资源简介

(共22张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.1.3 列代数式
副标题：精准分析数量关系，规范列出代数式
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
进一步理解列代数式的意义，掌握列代数式的基本方法和步骤。（基础）
能准确把握问题中的数量关系和关键词，熟练列出各类代数式。（重点）
学会将实际问题中的文字语言转化为数学语言（代数式），提高数学建模能力。（重点）
通过列代数式解决实际问题，体会数学与生活的密切联系，增强应用意识。（难点）
幻灯片 3：知识回顾
代数式的概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式，不含等号或不等号。
书写规范要点：
数字与字母相乘，数字在前，乘号省略（如\(5a\)）。
带分数化为假分数（如\(\frac{3}{2}x\)）。
除法写成分数形式（如\(\frac{m}{n}\)）。
加减运算带单位需加括号（如\((a + b)\)米）。
列代数式的核心：将文字描述的数量关系转化为代数式，关键在于准确分析数量关系和理解关键词。
幻灯片 4：知识点 1：列代数式的基本步骤
步骤分解：
审清题意：明确问题中涉及的数量，区分已知量和未知量，确定用哪些字母表示未知量。
找出关键词：识别表示运算关系的词语（如 “和、差、积、商、倍、分、多、少、平方、立方” 等）。
分析数量关系：确定运算顺序，明确先算什么、后算什么（必要时借助括号调整顺序）。
列出代数式：根据数量关系，用运算符号将数和字母连接起来，注意书写规范。
检验：检查代数式是否符合题意，书写是否规范，是否遗漏运算或符号错误。
实例说明：用代数式表示 “x 的 3 倍与 y 的 2 倍的差”。
步骤 1：未知量为 x、y。
步骤 2：关键词 “倍”“差”。
步骤 3：先算 “x 的 3 倍”（\(3x\)）和 “y 的 2 倍”（\(2y\)），再算差。
步骤 4：代数式为\(3x - 2y\)。
步骤 5：检验符合题意，书写规范。
幻灯片 5：知识点 2：常见数量关系与关键词解析
和差关系：
“和”：\(a\)与\(b\)的和表示为\(a + b\)。
“差”：\(a\)比\(b\)大 5 表示为\(a - b = 5\)（非代数式），代数式表示 “\(a\)比\(b\)大 5 的数” 为\(b + 5\)。
关键词：“加上、增加、和、多、比…… 大” 对应加法；“减去、减少、差、少、比…… 小” 对应减法。
倍分关系：
“倍”：\(x\)的 3 倍表示为\(3x\)；\(a\)是\(b\)的\(\frac{1}{2}\)表示为\(a = \frac{1}{2}b\)（非代数式），代数式表示 “\(b\)的\(\frac{1}{2}\)” 为\(\frac{1}{2}b\)。
“分”：把 m 平均分成 n 份，每份为\(\frac{m}{n}\)（\(n≠0\)）。
关键词：“倍、几分之几” 对应乘法；“平均分、商” 对应除法。
乘方关系：
“平方”：\(a\)的平方表示为\(a^2\)；“a 与 b 的和的平方” 表示为\((a + b)^2\)。
“立方”：\(x\)的立方表示为\(x^3\)；“a 的平方与 b 的立方的差” 表示为\(a^2 - b^3\)。
关键词：“平方、二次方”“立方、三次方” 对应乘方运算。
幻灯片 6：类型 1：和差倍分问题
例题 1：设某数为 x，用代数式表示：
（1）比这个数大 10 的数：________。
（2）这个数的一半与 3 的差：________。
（3）这个数的 3 倍与另一个数 y 的和：________。
解答：（1）\(x + 10\)；（2）\(\frac{1}{2}x - 3\)；（3）\(3x + y\)。
例题 2：用代数式表示：
（1）a 与 b 两数的平方和：________。
（2）a 与 b 两数和的平方：________。
（3）a 与 b 两数的平方差：________。
解答：（1）\(a^2 + b^2\)；（2）\((a + b)^2\)；（3）\(a^2 - b^2\)。
技巧：区分 “平方和”（先平方再和）与 “和的平方”（先和再平方），注意运算顺序的差异。
幻灯片 7：类型 2：几何图形问题
例题 3：一个三角形的底为 a 厘米，高比底小 3 厘米，用代数式表示这个三角形的面积。
分析：三角形面积 = \(\frac{1}{2}×底×高\)，高为\((a - 3)\)厘米。
解答：面积为\(\frac{1}{2}×a×(a - 3) = \frac{1}{2}a(a - 3)\)平方厘米。
例题 4：一个圆的半径为 r 米，另一个圆的半径比它大 2 米，用代数式表示另一个圆的周长和面积（π 为圆周率）。
分析：另一个圆的半径为\((r + 2)\)米，周长\(C = 2πr\)，面积\(S = πr^2\)。
解答：周长为\(2π(r + 2)\)米；面积为\(π(r + 2)^2\)平方米。
技巧：牢记常见几何图形的周长、面积、体积公式，用字母表示未知的边长、半径等，再代入公式。
幻灯片 8：类型 3：实际应用问题
例题 5：某商品原价为 p 元，现打八折销售，用代数式表示现价；若再在此基础上每件减 10 元，用代数式表示最终售价。
分析：八折即原价的 80%（\(0.8p\)），再减 10 元即\(0.8p - 10\)。
解答：现价为\(0.8p\)元；最终售价为\((0.8p - 10)\)元。
例题 6：小明家距离学校 a 千米，他骑自行车的速度为每小时 b 千米，某天他从家出发迟到了 5 分钟，为了按时到校，他需要以每小时多少千米的速度骑行？（1 小时 = 60 分钟）
分析：原计划时间为\(\frac{a}{b}\)小时，迟到 5 分钟即需提前 5 分钟（\(\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\)小时），实际时间为\(\frac{a}{b} - \frac{1}{12}\)小时，速度 = 路程 ÷ 时间。
解答：速度为\(\frac{a}{\frac{a}{b} - \frac{1}{12}}\)千米 / 小时。
技巧：实际问题中需明确数量关系公式（如路程 = 速度 × 时间、利润 = 售价 - 进价等），将文字描述转化为公式中的量。
幻灯片 9：类型 4：数字问题
例题 7：一个两位数，十位数字为 m，个位数字为 n，用代数式表示这个两位数；将十位数字与个位数字交换后得到的新两位数，用代数式表示新两位数。
分析：两位数 = 十位数字 ×10 + 个位数字，如 23 = 2×10 + 3。
解答：原两位数为\(10m + n\)；新两位数为\(10n + m\)。
例题 8：一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，用代数式表示这个三位数；若将百位数字与个位数字交换，得到的新三位数是多少？
分析：三位数 = 百位数字 ×100 + 十位数字 ×10 + 个位数字。
解答：原三位数为\(100a + 10b + c\)；新三位数为\(100c + 10b + a\)。
技巧：数字问题中，某一位上的数字需乘以相应的数位单位（十位 ×10，百位 ×100 等）。
幻灯片 10：易错点分析
错误 1：关键词理解错误，混淆运算顺序。
例如：“a 减去 b 的差的 2 倍” 错误写成\(a - 2b\)，正确应为\(2(a - b)\)（先算差再乘 2）。
错误 2：忽略隐含的数量关系，导致代数式不完整。
例如：“一个数的 3 倍与 5 的和” 中漏写 “和” 的运算，错误写成\(3x5\)，正确应为\(3x + 5\)。
错误 3：几何问题中记错公式或单位处理不当。
例如：三角形面积公式错误用成 “底 × 高”，正确应为\(\frac{1}{2}×底×高\)；带单位时未加括号，如 “面积为\(\frac{1}{2}ah\)厘米” 错误，应为 “\(\frac{1}{2}ah\)平方厘米”。
错误 4：数字问题中数位单位错误。
例如：两位数\(10m + n\)错误写成\(m + 10n\)，混淆十位和个位的数位单位。
错误 5：实际问题中单位不统一，直接代入运算。
例如：例题 6 中未将 5 分钟转化为小时，导致时间单位错误，影响代数式的正确性。
幻灯片 11：课堂练习
用代数式表示：
（1）x 的\(\frac{2}{3}\)与 y 的 5 倍的和：________。
（2）a 与 b 的差除以它们的积：________（a、b 均不为 0）。
（3）比 m 的平方的 2 倍小 1 的数：________。
答案：（1）\(\frac{2}{3}x + 5y\)；（2）\(\frac{a - b}{ab}\)；（3）\(2m^2 - 1\)。
一个长方形的长为 x 米，宽比长短 2 米，用代数式表示它的周长和面积。
答案：宽为\((x - 2)\)米，周长为\(2[x + (x - 2)] = 2(2x - 2) = 4x - 4\)米；面积为\(x(x - 2)\)平方米。
某工厂原有工人 n 名，今年招聘新工人后人数增加了 15%，用代数式表示现在的工人数。
答案：现在的工人数为\(n + 15\%n = 1.15n\)名。
幻灯片 12：拓展应用
情境问题：为响应 “绿色出行” 号召，某市实行公交票价优惠政策：乘公交不超过 10 千米时，票价为 2 元；超过 10 千米的部分，每千米加收 0.5 元。用代数式表示乘坐公交 x 千米（x＞10）的票价。
解答：
10 千米内票价为 2 元，超过 10 千米的部分为\((x - 10)\)千米。
超过部分费用为\(0.5(x - 10)\)元，总票价为\(2 + 0.5(x - 10) = 0.5x - 3\)元。
情境问题：用棋子摆成如图所示的 “小房子” 图案，第 1 个图案需要 5 枚棋子，第 2 个图案需要 11 枚棋子，第 3 个图案需要 17 枚棋子…… 按此规律，用代数式表示第 n 个图案需要的棋子数。
解答：
第 1 个：5 = 6×1 - 1；第 2 个：11 = 6×2 - 1；第 3 个：17 = 6×3 - 1……
第 n 个图案需要的棋子数为\(6n - 1\)枚。
幻灯片 13：课堂小结
核心知识点：
列代数式的步骤：审清题意→找关键词→分析数量关系→列代数式→检验。
常见关键词对应的运算：和（+）、差（-）、积（×）、商（÷）、倍（×）、分（÷）、平方（\(a^2\)）、立方（\(a^3\)）。
重点类型：和差倍分问题、几何图形问题、实际应用问题、数字问题，需结合各自特点分析数量关系。
注意事项：准确理解关键词的运算顺序，规范书写代数式，处理好单位和隐含数量关系。
学习方法：多积累常见数量关系的表达，通过对比不同表述的代数式（如 “平方和” 与 “和的平方”）加深理解；结合实例反复练习，总结易错点；将实际问题抽象为数学模型，提高转化能力。
幻灯片 14：课后作业
教材第 [对应页码] 页练习第 1、2、4 题。
用代数式表示：
（1）a 的倒数与 b 的相反数的和：________（a≠0）。
（2）x 的 2 倍的平方减去 y 的\(\frac{1}{3}\)：________。
（3）三个连续偶数中，中间的数为 n，则另外两个数分别是________、________。
一个梯形的上底为 a 米，下底为 b 米，高为 h 米，若上底增加 2 米，下底减少 1 米，高不变，用代数式表示变化后的梯形面积。
某手机套餐每月基本费为 58 元，包含 100 分钟通话，超过 100 分钟的部分按 0.3 元 / 分钟收费。用代数式表示每月通话 x 分钟（x＞100）的费用。
观察下列等式：\(1 = 1^2\)，\(1 + 3 = 2^2\)，\(1 + 3 + 5 = 3^2\)，\(1 + 3 + 5 + 7 = 4^2\)…… 用代数式表示第 n 个等式的左边。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1.3.列代数式
第2章 整式及其加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.进一步掌握代数式的书写格式.
2.会列代数式解决实际问题.
复习导入
下列各式中：0， ，x+y=y+x，s= na，5× ，x， 是代数式的共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
★代数式的组成：
①一个代数式由数、表示数的字母和运算符号组成；
②单独的一个数或一个字母也是代数式；
③用“=”“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”等连接的式子都不是代数式.
×
×
C
★用字母表示数的书写格式：
①数与数相乘，一定要用乘号“×”；数和字母相乘，在省略乘号时，要把数字写在字母的前面.如n×2应写成2n，不能写成n2；
②字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或者用“·”；
③字母前是1或-1时，1可以省略不写；
④后面接单位的相加或相减的式子要用括号括起来；
⑤除法运算要写成分数形式，除号改为分数线；
⑥带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式.
做一做：某地区夏季高山上的气温从山脚处开始每升高100m降低0.6℃. 如果山脚处的气温为28℃，那么比山脚高300m处的气温为________. 一般地，比山脚高x m米处的气温为___________.
26.2℃
解决实际问题时，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性.
文字语言
数学语言
（3） x
设某数为x，用代数式表示：
（1）比该数的3倍大1的数；
（2）该数与它的 的和；
（3）该数与 的和的3倍；
（4）该数的倒数与5的差.
例3
（1）3x
3( )
（4） (x≠0)
+1
（2）x+
-5
解：
用代数式表示：
例4
（1）a、b两数的平方和；
（2）a、b两数的和的平方；
（3）a、b两数的和与它们的差的乘积；
（1）a2+b2.
（2）(a+b)2.
（3）(a+b)(a-b).
解：
（4）所有偶数，所有奇数.
（4）偶数是2的整数倍，奇数是2的整数倍加1. 所以，所有偶数和所有奇数可分别表示为：2n （n为整数） ，2n+1（n为整数）.
补充例题
用代数式表示：
（1）a、b两数的差的平方；
（2）a、b两数平方的差.
(a-b)2
a2-b2
解：
解：
用代数式表示：
（3）去年某品牌彩电的售价是m元，今年该品牌彩电售价下降15%之后的价格﹔
（4）买5个单价为a元的笔记本和2个单价为b元的笔袋需付的钱数.
补充例题
(m-15%m)元
或(1-15%) m元
(5a+2b)元
解：
解：
1.用代数式表示：
（1）a与b的差的2倍；
（2）a与b的2倍的差；
（3）a与b、c两数和的差；
（4）a、b两数的差与c的和.
随堂练习
（2）a- 2b
（3）a-(b+c)
（4）(a-b)+c
解： （1） 2(a-b)
【选自教材P87 练习 第1题】
2.填空：
（1）三个连续整数，如果中间一个整数是n，则第一个整数和第三个整数分别是________、_______；
（2）三个连续偶数，如果中间一个偶数是2n，则它前一个偶数和后一个偶数分别是_______、________.
n-1
n+1
2n-2
2n+2
【选自教材P87 练习 第2题】
3.用代数式表示：
(1)比b的平方的3倍小2的数；
(2)a、b两数的和的平方减去a、b两数的平方和；
(3)原价为x元的商品，连续两次打八折后的价格.
3b2-2
(a+b)2-(a2+b2)
80%x·80%=0.64x
4. 如图，请你求出阴影部分的面积(用含有x的代数式表示).
x
x
3
2
S阴影=2×3
+3·x
+x·x
=6+3x+x2
解：
5. 用代数式表示a的2倍与3的和.下列表示正确的是( )
A.2a-3 B.2a+3 C.2(a-3) D.2(a+3)
B
知识点1 列代数式
1.［2025焦作期末］将“和 的差的5倍”用代数式表示为( )
A
A. B. C. D.
返回
2.［2025西安期末］一个三位数的个位上的数字为 ，十位上的数字比
个位上的数字小1，百位上的数字为 ，则这个三位数可以表示为______
_______________.
返回
3.用代数式表示：
（1） 与它的一半的和：______；
（2）与 乘积的倒数：_ __；
（3）， 两数的立方和：________；
（4）， 两数的差的平方：_________；
（5）的3倍与 的差的平方：__________；
返回
4.［教材P练习T变式］若 表示任意一个整数，则奇数可表示为
_________________，偶数可表示为____.
或
返回
5.如图，把一个长为，宽为的长方形沿虚线剪下一个宽为 的小长方
形，则剩下部分的面积为__________.
返回
课堂小结
列代数式的注意事项：
①抓住“多”“少”“大”“小”“和”“差”“积”“倍”“平方”
“比”“几分之几”“除”“除以” 等关键词语；
②明确运算顺序，一般遵循“先读的先写”原则，如“和的积”是加在乘之前，而“积的和”是乘在加之前 ；
③列代数式时抓住“的”字把句子分成几个层次，逐层分析，一步步列出代数式.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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