
返回
8.（4分）将各数填入对应数集的圈里：
，，75，，，0，，， .
返回
解：
9.［教材习题 变式］观察下面的数，直接写出后面3个数，及第100、
200个数.
（1）1，,0,1，,0,1，,0，___，____，___， ；第100个数是
___，第200个数是____.
（2），，，，，__，____，__， ；第100个数是____，
第200个数是_ ___.
1
0
1
有理数按照不同的标准可以分为哪几类？
有理数
整数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
分数
或
有理数
正有理数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
负有理数
按定义分
按符号分
整数与分数统称为有理数．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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