资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.3.3 升幂排列和降幂排列
副标题：掌握多项式的有序排列方法
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解多项式升幂排列和降幂排列的概念，明确排列的依据。（基础）
能根据指定字母，将多项式按升幂或降幂的顺序进行排列。（重点）
体会多项式有序排列的意义，培养规范表达的数学素养。（难点）
通过实例练习，熟练掌握多项式排列的方法，避免常见错误。
幻灯片 3：情境引入
回顾旧知：我们已经学习了多项式的项、次数等概念，例如多项式\(3x^2 + 5x - 2x^3 + 1\)，它的项是\(3x^2\)、\(5x\)、\(-2x^3\)、\(1\)，次数是\(3\)。观察这个多项式的各项，它们的排列顺序有什么特点？
问题提出：这个多项式的各项是随意排列的，不便于观察次数和结构。如果按照一定的顺序重新排列，会不会更清晰？例如，按照某一字母的指数从大到小或从小到大排列。
引入概念：为了使多项式的结构更清晰，便于研究和计算，我们可以对多项式进行有序排列，这就是今天要学习的升幂排列和降幂排列。
幻灯片 4：知识点 1：降幂排列
定义：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
关键词解析：
按某一个字母：排列的依据是指定字母的指数，不同字母的排列结果可能不同。
指数从大到小：最高次项排在最前面，接着是次高次项，依次排列到最低次项。
实例说明：
多项式\(3x^2 + 5x - 2x^3 + 1\)按字母\(x\)降幂排列：
先确定各项中\(x\)的指数：\(-2x^3\)中\(x\)的指数是\(3\)，\(3x^2\)中\(x\)的指数是\(2\)，\(5x\)中\(x\)的指数是\(1\)，\(1\)中\(x\)的指数是\(0\)。
按指数从大到小排列：\(-2x^3 + 3x^2 + 5x + 1\)。
多项式\(a^3b - 3a^2b^2 + 2ab^3 - b^4\)按字母\(a\)降幂排列：
各项中\(a\)的指数：\(a^3b\)（\(3\)）、\(-3a^2b^2\)（\(2\)）、\(2ab^3\)（\(1\)）、\(-b^4\)（\(0\)）。
排列结果：\(a^3b - 3a^2b^2 + 2ab^3 - b^4\)（已符合降幂排列）。
幻灯片 5：知识点 2：升幂排列
定义：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
关键词解析：
按某一个字母：同样以指定字母的指数为依据，与降幂排列的区别在于顺序相反。
指数从小到大：最低次项（或常数项）排在最前面，接着是次低次项，依次排列到最高次项。
实例说明：
多项式\(3x^2 + 5x - 2x^3 + 1\)按字母\(x\)升幂排列：
各项中\(x\)的指数：\(1\)（\(0\)）、\(5x\)（\(1\)）、\(3x^2\)（\(2\)）、\(-2x^3\)（\(3\)）。
排列结果：\(1 + 5x + 3x^2 - 2x^3\)。
多项式\(a^3b - 3a^2b^2 + 2ab^3 - b^4\)按字母\(b\)升幂排列：
各项中\(b\)的指数：\(a^3b\)（\(1\)）、\(-3a^2b^2\)（\(2\)）、\(2ab^3\)（\(3\)）、\(-b^4\)（\(4\)）。
排列结果：\(a^3b - 3a^2b^2 + 2ab^3 - b^4\)（已符合升幂排列）。
幻灯片 6：多项式排列的注意事项
注意事项 1：排列时，各项的符号要一起移动，不能遗漏或改变符号。
例如：将\(5x - 3x^2 + 2\)按\(x\)降幂排列，错误写成\(-3x^2 + 5x + 2\)（正确），若写成\(3x^2 + 5x + 2\)则改变了项的符号。
注意事项 2：常数项的指数视为\(0\)，在升幂排列中排在最前面，在降幂排列中排在最后面。
例如：多项式\(2x^3 - 1 + 5x^2\)按\(x\)升幂排列为\(-1 + 5x^2 + 2x^3\)（常数项\(-1\)排在最前）。
注意事项 3：当指定字母的指数相同时，各项的顺序可以交换（通常按原顺序或字母顺序排列）。
例如：多项式\(x^2y + xy^2 - 3x^2y\)按\(x\)降幂排列，合并同类项后为\(-2x^2y + xy^2\)，两项\(x\)的指数都是\(2\)和\(1\)，顺序固定。
注意事项 4：明确排列的字母，同一多项式按不同字母排列结果不同。
例如：多项式\(x^2 - y^2 + 2xy\)按\(x\)降幂排列为\(x^2 + 2xy - y^2\)；按\(y\)降幂排列为\(-y^2 + 2xy + x^2\)。
幻灯片 7：例题解析
例题 1：把多项式\(3x^2y - 4xy^2 + x^3 - 5y^3\)分别按\(x\)的降幂排列和按\(y\)的升幂排列。
解答：
按\(x\)的降幂排列：
各项中\(x\)的指数：\(x^3\)（\(3\)）、\(3x^2y\)（\(2\)）、\(-4xy^2\)（\(1\)）、\(-5y^3\)（\(0\)）。
排列结果：\(x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 5y^3\)。
按\(y\)的升幂排列：
各项中\(y\)的指数：\(x^3\)（\(0\)）、\(3x^2y\)（\(1\)）、\(-4xy^2\)（\(2\)）、\(-5y^3\)（\(3\)）。
排列结果：\(x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 5y^3\)（与按\(x\)降幂排列结果相同，属巧合）。
例题 2：把多项式\(-2 + 4x^3y - x^2y^2 + 5xy^3\)按\(y\)的降幂排列，并指出排列后的最高次项和常数项。
解答：
各项中\(y\)的指数：\(5xy^3\)（\(3\)）、\(-x^2y^2\)（\(2\)）、\(4x^3y\)（\(1\)）、\(-2\)（\(0\)）。
按\(y\)降幂排列：\(5xy^3 - x^2y^2 + 4x^3y - 2\)。
最高次项是\(5xy^3\)和\(-x^2y^2\)（次数都是\(4\)）；常数项是\(-2\)。
幻灯片 8：易错点分析
错误 1：排列时遗漏或改变项的符号。
例如：将多项式\(3x - x^2 + 2\)按\(x\)降幂排列，错误写成\(-x^2 + 3x + 2\)（正确），若写成\(x^2 + 3x + 2\)则符号错误，或写成\(-x^2 + 3x 2\)遗漏 “\(+\)” 号。
错误 2：混淆升幂和降幂的顺序，将指数从小到大排错为从大到小。
例如：将多项式\(x^3 - 2x + x^2\)按\(x\)升幂排列，错误写成\(x^3 + x^2 - 2x\)（这是降幂排列），正确应为\(-2x + x^2 + x^3\)。
错误 3：未明确排列的字母，导致排列依据错误。
例如：将多项式\(a^2b + ab^2\)按\(a\)升幂排列，错误按\(b\)升幂排列为\(a^2b + ab^2\)（\(b\)的指数\(1\)到\(2\)），正确按\(a\)升幂排列应为\(ab^2 + a^2b\)（\(a\)的指数\(1\)到\(2\)）。
错误 4：忽略常数项的指数为\(0\)，在升幂排列中未将其放在最前面。
例如：将多项式\(5x^2 + 3 - 2x\)按\(x\)升幂排列，错误写成\(-2x + 5x^2 + 3\)，正确应为\(3 - 2x + 5x^2\)（常数项\(3\)的指数为\(0\)，应排在最前）。
错误 5：对指数相同的项随意改变顺序时出错。
例如：多项式\(2x^2y + 3xy^2 - x^2y\)合并后为\(x^2y + 3xy^2\)，按\(x\)降幂排列正确，但若错误写成\(3xy^2 + x^2y\)则改变了按\(x\)降幂的顺序（\(x\)的指数\(2\)应在\(1\)前面）。
幻灯片 9：课堂练习
把多项式\(4x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)按\(x\)的降幂排列和升幂排列。
答案：降幂排列：\(4x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)（已符合）；升幂排列：\(-1 + 5x - 2x^2 + 4x^3\)。
把多项式\(3a^2b - ab^2 + a^3 - 5b^3\)按\(a\)的升幂排列。
解答：各项中\(a\)的指数：\(-5b^3\)（\(0\)）、\(-ab^2\)（\(1\)）、\(3a^2b\)（\(2\)）、\(a^3\)（\(3\)）；排列结果：\(-5b^3 - ab^2 + 3a^2b + a^3\)。
把多项式\(-x^2y + xy^2 - y^3 + x^3\)按\(y\)的降幂排列，并指出最高次项。
解答：各项中\(y\)的指数：\(-y^3\)（\(3\)）、\(xy^2\)（\(2\)）、\(-x^2y\)（\(1\)）、\(x^3\)（\(0\)）；排列结果：\(-y^3 + xy^2 - x^2y + x^3\)；最高次项是\(-y^3\)和\(xy^2\)（次数都是\(3\)）。
幻灯片 10：拓展应用
情境问题：已知多项式\(ax^3 + bx^2 + cx + d\)按\(x\)的降幂排列后为\(5x^3 - 3x^2 + 2x - 1\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的值。
解答：对比可得\(a = 5\)，\(b = -3\)，\(c = 2\)，\(d = -1\)。
情境问题：将多项式\(2x^2 - 3xy + y^2\)分别按\(x\)的降幂排列和按\(y\)的降幂排列，观察排列结果有何不同。
解答：按\(x\)降幂排列：\(2x^2 - 3xy + y^2\)；按\(y\)降幂排列：\(y^2 - 3xy + 2x^2\)；排列顺序因字母不同而相反。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识点：
降幂排列：按某字母指数从大到小排列，最高次项在前。
升幂排列：按某字母指数从小到大排列，常数项（指数\(0\)）在前。
注意事项：移动项时带符号，明确排列字母，常数项指数为\(0\)。
意义：使多项式结构清晰，便于观察次数、合并同类项和计算。
学习方法：排列前先确定各项中指定字母的指数，按顺序列表标注；移动项时用箭头辅助标记，确保符号正确；通过对比不同字母的排列结果，加深对排列依据的理解。
幻灯片 12：课后作业
教材第 [对应页码] 页练习第 1、2 题。
把多项式\(5 - 3x^2 + 2x^3 - x\)按\(x\)的降幂排列为________，按\(x\)的升幂排列为________。
把多项式\(a^2b - 3ab^2 + b^3 - 2a^3\)按\(a\)的降幂排列为________，按\(b\)的升幂排列为________。
若多项式\(x^3 + (m - 1)x^2 + 2x - 1\)按\(x\)的降幂排列后，二次项的系数为\(-2\)，求\(m\)的值。
自己写一个含有两个字母的四次四项式，分别按其中一个字母升幂排列和按另一个字母降幂排列。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.3.升幂排列和降幂排列
第2章 整式及其加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解并能描述什么是升幂排列和降幂排列.
2.能够将一个多项式按某一字母升幂或降幂排列.
复习导入
什么是单项式？
由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式.
什么是多项式？
几个单项式的和叫做多项式.
例：单项式a2b2c的系数是_____，次数是_____.
多项式3x3y-5y2z+x2-y-1的四次项系数是_____，三次项系数是_____，常数项是_____ ，它是____________.
1
5
3
-5
-1
四次五项式
思考：多项式x2+x+l的项分别是__________.
x2、x、1
问题1：运用加法交换律，将多项式x2+x+1中各项的位置任意交换，可以得到哪些不同的排列方式？
x2+x+1
x2+1+x
x+x2+1
x+1+x2
1+x2+x
1+x+x2
问题2：众多的排列方式中，你认为哪几种比较整齐？
x2+x+1
1+x+x2
这两种排列方式有什么特点？
按字母x的指数从大到小的顺序排列的.
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列．
按字母x的指数从小到大的顺序排列的.
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列．
例4
把多项式 按r的升幂排列.
解：按r的升幂排列为：
按r的降幂排列应该怎样排呢？
按r的降幂排列为：
1
0
3
2
注意：
1.找准字母，分清是“升”还是“降”；
2.在字母上标记好指数；
3.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动；
4.常数项一般是最先或最后排.
例5
把多项式 重新排列：
a3+b2-3a2b-3ab3
（1）按a的升幂排列；
（2）按a的降幂排列.
解 （1）按a的升幂排列为：
3
0
2
1
b2-3ab3-3a2b+a3
（2）按a的降幂排列为：
a3-3a2b-3ab3+b2
试试看，你能将这个多项式按b的升幂（或降幂）排列吗
例5
把多项式 重新排列：
（1）按b的升幂排列；
（2）按b的降幂排列.
a3+b2-3a2b-3ab3
0
2
1
3
解 （1）按b的升幂排列为：
a3-3a2b+b2-3ab3
-3ab3+b2-3a2b+a3
（2）按b的降幂排列为：
注意：含有两个或两个以上字母的多项式，通常按其中某一个字母的升幂或降幂排列.
补充例题
把多项式 重新排列：
3mn2-2m2n3+5-8m3n
（1）按m的降幂排列；
（2）按n的升幂排列.
-8m3n-2m2n3+3mn2+5
5-8m3n+3mn2-2m2n3
反过来应该怎样排呢？
补充例题
把多项式 重新排列：
3mn2-2m2n3+5-8m3n
（1）按m的升幂排列；
（2）按n的降幂排列.
-2m2n3+3mn2-8m3n+5
5+3mn2-2m2n3-8m3n
随堂练习
1.把多项式 重新排列：
（1）按x的升幂排列；
（2）按x的降幂排列.
2
3
1
4
0
【选自教材P100 练习 第1题】
2.把多项式 重新排列：
x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3
（1）按x的降幂排列；
（2）按x的升幂排列.
x4+3x3y-5x2y3-2xy2-y4
4
0
3
1
2
-y4-2xy2-5x2y3+3x3y+x4
按y的升幂和降幂排列应该怎样排呢？
【选自教材P100 练习 第2题】
2.把多项式 重新排列：
（3）按y的降幂排列；
（4）按y的升幂排列.
x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3
0
4
1
2
3
x4+3x3y-2xy2-5x2y3-y4
-y4-5x2y3-2xy2+3x3y+x4
3.已知多项式-2+xm-1y+x2-nx2y3是关于x、y的四次三项式.
（1）求m和n的值；
（2）把这个多项式按x的升幂排列.
（2）根据（1）得该多项式为-2+x3y+x2，把这个多项式按x的升幂排列为-2+x2+x3y.
解：（1）由多项式-2+xm-1y+x2-nx2y3是关于x、y的四次三项式，得n=0，m-1+1=4，所以m=4，n=0.
知识点1 升幂排列
1.［教材习题变式］把多项式按 的升幂排列，下列
结果正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.将多项式按字母 的升幂排列为___________
______________.
返回
3.（4分）把多项式按 的升幂排列，并求出当
， 时的值.
解：把多项式按的升幂排列为 .当
， 时，
.
返回
知识点2 降幂排列
4.［教材P练习T变式］将多项式按字母 的降幂排
列正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5.把多项式按字母 的降幂排列，排在第三项
的是________.
返回
6.把多项式 重新排列.
（1）按 的降幂排列为__________________________；
（2）按 的降幂排列为________________________.
返回
7.（8分）已知多项式 .
（1）按 的降幂排列为______________________；
（2）当， 时，求该多项式的值.
解：当，时， .
返回
8.多项式 是按( )
A
A.的升幂排列的 B. 的降幂排列的
C.的升幂排列的 D. 的降幂排列的
返回
9.［2025许昌期中］将多项式 按某一个字母的
升幂排列，正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
课堂小结
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列．
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列．
注意：
1.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动.
2.含有两个或两个以上字母的单项式，常常按照其中某一字母的指数进行升幂或降幂排列.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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