资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.2 代数式的值
副标题：掌握求值方法，感受代数应用
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解代数式的值的概念，明确代数式的值与字母取值的关系。（基础）
掌握求代数式值的基本步骤和方法，能准确代入字母的值进行计算。（重点）
能根据题目要求，结合运算律简化代数式求值过程，提高计算效率。（重点）
体会代数式求值在实际问题中的应用，培养数学运算能力和应用意识。（难点）
幻灯片 3：情境引入
实际问题：
情境 1：已知一个长方形的长为 a 米，宽为 b 米，其面积用代数式表示为\(ab\)平方米。当\(a = 5\)，\(b = 3\)时，这个长方形的面积是多少？
情境 2：代数式\(2x + 3\)可以表示 “x 的 2 倍与 3 的和”，当\(x = 4\)时，这个和是多少？当\(x = -1\)时，这个和又是多少？
引入思考：在这些问题中，当字母取特定数值时，代数式会得出一个相应的结果，这个结果就是代数式的值。那么，如何定义代数式的值？求代数式的值需要遵循哪些步骤？
幻灯片 4：知识点 1：代数式的值的概念
定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序进行计算，所得的结果叫做代数式的值。
关键词解析：
数值代替：用具体的数替换代数式中的字母，替换时要一一对应。
运算顺序：遵循有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）。
结果：代数式的值是一个具体的数，其大小由代数式中字母的取值决定。
实例说明：对于代数式\(x^2 - 2y + 3\)，当\(x = 2\)，\(y = 1\)时，代入得\(2^2 - 2×1 + 3 = 4 - 2 + 3 = 5\)，则 5 就是此时代数式的值；当\(x = -1\)，\(y = 0\)时，值为\((-1)^2 - 2×0 + 3 = 1 + 3 = 4\)，可见字母取值不同，代数式的值可能不同。
幻灯片 5：知识点 2：求代数式值的基本步骤
步骤分解：
代入：将字母所取的具体数值代入代数式中对应的字母位置（注意：若字母的值是负数、分数或含运算符号的数，代入时需加括号）。
计算：按照代数式中指定的运算顺序，结合有理数的运算规则进行计算。
结果：得出计算结果，即该字母取值下代数式的值。
实例演示：求代数式\(3a - 2b + 1\)当\(a = -2\)，\(b = 3\)时的值。
步骤 1：代入，将\(a = -2\)，\(b = 3\)代入代数式，得\(3×(-2) - 2×3 + 1\)。
步骤 2：计算，先算乘法：\(3×(-2) = -6\)，\(2×3 = 6\)；再算加减：\(-6 - 6 + 1 = -11\)。
步骤 3：结果，代数式的值为\(-11\)。
注意事项：代入时要确保每个字母都被正确替换，不遗漏任何一项；计算过程中要仔细核对运算符号和顺序。
幻灯片 6：类型 1：直接代入求值
例题 1：当\(x = 5\)，\(y = -3\)时，求代数式\(2x + 3y\)的值。
解答：代入得\(2×5 + 3×(-3) = 10 - 9 = 1\)。
例题 2：当\(a = \frac{1}{2}\)，\(b = -4\)时，求代数式\(a^2 + 2ab - b^2\)的值。
解答：代入得\((\frac{1}{2})^2 + 2×\frac{1}{2}×(-4) - (-4)^2 = \frac{1}{4} - 4 - 16 = \frac{1}{4} - 20 = -\frac{79}{4}\)（或\(-19.75\)）。
技巧：直接代入时，对于负数或分数的乘方，务必添加括号，避免符号错误（如\((-4)^2 ≠ -4^2\)）。
幻灯片 7：类型 2：先化简再求值
例题 3：求代数式\(3(x^2 - y) - 2(x^2 + y)\)当\(x = -1\)，\(y = 2\)时的值。
分析：先化简代数式，再代入求值更简便。
解答：
化简：\(3x^2 - 3y - 2x^2 - 2y = x^2 - 5y\)。
代入：当\(x = -1\)，\(y = 2\)时，得\((-1)^2 - 5×2 = 1 - 10 = -9\)。
例题 4：求代数式\(\frac{1}{2}(4a^2b - ab^2) - 2(ab^2 - 3a^2b)\)当\(a = -1\)，\(b = \frac{1}{2}\)时的值。
解答：
化简：\(2a^2b - \frac{1}{2}ab^2 - 2ab^2 + 6a^2b = 8a^2b - \frac{5}{2}ab^2\)。
代入：当\(a = -1\)，\(b = \frac{1}{2}\)时，\(8×(-1)^2×\frac{1}{2} - \frac{5}{2}×(-1)×(\frac{1}{2})^2 = 8×1×\frac{1}{2} + \frac{5}{2}×\frac{1}{4} = 4 + \frac{5}{8} = \frac{37}{8}\)（或\(4.625\)）。
技巧：当代数式项数较多或有同类项时，先合并同类项化简，可减少计算量，降低错误率。
幻灯片 8：类型 3：整体代入求值
例题 5：已知\(x + y = 5\)，求代数式\(2(x + y) - 3\)的值。
分析：无需单独求 x、y 的值，将\(x + y\)看作整体代入。
解答：代入得\(2×5 - 3 = 10 - 3 = 7\)。
例题 6：若\(a^2 - 2a = 3\)，求代数式\(3a^2 - 6a + 4\)的值。
分析：观察发现\(3a^2 - 6a = 3(a^2 - 2a)\)，可整体代入\(a^2 - 2a = 3\)。
解答：\(3(a^2 - 2a) + 4 = 3×3 + 4 = 9 + 4 = 13\)。
技巧：当已知代数式与所求代数式存在倍数关系或整体结构时，利用整体代入可简化运算，避免求复杂的字母值。
幻灯片 9：易错点分析
错误 1：代入时未加括号，导致符号或运算错误。
例如：当\(x = -2\)时，求\(x^2\)的值，错误写成\(-2^2 = -4\)，正确应为\((-2)^2 = 4\)。
错误 2：代入数值时对应错误，替换了不该替换的字母或遗漏项。
例如：代数式\(2a + b\)中，将\(a = 1\)，\(b = 2\)错误代入为\(2×1 + 1 = 3\)，正确应为\(2×1 + 2 = 4\)。
错误 3：计算顺序错误，违背混合运算规则。
例如：计算\(3 + 2×(-1)\)时，错误先算\(3 + 2 = 5\)，再算\(5×(-1) = -5\)，正确应为\(3 + (-2) = 1\)。
错误 4：整体代入时未正确变形代数式，无法建立联系。
例如：已知\(a - b = 2\)，求\(2b - 2a + 3\)的值，未发现\(2b - 2a = -2(a - b)\)，导致无法求解。
错误 5：化简代数式时合并同类项错误，改变原式的值。
例如：化简\(3x - 2x^2 + x\)时，错误合并为\(4x - 2x^2\)（正确），但若写成\(4x + 2x^2\)则改变了符号。
幻灯片 10：课堂练习
当\(x = 3\)，\(y = -1\)时，求下列代数式的值：
（1）\(x - 2y\) （2）\(x^2 + y^2\) （3）\(\frac{x + y}{x - y}\)
答案：（1）\(3 - 2×(-1) = 5\)；（2）\(3^2 + (-1)^2 = 10\)；（3）\(\frac{3 + (-1)}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)。
先化简，再求值：\(3(2x^2 - y) - 2(x^2 + y)\)，其中\(x = -2\)，\(y = 1\)。
解答：化简得\(6x^2 - 3y - 2x^2 - 2y = 4x^2 - 5y\)；代入得\(4×(-2)^2 - 5×1 = 16 - 5 = 11\)。
已知\(m + n = 3\)，\(mn = -2\)，求代数式\(2(mn + m) - 3(2n - mn)\)的值。
解答：化简得\(2mn + 2m - 6n + 3mn = 5mn + 2m - 6n\)，无法直接整体代入，需进一步变形或结合已知条件（此题可先展开代入数值：\(2×(-2 + m) - 3(2n - (-2)) = -4 + 2m - 6n - 6 = 2m - 6n - 10\)，但因\(m = 3 - n\)，代入得\(2(3 - n) - 6n - 10 = 6 - 2n - 6n - 10 = -8n - 4\)，若需具体值需更多条件，此处仅演示过程）。
幻灯片 11：拓展应用
情境问题：某商店销售一种商品，每件的利润为\((2x - 5)\)元，当每天销售\((3x + 1)\)件时，用代数式表示每天的总利润；若\(x = 10\)，则每天的总利润是多少元？
解答：
总利润 = 每件利润 × 销售量，即\((2x - 5)(3x + 1)\)元。
当\(x = 10\)时，代入得\((2×10 - 5)(3×10 + 1) = 15×31 = 465\)元。
情境问题：一个长方体的长、宽、高分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，其体积为\(abc\)，表面积为\(2(ab + bc + ac)\)。若\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)，求该长方体的体积和表面积。
解答：
体积：\(2×3×4 = 24\)。
表面积：\(2×(2×3 + 3×4 + 2×4) = 2×(6 + 12 + 8) = 2×26 = 52\)。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识点：
代数式的值的定义：用数值代替代数式中的字母，计算所得的结果。
求值步骤：代入→计算→结果，代入时注意负数、分数加括号，计算遵循运算顺序。
求值类型：直接代入、先化简再代入、整体代入，根据代数式特点选择合适方法。
注意事项：准确代入字母数值，规范计算过程，灵活运用整体思想简化运算。
学习方法：通过对比不同代入方法的优劣，掌握化简和整体代入的技巧；计算时养成分步书写的习惯，减少错误；结合实际问题理解代数式值的实际意义，增强应用能力。
幻灯片 13：课后作业
教材第 [对应页码] 页练习第 1、2、3 题。
当\(a = -1\)，\(b = 2\)时，求下列代数式的值：
（1）\(3a + 2b - 1\) （2）\((a + b)^2 - (a - b)^2\)
先化简，再求值：\(5(2x - y) - 3(x + y)\)，其中\(x = \frac{1}{2}\)，\(y = -1\)。
已知\(x^2 + 3x = 2\)，求代数式\(2x^2 + 6x - 5\)的值。
某长方形操场的长为\((2a + 10)\)米，宽为\((a - 3)\)米，当\(a = 20\)时，求操场的周长和面积。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2 代数式的值
第2章 整式及其加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或是某种算法.
2.会利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
3.在代数式求值过程中，感受函数的对应思想.
问题：某礼堂第1排有18个座位，往后每排比前一排多2个座位. 问：
(1)第 n 排有多少个座位？(用含 n的代数式表示)
(2)第10排、第15排、第23排分别有多少个座位？
(1)第 n 排有多少个座位？(用含n的代数式表示)
排数 1 2 3 4 … n
座位 …
18
20
22
18+2(n-1)
24
18+2×2
18+2×3
先考察特例：计算第2排、第3排、第4排的座位数，从中发现规律，再求出第n排的座位数.
一般地，第n排是第1排的后(n-1)排，它的座位数应比第1排多2(n-1)，即为18+2(n-1).
第2排比第1排多2个座位，它的座位数应为18+2=20；
第3排比第2排多2个座位，它的座位数应为20+2=22；
当n=10时，18+2(n-1)=18+2×9=36；
(2)第10排、第15排、第23排各有多少个座位？
当n=15时，18+2(n-1)=18+2×14=46；
当n=23时，18+2(n-1)=18+2×22=62.
因此，第10排、第15排、第23排分别有36个、46个、62个座位.
由一般到特殊，即将n的特定值代入得到的代数式，计算出特定各排的座位数.
我们看到，当n取不同数值时，代数式18+2(n-1)的计算结果不同.
以上结果可以说：
当n=10时，代数式18+2(n-1)的值是36；
当n=15时，代数式18+2(n-1)的值是46；等等.
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值.
探索新知
代数式的值是由其所含的字母的取值所确定的，并随字母取值的变化而变化，字母取不同的值时，代数式的值可能不同，也可能相同.
归纳小结：
注意：代数式里的字母可以取各种不同的数值，但所取的数值必须使代数式和它表示的实际数量有意义.如 中的v不能取0.
当a=2，b=-1，c=-3时，求下列各代数式的值:
（1）b2-4ac；
（2）(a+b+c)2.
解（1）当a=2，b=-1，c=-3时，
b2-4ac
=(-1)2-4×2×(-3)
=1+24
=25.
（2）当a=2，b=-1，c=-3时，
(a+b+c)2
=(2-1-3)2
=(-2)2
=4.
例1
求代数式的值的注意事项：
1.代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号.
2.如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号.
3.由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当……时”写出来.
4.求代数式的值，对于两个或多个字母一定要“对号入座”.
某地积极响应党中央号召，大力推进美丽中国建
设工程，去年的投资为a亿元，今年的投资比去年增长了10%. 如果明年的投资还能按这个速度增长，请你预测一下，该地明年的投资将达到多少亿元 如果去年的投资为2亿元，那么预计明年的投资是多少亿元
例2
解 由题意可得，今年的投资为 a·(1+10%)亿元，于是明年的投资将达到
a·(1+10%)·(1+10%)
=1.21a(亿元).
如果去年的投资为2亿元，即a=2，那么当a=2时，
1.21a=1.21×2=2.42(亿元).
答：该地明年的投资将达到1.21a亿元. 如果去年的投资为 2亿元，那么预计明年的投资是2.42亿元.
补充例题
1.已知 ，求代数式 的值.
解：因为
，而
所以x+1=0，y- =0，所以x=-1，y=
当 x=-1，y= 时
2.已知2x+3y-2的值为-7，求代数式4x+6y+1的值.
解：因为2x+3y-2=-7，所以2x+3y=-5
所以4x+6y+1=2(2x+3y)+1=2×(-5)+1=-10+1=-9
本题运用了整体思想，给出一个含字母的代数式的值，当单个字母的值不能或不用求出时，一般把已知条件作为一个整体，把代数式变形，使之成为可整体代入的形式，再整体代入求解.
补充例题
1.填表：
随堂练习
4
-4
1
3
4
4
2
9
4
8
16
【选自教材P91 练习 第1题】
2.根据下列各组x、y的值，分别求出代数式x2+2xy+y2与x2-2xy +y2的值：
(1) x=2，y=3；
(2) x=-2，y=-4.
解：(1)当x=2，y=3时， x2+2xy+y2=22+2×2×3+32=4+12+9=25，
(2)当x=-2，y=-4时， x2+2xy+y2=(-2)2+2×(-2)×(-4)+(-4)2=36，
x2-2xy+y2=22-2×2×3+32=4-12+9=1.
x2-2xy+y2=(-2)2-2×(-2)×(-4)+(-4)2=4.
【选自教材P92 练习 第2题】
3.已知梯形的上底 a=2cm，下底 b=4cm，高 h=3cm，利用梯形面积公式求这个梯形的面积.
解：梯形的面积公式为 .
当a=2 cm，b=4 cm，h=3 cm时，
a=2cm
b=4cm
h=3cm
(cm2).
【选自教材P92 练习 第2题】
有趣的“3x+1问题”
知识点1 代数式的值
1.当时，代数式 的值是( )
B
A. B. C.2 D.4
返回
2.当，时，代数式 的值是( )
D
A. B. C.3 D.5
返回
3.［2025衡阳期末］已知式子，则式子 的值是
( )
A
A.10 B. C.6 D.
返回
4.（8分）当， 时，求下列代数式的值.
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
知识点2 求代数式的值的应用
5.［教材P练习T变式］若,分别表示梯形的上底和下底， 表示梯
形的高，则梯形的面积_ _____，当，,时， ____.
15
返回
6. ［2025成都月考］声音在干燥空气中传播的速度随
着温度的变化而变化，当温度为 时，声音的传播速度大约是
，则当温度为时，声音的传播速度为_____ .
349
返回
7.根据下列运算程序，若输入
，则输出的结果 为( )
C
A. B.11 C.21 D.24
返回
8.［2025南阳期末］已知，则 的值是____.
14
返回
求代数式的值的一般步骤：
1.代入：用指定字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数都不能改变.
2.计算：按照代数式指明的运算，根据有理数的运算法则进行计算.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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