资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.11.1 有理数的乘方
副标题：探索乘方的奥秘，掌握幂的运算
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解有理数乘方的意义，掌握乘方的概念及表示方法，明确底数、指数和幂的含义。（重点）
能根据乘方的定义正确进行有理数的乘方运算，熟练计算正数、负数和 0 的乘方。（重点）
体会乘方与乘法的联系，感受从特殊到一般的数学思想，培养抽象思维能力。（难点）
通过实际问题引入乘方，认识到乘方在生活中的应用价值，提高学习数学的兴趣。
幻灯片 3：情境引入
实际问题：
情境 1：一张厚度约为 0.1 毫米的纸，对折 1 次后厚度变为 0.2 毫米，对折 2 次后厚度变为 0.4 毫米，对折 3 次后厚度变为 0.8 毫米…… 对折 n 次后，纸的厚度是多少毫米？
分析：对折 1 次：\(0.1×2\)；对折 2 次：\(0.1×2×2\)；对折 3 次：\(0.1×2×2×2\)…… 对折 n 次：\(0.1×\underbrace{2×2×…×2}_{n个2}\)。
情境 2：边长为 a 的正方形面积是\(a×a\)，棱长为 a 的正方体体积是\(a×a×a\)。
引入概念：像这种相同因数的乘法运算，我们可以用一种更简便的形式表示，这就是乘方。
幻灯片 4：知识点 1：乘方的定义及表示
定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
表示形式：n 个 a 相乘，记作\(a^n\)，即\(\underbrace{a×a×…×a}_{n个a}=a^n\)。
各部分名称：
\(a\)叫做底数，表示相同的因数。
\(n\)叫做指数，表示相同因数的个数。
\(a^n\)读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”。
实例说明：
在\(3^4\)中，底数是 3，指数是 4，表示 4 个 3 相乘，即\(3^4 = 3×3×3×3\)。
在\((-2)^3\)中，底数是 - 2，指数是 3，表示 3 个 - 2 相乘，即\((-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)\)。
注意：当底数是负数或分数时，必须用括号括起来，以区分底数和指数，例如\((-\frac{1}{2})^2\)不能写成\(-\frac{1}{2}^2\)。
幻灯片 5：知识点 2：乘方运算的法则
正数的任何次幂都是正数：
例如：\(2^3 = 2×2×2 = 8\)；\((\frac{1}{3})^2=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\)。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：
奇次幂示例：\((-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8\)；\((-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}\)。
偶次幂示例：\((-3)^2=(-3)×(-3)=9\)；\((-\frac{2}{3})^4=\frac{16}{81}\)。
0 的任何正整数次幂都是 0：
例如：\(0^5 = 0×0×0×0×0 = 0\)；\(0^{100}=0\)。
1 的任何次幂都是 1：
例如：\(1^7 = 1\)；\(1^{2024}=1\)。
幻灯片 6：例题讲解（乘方的计算）
例题 1：计算\(5^3\)。
解答：\(5^3 = 5×5×5 = 125\)（正数的三次幂是正数）。
例题 2：计算\((-4)^2\)。
解答：\((-4)^2 = (-4)×(-4) = 16\)（负数的偶次幂是正数）。
例题 3：计算\(-4^2\)。
分析：这里的底数是 4，而不是 - 4，\(-4^2\)表示\(4^2\)的相反数。
解答：\(-4^2 = -(4×4) = -16\)。
例题 4：计算\((-\frac{2}{3})^3\)。
解答：\((-\frac{2}{3})^3=(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})=-\frac{8}{27}\)（负数的奇次幂是负数）。
例题 5：计算\(0^{10}\)。
解答：\(0^{10} = 0\)（0 的正整数次幂是 0）。
幻灯片 7：乘方与乘法的关系及运算步骤
关系：乘方是特殊的乘法运算，即相同因数的乘法，因此乘方运算可以转化为乘法运算来计算。
运算步骤：
确定底数和指数，明确乘方表示的是几个相同因数的积。
根据底数的符号和指数的奇偶性，确定幂的符号（正数的任何次幂为正；负数奇次幂为负，偶次幂为正；0 的正整数次幂为 0）。
计算幂的绝对值，即相同因数绝对值的乘积。
结合符号得出最终结果。
例题 6：计算\((-2)^4\)。
解答：
步骤 1：底数是 - 2，指数是 4，表示 4 个 - 2 相乘。
步骤 2：指数 4 是偶数，所以幂的符号为正。
步骤 3：计算绝对值的积，\(2×2×2×2 = 16\)。
步骤 4：结果为\(16\)。
幻灯片 8：易错点分析
错误 1：混淆底数的符号，尤其是负数或分数作为底数时忘记加括号。
例如：将\((-2)^3\)错误写成\(-2^3\)，\((-2)^3 = -8\)，而\(-2^3 = -8\)（此处结果相同，但意义不同）；将\((-\frac{1}{2})^2\)错误写成\(-\frac{1}{2}^2\)，\((-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)，而\(-\frac{1}{2}^2=-\frac{1}{4}\)（结果不同）。
错误 2：对指数的理解错误，认为指数是底数要乘的次数。
例如：计算\(3^2\)时，错误地认为是\(3×2 = 6\)，正确应为\(3×3 = 9\)。
错误 3：符号判断错误，尤其是负数的乘方。
例如：计算\((-3)^3\)时，错误地得出结果为\(27\)，正确应为\(-27\)（负数的奇次幂是负数）。
错误 4：0 的乘方运算错误，认为 0 的任何次幂都是 0（忽略指数为 0 的情况，初中阶段暂不考虑）。
例如：正确的是 0 的正整数次幂是 0，如\(0^5 = 0\)。
幻灯片 9：课堂练习
写出下列乘方的底数、指数，并计算结果：
（1）\(3^4\) （2）\((-5)^3\) （3）\(-2^5\) （4）\((\frac{1}{2})^3\) （5）\(0^7\)
答案：
（1）底数 3，指数 4，结果\(81\)。
（2）底数 - 5，指数 3，结果\(-125\)。
（3）底数 2，指数 5，结果\(-32\)。
（4）底数\(\frac{1}{2}\)，指数 3，结果\(\frac{1}{8}\)。
（5）底数 0，指数 7，结果\(0\)。
计算：
（1）\((-1)^{10}\) （2）\(-1^{10}\) （3）\((-1)^{2023}\) （4）\((-0.1)^3\)
答案：（1）\(1\)；（2）\(-1\)；（3）\(-1\)；（4）\(-0.001\)。
幻灯片 10：拓展应用
情境问题：某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个，经过 5 小时，这种细胞由 1 个能分裂成多少个？
解答：
5 小时 = 10 个 30 分钟。
1 个细胞 30 分钟后分裂为\(2^1\)个，1 小时后分裂为\(2^2\)个……5 小时后分裂为\(2^{10}\)个。
\(2^{10}=1024\)（个），即经过 5 小时能分裂成 1024 个。
情境问题：一个数的平方等于它本身，这个数是多少？一个数的立方等于它本身，这个数是多少？
解答：
设这个数为 x，若\(x^2 = x\)，则\(x^2 - x = 0\)，\(x(x - 1)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 1\)。
若\(x^3 = x\)，则\(x^3 - x = 0\)，\(x(x^2 - 1)=0\)，\(x(x - 1)(x + 1)=0\)，解得\(x = 0\)、\(x = 1\)或\(x = -1\)。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识点：
乘方的定义：n 个相同因数 a 的积的运算，记作\(a^n\)，结果叫做幂。
各部分名称：a 是底数，n 是指数，\(a^n\)是幂。
乘方运算法则：
正数的任何次幂都是正数。
负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。
0 的任何正整数次幂都是 0。
注意事项：底数为负数或分数时需加括号，区分\(-a^n\)与\((-a)^n\)的意义。
学习方法：理解乘方与乘法的联系，通过实例掌握乘方的表示和运算；计算时先确定符号，再计算绝对值，避免符号错误；结合实际问题感受乘方的应用价值。
幻灯片 12：课后作业
教材第 [对应页码] 页练习第 1、2、3 题。
计算：
（1）\((-3)^4\) （2）\(-3^4\) （3）\((-\frac{3}{4})^2\) （4）\(-(\frac{3}{4})^2\) （5）\((-1)^{2024}\)
一个数的平方是 9，这个数是多少？一个数的立方是 - 8，这个数是多少？
观察下列算式：\(2^1 = 2\)，\(2^2 = 4\)，\(2^3 = 8\)，\(2^4 = 16\)，\(2^5 = 32\)…… 你能发现\(2^n\)的末位数字有什么规律吗？根据规律写出\(2^{20}\)的末位数字。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.11.1有理数的乘方
第1章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
请同学们拿出一张纸进行对折，再对折……两人合作，一人对折，一人记录下表：
对折 次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次
纸的 层数
层数可 表示为 　
2
4
8
16
32
2×2
2×2×2
2×2×2×2
2×2×2×2×2
2
…
纸的层数与对折次数有什么关系呢？
对折 n 次就有 n 个 2 相乘，即：
像这样的式子表示起来很复杂，那么有没有一种简单的记法呢？
边长为 a cm 的正方形的面积为______cm2．
棱长为 a cm 的正方体的体积为______cm3．
a
a
a×a
a×a×a
读作： a 的平方（或 a 的 2 次方）
读作： a 的立方（或 a 的 3 次方）
a·a 记作 ，读作 a 的平方（或 a 的 2 次方）；
a·a·a 记作 ，读作 a 的立方（或 a 的 3 次方）．
记作
一般地，n 个相同的乘数 a 相乘：
记作 ，
读作 a 的 n 次方
n个
a·a·…·a

a·a·…·a
n个
这种求几个相同乘数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
当把 看作是 a 的 n 次方的结果时， 也可读作 a 的 n 次幂．
（相同的因数）
（相同因数的个数）
（运算结果）
底数
指数
幂
1．在 中，底数是_____，指数是_____，表示的意义是___________.
2．在 中，底数是_____，指数是_____，表示的意义是___________.
3．在 中，底数是_____，指数是_____，表示的意义是___________.
3个 相乘
4个﹣3相乘
5
2
2个5相乘
﹣3
4
3
在 8 中，底数是_____，指数是_____．
8
1
一个数可以看作这个数本身的 1 次方， 就是 a，指数 1 通常省略不写．
计算：
(1) ;
(2) ;
(3) .
（1）(-2)3=(-2)(-2)(-2)
（2）(-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2)
（3）(-2)5=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)
例1
解
=-8.
=16.
=-32.
(-2)3
(-2)4
(-2)5
乘方运算的步骤：
转化
乘方运算
乘法运算
① 确定幂的符号
② 计算幂的绝对值
不相同，括号不能省！
=-8.
=16.
=-32.
(-2)3
(-2)4
(-2)5
观察上述结果的正负号，你发现了什么？
8
16
32
根据有理数的乘法法则，我们有：
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
0 的任何正整数次幂都是 0 .
根据任何数与 0 相乘，都得 0 ，可以得出：
1 的任何次幂都是 .
﹣1 的偶次幂是 ，奇次幂是 .
1
﹣1
1
任何数的
偶次幂都
是非负数
你能迅速判断下列各幂的正负吗？
＋
＋
－
＋
－
＋
＋
＋
0
＋
＋
两个重要的非负数：
巩固练习
1． 读作什么？其中底数是什么？指数
是什么？ 是正数还是负数？
读作负 4 的 5 次方，底数是﹣4，指数是 5，它是负数．
【教材P55 练习 第1题】
=1000
=100000
=﹣1
=1
=﹣0.001
=﹣32
2．计算：
【教材P55 练习 第2题】
3．3 的平方是什么？﹣3 的平方是什么？平方得 9 的
数有几个？有没有平方得﹣9 的有理数？
【教材P55 练习 第3题】
是 9， 是 9，平方得 9 的数有两个，没有平方得﹣9 的有理数．
知识点1 乘方的意义
1.（1）把 写成乘方的形式是_______；
（2）把 写成几个相同乘数的积的形式是__________________.
返回
2.［2025新乡月考］ 表示的意义是( )
B
A.乘以6的积 B.6个 相乘的积
C.5个相乘的积 D.6个 相加的和
返回
3.对于 ，下列叙述正确的是( )
C
A.读作的4次幂 B.底数是 ，指数是4
C.表示4个2相乘的积的相反数 D.表示4个 相乘的积
返回
知识点2 乘方的运算
4.计算：
（1） __；
（2） ____.
返回
5.下列各数中，结果是正数的是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.一个数的平方是16，则这个数是_______.
4或
返回
7.（16分）［教材P练习T 变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑