资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.9.2 有理数乘法的运算律
副标题：巧用运算律简化计算，提升乘法运算效率
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律的含义，掌握其符号表示形式。（重点）
能熟练运用乘法运算律简化有理数的乘法运算，提高计算的准确性和速度。（重点）
体会乘法运算律在多个有理数相乘及混合运算中的优化作用，培养灵活运用知识的能力。（难点）
进一步感受数学中的转化思想和简化思想，增强对有理数运算的整体认知。
幻灯片 3：知识回顾
有理数乘法法则：
两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0。
多个有理数相乘：负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负；有一个因数为 0 则积为 0。
小学乘法运算律回顾：
交换律：\(a×b = b×a\)。
结合律：\((a×b)×c = a×(b×c)\)。
分配律：\(a×(b + c) = a×b + a×c\)。
思考：小学学过的乘法运算律在有理数范围内是否仍然适用？
幻灯片 4：知识点 1：乘法交换律
内容：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。
符号表示：\(a×b = b×a\)（\(a\)、\(b\)为任意有理数）。
实例验证：
（1）\((+3)×(-5) = -15\)，\((-5)×(+3) = -15\)，所以\((+3)×(-5) = (-5)×(+3)\)。
（2）\((-4)×(-6) = 24\)，\((-6)×(-4) = 24\)，所以\((-4)×(-6) = (-6)×(-4)\)。
作用：交换因数位置，可将互为倒数的数、能凑整的数或便于计算的数放在一起相乘。
例题 1：利用交换律计算：\((-8)×(-5)×(-0.25)\)。
解答：\((-8)×(-5)×(-0.25) = (-8)×(-0.25)×(-5) = 2×(-5) = -10\)。
幻灯片 5：知识点 2：乘法结合律
内容：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
符号表示：\((a×b)×c = a×(b×c)\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为任意有理数）。
实例验证：
（1）\([(+2)×(-3)]×(-4) = (-6)×(-4) = 24\)，\((+2)×[(-3)×(-4)] = 2×12 = 24\)，所以\([(+2)×(-3)]×(-4) = (+2)×[(-3)×(-4)]\)。
（2）\([(-0.5)×(-2)]×3 = 1×3 = 3\)，\((-0.5)×[(-2)×3] = (-0.5)×(-6) = 3\)，所以\([(-0.5)×(-2)]×3 = (-0.5)×[(-2)×3]\)。
作用：改变乘法运算顺序，将能凑整（如积为 1 或 10 等）的数优先结合相乘，简化计算。
例题 2：利用结合律计算：\((-\frac{1}{2})×(-4)×(-6)\)。
解答：\((-\frac{1}{2})×(-4)×(-6) = [(-\frac{1}{2})×(-4)]×(-6) = 2×(-6) = -12\)。
幻灯片 6：知识点 3：乘法分配律
内容：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。
符号表示：\(a×(b + c) = a×b + a×c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为任意有理数）。
实例验证：
（1）\((-2)×(3 + 5) = (-2)×8 = -16\)，\((-2)×3 + (-2)×5 = -6 + (-10) = -16\)，所以\((-2)×(3 + 5) = (-2)×3 + (-2)×5\)。
（2）\(5×(-4 + 2) = 5×(-2) = -10\)，\(5×(-4) + 5×2 = -20 + 10 = -10\)，所以\(5×(-4 + 2) = 5×(-4) + 5×2\)。
作用：将较复杂的乘法与加法混合运算转化为简单的乘法和加法运算，尤其适用于含括号的式子。
例题 3：利用分配律计算：\((-12)×(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})\)。
解答：\((-12)×\frac{1}{3} + (-12)×(-\frac{1}{4}) = -4 + 3 = -1\)。
幻灯片 7：运算律的综合应用技巧
多个有理数相乘的简化策略：
先观察是否有互为倒数的数（如\(2\)和\(\frac{1}{2}\)），利用交换律和结合律优先相乘得 1。
寻找能凑整的数（如\(25\)和\(4\)、\(125\)和\(8\)），结合后简化计算。
若有多个负因数，先确定积的符号，再计算绝对值的乘积。
含括号的混合运算技巧：
直接应用分配律展开括号，避免复杂的括号内加法运算。
分配律可逆用：\(a×b + a×c = a×(b + c)\)，适用于提取相同因数的情况。
例题 4：计算：\((-25)×(-4)×(-8)×0.1\)。
解答：\([(-25)×(-4)]×[(-8)×0.1] = 100×(-0.8) = -80\)。
例题 5：计算：\(99×(-5) + 5\)。
解答：逆用分配律：\(99×(-5) + 1×5 = (-99 + 1)×5 = (-98)×5 = -490\)。
幻灯片 8：例题解析
例题 6：计算：\((-\frac{1}{6} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12})×(-24)\)。
分析：直接应用分配律，将\(-24\)分别与括号内各数相乘。
解答：\((-\frac{1}{6})×(-24) + \frac{3}{4}×(-24) + (-\frac{1}{12})×(-24) = 4 - 18 + 2 = -12\)。
例题 7：计算：\(101×(-13) - 13\)。
分析：提取相同因数\(-13\)，逆用分配律简化。
解答：\(101×(-13) + (-13)×1 = (-13)×(101 + 1) = (-13)×102 = -1326\)。
幻灯片 9：易错点分析
错误 1：应用分配律时漏乘或符号错误。
例如：计算\((-3)×(2 - 5)\)时，错误得\((-3)×2 - 5 = -6 - 5 = -11\)，正确应为\((-3)×2 + (-3)×(-5) = -6 + 15 = 9\)。
错误 2：交换因数位置时忘记连同符号一起移动。
例如：计算\((-2)×3×(-4)\)时，错误交换为\(-2×(-3)×4\)，正确应为\((-2)×(-4)×3\)（符号随因数移动）。
错误 3：结合律应用时括号内符号处理错误。
例如：计算\((-2)×[(-3) + (-4)]\)时，错误结合为\((-2)×(-3) + (-4) = 6 - 4 = 2\)，正确应为\((-2)×(-7) = 14\)（或按分配律计算）。
错误 4：忽略 0 在运算律中的特殊性，盲目应用。
例如：计算\(0×(2 - 3 + 5)×(-4)\)时，仍展开计算，实际因含 0 直接得 0。
幻灯片 10：课堂练习
利用运算律计算下列各题：
（1）\((-5)×8×(-0.2)\) （2）\((-\frac{1}{3})×(-6)×(-9)\)
（3）\(18×(-\frac{2}{3}) + 18×\frac{5}{6}\) （4）\((-100)×(0.7 - \frac{3}{10} - 4)\)
答案：（1）\(8\)；（2）\(-18\)；（3）\(3\)；（4）\(360\)。
计算：\(2024×(-99) - 2024\)。
答案：\(2024×(-99 - 1) = 2024×(-100) = -202400\)。
幻灯片 11：拓展应用
情境问题：某商店一周内每天的利润如下（盈利为正，亏损为负，单位：元）：
\(-200\)，\(+300\)，\(-150\)，\(+250\)，\(-50\)，\(+100\)，\(-300\)
（1）利用乘法分配律计算该商店这周的总利润。
（2）若每盈利 1 元需缴纳 5% 的税费，亏损不缴税，求这周需缴纳的税费总额。
解答：
（1）总利润：\(-200 + 300 - 150 + 250 - 50 + 100 - 300 = (300 + 250 + 100) + (-200 - 150 - 50 - 300) = 650 - 700 = -50\)（元）（亏损 50 元）。
（2）盈利总额：\(300 + 250 + 100 = 650\)（元），税费：\(650×5\% = 32.5\)（元）。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识点：
乘法交换律：\(a×b = b×a\)，交换因数位置积不变。
乘法结合律：\((a×b)×c = a×(b×c)\)，改变顺序积不变。
乘法分配律：\(a×(b + c) = a×b + a×c\)，展开括号简化计算。
应用技巧：凑整结合、逆用分配律、符号优先判断。
学习方法：计算前先观察算式中数的特点（符号、是否凑整、有无相同因数），选择合适的运算律简化步骤；应用分配律时务必确保每个项都参与运算，避免漏乘或符号错误。
幻灯片 13：课后作业
教材第 [对应页码] 页练习第 1、2、3 题。
利用运算律计算：
（1）\((-4)×(-3)×(-0.25)×\frac{1}{3}\) （2）\((-24)×(\frac{1}{8} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4})\)
（3）\(999×(-15) + 15\) （4）\((-3.6)×(-\frac{4}{9}) + (-3.6)×\frac{1}{6}\)
思考：乘法分配律与加法结合律在混合运算中如何配合使用？举例说明。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.9.2 有理数乘法的运算律
第1章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘，都得 0 .
先确定积的正负号，
然后把绝对值相乘．
进行有理数的乘法运算的步骤：
小学里我们学习了哪些乘法的运算律？
乘法的交换律：
乘法的结合律：
乘法的分配律：
a×b＝b×a
（a×b）×c＝a×（b×c）
（a＋b）×c＝ac＋bc
在小学里我们知道，数的乘法满足交换律和结合律，例如：
3×5 = 5×3
（3 ×5） × 2 = 3 × （5×2）
引进了负数以后，这些运算律是否还成立呢？也就是说，上面两个等式中，将 3、5、2 换成任意的有理数，是否仍然成立？
知识点 1
乘法交换律和乘法结合律
（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：
×
×
和
7 ×(﹣5 ) = (﹣5 )× 7 =
(﹣8 )× (﹣4 ) = (﹣4 )×(﹣8 ) =
﹣35
32
32
﹣35
乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变．
ab = ba
有理数的乘法仍满足交换律．
你发现了什么？
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□ 、○和◇内，并比较两个运算结果：
（ ）
（ ）
×
×
和
×
×
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．
[(﹣2)× 4 ]× (﹣3) = (﹣2)×[ 4 × (﹣3) ] =
[(﹣4)× (﹣6)] × (﹣2) = (﹣4)×[ (﹣6) × (﹣2)] =
﹣48
﹣48
24
24
( ab ) c = a ( bc )
有理数的乘法仍满足结合律．
你发现了什么？
根据乘法交换律和乘法结合律，三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
思考：计算 (﹣2 )×5×(﹣3 ) 有哪些不同的算法？哪种算法比较简便？
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣10 )×(﹣3 )
= 30
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣2 )×(﹣3 )×5
= 6×5
= 30
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣2 )×[5×(﹣3 )]
= (﹣2 )×(﹣15 )
= 30
计算：
例2
解
凑整
2
﹣2
2
积的正负号与乘数的正负号有什么关系？
积的绝对值与乘数的绝对值有什么关系？
你能根据 直接写出下列各式的结果吗？
知识点 2
积的正负号与乘数的关系
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹢
﹢
一般地，我们有：
几个不等于 0 的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，
当负乘数的个数为奇数时，积为负；
当负乘数的个数为偶数时，积为正．
1．先确定积的正负号；
2．然后把绝对值相乘．
计算几个不等于 0 的数相乘的步骤：
0
几个数相乘，有一个乘数为 0，积就为 0．
试一试
直接写出下列各式的结果：
﹣
30
计算：
例3
解
想一想：三个数相乘，如果积为负，其中可能有几个乘数为负数？四个数相乘，如果积为正，其中可能有几个乘数为负数？
1, 3
0, 2, 4
奇
偶
引进了负数以后，分配律是否还成立呢？
知识点 3
分配律
小学里我们还学过乘法对加法的分配律，例如
任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□ 、○和◇内，并比较两个运算结果：
5×[(-3)+(-2)]=
5×(-3)+5×(-2)=
(-7)×(10+3)=
(-7)×10+(-7)×3=
4×[25+(-2)]=
4×25+4×(-2)=
1.
2.
3.
-25
-25
-91
-91
92
92
你能发现什么？
×（
＋
）和
×
＋
×
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．
a（b+c）＝ab+ac
有理数的运算仍满足分配律．
计算：
例4
解
变形以运用分配律简化计算
计算：
例5
解
（1）
你还有其他的解法吗？
（2）
反向运用分配律
变形
（2）
变形
反向运用分配律
（1）(﹣4 )×(﹣7 )×(﹣25 )
（2）
（3）
巩固练习
【教材P45 练习 第1题】
1．计算：
＝﹣( 4×25 )×7
＝﹣700
（1）
（2）
（3）(﹣3 )×(﹣7 )﹣3×(﹣6 )
（4）1﹣(﹣1 )×(﹣1 )﹣(﹣1 )×0×(﹣1 )
【教材P45 练习 第2题】
2．计算：
【教材P47 练习 第1题】
3．计算：
（1）
（2）
（3）(﹣1002 )×17
【教材P48 练习 第2题】
4．计算：
知识点1 乘法交换律与乘法结合律
1.把下列等式所用的运算律填在题后的括号内：
（1） ;（____________）
（2） ;（____________）
（3） .（____________）
乘法交换律
乘法交换律
乘法结合律
返回
2.计算： ________.
[解析] 点拨： .
返回
3.（8分）［教材P45练习T1变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
知识点2 多个有理数相乘
4.计算下列式子，结果为正数的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.已知三个有理数的积为负数，和为正数，则这三个数( )
D
A.都是正数 B.都是负数 C.一正两负 D.一负两正
返回
6.［2025开封月考］已知，，，， ，
则 ___.
0
返回
运算律
有理数乘法的运算律
交换律：
结合律：
分配律：
利用有理数乘法的运算律简便计算
几个有理数相乘，有一个乘数为0，积就为0
几个不等于 0 的数相乘
负乘数的个数为奇数时，积为负
负乘数的个数为偶数时，积为正
ab＝ba
a（b+c）＝ab+ac
（ab）c＝a（bc）
积的正负号与乘数的关系
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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