资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.10 有理数的除法
副标题：掌握除法法则，轻松应对有理数运算
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则，能熟练进行有理数的除法运算。（重点）
明确有理数除法与乘法的互逆关系，会将除法运算转化为乘法运算。（重点）
学会运用有理数除法解决实际问题，提升数学应用能力。（难点）
通过对比有理数乘法和除法运算，体会数学知识之间的内在联系，培养类比推理能力。
幻灯片 3：知识回顾
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与 0 相乘，都得 0。
多个有理数相乘，负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负；有一个因数为 0 则积为 0。
乘法运算律：
交换律：\(a×b = b×a\)。
结合律：\((a×b)×c = a×(b×c)\)。
分配律：\(a×(b + c) = a×b + a×c\)。
思考：我们知道乘法和除法互为逆运算，在有理数范围内，如何进行除法运算呢？例如，已知\(3×(-4)= -12\)，那么\((-12)÷(-4)= \)
幻灯片 4：知识点 1：有理数除法的意义
意义：与小学学过的除法意义相同，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
举例：因为\(2×(-3)= -6\)，所以\((-6)÷(-3)=2\)，\((-6)÷2 = -3\)。
说明：有理数除法和乘法一样，都是基本的四则运算，它们之间的互逆关系在解决数学问题中经常用到。
幻灯片 5：知识点 2：有理数除法法则（一）
法则内容：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
符号表示：\(a÷b = a×\frac{1}{b}\)（\(b≠0\)）。
推导过程：设\(a÷b = x\)，根据除法意义，\(b×x = a\)，又因为\(b×\frac{a}{b}=a\)，所以\(x = \frac{a}{b}\)，即\(a÷b = a×\frac{1}{b}\)。
强调：0 不能作除数，因为找不到一个数与 0 相乘能得到非零的被除数。
例题 1：计算\((-8)÷2\)。
解答：\((-8)÷2 = (-8)×\frac{1}{2} = -4\)。
例题 2：计算\((-6)÷(-\frac{1}{3})\)。
解答：\((-6)÷(-\frac{1}{3}) = (-6)×(-3) = 18\)。
幻灯片 6：知识点 3：有理数除法法则（二）
法则内容：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
实例验证：
（1）\(12÷3 = 4\)（同号得正，\(|12|÷|3| = 4\)）。
（2）\((-12)÷(-3)=4\)（同号得正，\(|-12|÷|-3| = 4\)）。
（3）\(12÷(-3)= -4\)（异号得负，\(|12|÷|-3| = 4\)）。
（4）\(0÷5 = 0\)。
应用场景：当被除数和除数的绝对值较容易相除时，使用该法则更为简便。
例题 3：计算\((-45)÷5\)。
解答：\((-45)÷5 = -(45÷5)= -9\)。
例题 4：计算\(36÷(-9)\)。
解答：\(36÷(-9)=-(36÷9)= -4\)。
幻灯片 7：有理数除法运算步骤
确定商的符号：根据法则二，判断被除数和除数的符号，确定商的正负性。
计算商的绝对值：
若用除法法则一，将除法转化为乘法后计算积的绝对值。
若用除法法则二，直接把被除数和除数的绝对值相除。
得出结果：将确定好的符号与计算出的绝对值组合，得到最终的商。
例题 5：计算\((-\frac{2}{3})÷(-\frac{4}{9})\)。
解答：
步骤一：确定符号，两数相除同号得正，所以商为正。
步骤二：计算绝对值，\((-\frac{2}{3})÷(-\frac{4}{9})=\frac{2}{3}×\frac{9}{4}\)（除法法则一），\(\frac{2}{3}×\frac{9}{4}=\frac{2×9}{3×4}=\frac{3}{2}\)。
步骤三：结果为\(\frac{3}{2}\)。
幻灯片 8：混合运算中的除法应用
运算顺序：在有理数的加、减、乘、除混合运算中，先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里面的。
例题 6：计算\((-24)÷(-2) - 3×(-5)\)。
解答：
先算除法：\((-24)÷(-2)=12\)。
再算乘法：\(3×(-5)= -15\)。
最后算减法：\(12 - (-15)=12 + 15 = 27\)。
例题 7：计算\(4 - 8×(-\frac{1}{2})÷(-2)\)。
解答：
先算乘法：\(8×(-\frac{1}{2})=-4\)。
再算除法：\((-4)÷(-2)=2\)。
最后算减法：\(4 - 2 = 2\)。
幻灯片 9：易错点分析
错误 1：忽略 0 不能作除数。
例如：计算\(5÷0\)，这是无意义的，但可能会错误地认为结果是 0 或其他值。
错误 2：符号判断错误。
例如：计算\((-12)÷3\)，可能错误地得出结果为 4，而正确结果应为\(-4\)（异号得负）。
错误 3：除法转化为乘法时，忘记将除数变为其倒数。
例如：计算\((-6)÷\frac{2}{3}\)，错误地写成\((-6)×\frac{2}{3}=-4\)，正确应为\((-6)×\frac{3}{2}=-9\)。
错误 4：在混合运算中，运算顺序混乱。
例如：计算\(3 + 6÷(-2)×3\)，错误地先算加法，应先算乘除，即先算\(6÷(-2)= -3\)，再算\((-3)×3 = -9\)，最后算\(3 + (-9)= -6\)。
幻灯片 10：课堂练习
计算下列各题：
（1）\(15÷(-3)\) （2）\((-28)÷(-4)\)
（3）\((-\frac{3}{5})÷\frac{3}{2}\) （4）\(0÷(-7)\)
答案：（1）\(-5\)；（2）\(7\)；（3）\(-\frac{2}{5}\)；（4）\(0\)。
计算：\((-12)÷[(-3)+(-15)÷5]\)。
答案：\((-12)÷[(-3)+(-3)] = (-12)÷(-6)=2\)。
计算：\(2×(-3)^2 - 24÷(-4)\)。
答案：先算乘方\((-3)^2 = 9\)，再算乘法\(2×9 = 18\)，除法\(24÷(-4)= -6\)，最后算减法\(18 - (-6)=18 + 6 = 24\)。
幻灯片 11：拓展应用
情境问题：某公司去年四个季度的盈利情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：万元）：\(+120\)，\(-40\)，\(+80\)，\(-60\)。求该公司去年平均每个季度的盈利是多少万元？
解答：
先求总盈利：\(120 + (-40)+80 + (-60)=120 - 40 + 80 - 60 = 100\)（万元）。
再求平均盈利：\(100÷4 = 25\)（万元）。
情境问题：已知某商品的进价为每件\(80\)元，售价为每件\(100\)元，现商家决定进行降价促销，若要使利润率不低于\(5\%\)，则该商品最多可降价多少元？（利润率 = \(\frac{利润}{进价}×100\%\)）
解答：
设最多可降价\(x\)元，利润为\((100 - x - 80)\)元。
根据利润率不低于\(5\%\)，可列不等式\(\frac{100 - x - 80}{80}×100\%≥5\%\)。
化简得\(\frac{20 - x}{80}≥0.05\)。
两边同乘\(80\)得\(20 - x≥4\)。
解得\(x≤16\)，即最多可降价\(16\)元。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识点：
有理数除法的意义：已知积与一个因数求另一个因数。
除法法则：
除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非 0 数都得 0。
混合运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内。
学习方法：通过与有理数乘法对比学习，理解除法法则；计算时注意符号判断和运算顺序，避免常见错误；遇到实际问题，准确分析数量关系，将其转化为数学运算求解。
幻灯片 13：课后作业
教材第 [对应页码] 页练习第 1、2、3 题。
计算：
（1）\((-36)÷9\) （2）\((-\frac{12}{25})÷(-\frac{3}{5})\)
（3）\((-18)÷(-2)÷(-3)\) （4）\((-2)×(-3)^2÷(-\frac{1}{2})\)
某工厂计划在一周内生产\(560\)个零件，前三天平均每天生产\(80\)个，若要按时完成任务，后四天平均每天应生产多少个零件？
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.10 有理数的除法
第1章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
有理数的乘法法则是什么？
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与0相乘，都得零.
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0 ．
1．小学里已经学过数的除法．回想一下，除法的意义
是什么？它与乘法有什么关系？
已知两个数的积和一个乘数，求另一个乘数．
除法与乘法是互逆运算关系．
2．小学学习过的倒数的意义是什么？
如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数，用式子表示为：
注意：0 没有倒数哟！
如果一个数与 2 的乘积是﹣6 ，那么这个数是几？
乘法算式：__________________
除法算式：__________________
2×（ ）=﹣6
（﹣6）÷2=（ ）


3
﹣3
另外，我们还知道
（﹣6）× =﹣3
比较以上两式，即有
（﹣6）÷2=（﹣6）×
这表明，除法可以转化为乘法来进行运算．
﹣
倒数
负数也有倒数吗？
例如， 互为倒数， 互为倒数．
小学里我们学过倒数，对于有理数仍然有：
乘积是 1 的两个数互为倒数．
你能再举出几个互为倒数的有理数吗？
正
由于“两数相乘，同号得正”，所以互为倒数的两个数正负号相同．
你能很快地说出下列各数的倒数吗
原数 ﹣5 7 0 ﹣1
倒数
﹣1
0 为什么没有倒数？
练一练
不存在一个数与 0 相乘等于 1，任何数与 0 相乘，都得 0 ．
倒数等于它
本身的数是？
1和﹣1
倒数的求法：
相反数 倒数
定义
表示（原数为a）
找对应数的方法
正负 关系 正数
负数
0
等于自身的数
﹣a
仅有符号不同的两数
乘积为 1 的两数
改变该数的正负号
颠倒分子、分母的位置
（小数化为分数）
负数
负数
正数
正数
0
0
无
1，﹣1
4
-3
-25
3
0
4
-3
3
-25
0
已知积和其中一个因数，
求另一个因数
积÷因数＝另一个因数
除法是乘法的逆运算
填空
有理数的除法可以转化为乘法：
除以一个数等于乘以这个数的倒数．
0 不能作除数．
注意
为什么？
因为 0 没有倒数．
除法变为乘法
除数变为其倒数
（其他式子同理）
计算：
(1) (-18)÷6；
(2) ；
(3) .
(1) (-18)÷6＝（-18）× ＝-3.
例1
解
示例：
因为除法可以转化为乘法，所以与乘法类似，我们也有如下有理数的除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 ．
有理数都可以表示成两个整数之商．
（有理数的本质）
有理数的本质：
有理数就是可以表示成两个整数之商的数．
有理数
整数
正分数
负分数
分数
任何整数都是它除以 1 所得的商
（带分数先化成假分数）
分子除以分母所得的商
负号放到分子或分母上
两个整数（其中一个为负整数）的商
例如， ，它是﹣22 与 7 或 22 与﹣7 的商．
化简下列分数：
例2
解
计算：
例3
解
巩固练习
1．写出下列各数的倒数：
（1） ； （2） ； （3）﹣5； （4）1； （5）﹣1； （6）0.2．
【教材P52 练习 第1题】
=﹣12
=﹣4
= 0
=﹣40
【教材P52 练习 第2题】
2．计算：
不正确，此题应按从左到右的顺序计算，正确的是：
【教材P53 练习 第3题】
3．下列计算正确吗？为什么？
知识点1 倒数
1.［2024宿迁中考］6的倒数是( )
A
A. B. C.6 D.
返回
2.与 乘积为1的数是____.
返回
3.［2025广元期末］下列互为倒数的是( )
D
A.和2 B.3和 C.和 D.和
返回
4.倒数等于本身的数是_______.
1或
返回
5.的倒数是_____， 的倒数是___.
返回
知识点2 有理数的除法法则及分数化简
6.把 转化为乘法，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
7.计算 的结果等于( )
B
A.8 B. C.35 D.
返回
8.算式___ 中的横线上应填__.
返回
9.两个数的商为正数，则这两个数( )
C
A.都为正 B.都为负 C.同号 D.异号
返回
10.若，则 ________.
返回
11.（16分）［教材习题 变式］化简：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
有理数的除法可以转化为乘法：
除以一个数等于乘以这个数的倒数．0 不能作除数．
有理数的除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 ．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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