资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.4.2 合并同类项
副标题：掌握合并法则，简化多项式运算
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解合并同类项的概念，明确合并同类项的依据。（基础）
掌握合并同类项的法则，能准确合并多项式中的同类项。（重点）
能运用合并同类项化简多项式，解决简单的实际问题。（重点）
通过练习提高合并同类项的熟练度，避免符号和计算错误。（难点）
幻灯片 3：情境引入
回顾旧知：上节课我们学习了同类项的概念，例如多项式\(3x^2 + 5x + 2x^2 - 3x + 1\)中，\(3x^2\)与\(2x^2\)是同类项，\(5x\)与\(-3x\)是同类项。这些同类项能否进行 “合并”，使多项式更简洁？
生活类比：就像生活中 “3 个苹果加 2 个苹果等于 5 个苹果”“5 支铅笔减 3 支铅笔等于 2 支铅笔” 一样，同类项也可以像 “相同类型的量” 一样进行合并。例如\(3x^2 + 2x^2\)可以合并为\(5x^2\)，\(5x - 3x\)可以合并为\(2x\)。
引入概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。那么，合并同类项有什么具体的法则和步骤呢？
幻灯片 4：知识点 1：合并同类项的定义和依据
定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
依据：合并同类项的依据是乘法分配律的逆运用。例如：
\(3x^2 + 2x^2 = (3 + 2)x^2 = 5x^2\)（逆用乘法分配律\(ac + bc = (a + b)c\)）。
\(5x - 3x = (5 - 3)x = 2x\)。
本质分析：合并同类项只是系数之间的运算，字母和字母的指数保持不变，因为同类项的字母和指数相同，合并后仍表示 “相同类型的量”。
幻灯片 5：知识点 2：合并同类项的法则
法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
关键词解析：
系数相加：同类项的系数进行加减运算，注意系数的符号。例如\(-4xy + 2xy = (-4 + 2)xy = -2xy\)。
字母和指数不变：合并后字母的种类和各字母的指数与原同类项保持一致，不能改变。例如\(3a^2b + 5a^2b = (3 + 5)a^2b = 8a^2b\)（字母\(a\)、\(b\)不变，指数\(2\)、\(1\)不变）。
常数项合并：常数项是特殊的同类项，合并时直接将常数相加。例如\(5 - 3 + 2 = (5 - 3 + 2) = 4\)。
幻灯片 6：知识点 3：合并同类项的步骤
步骤分解：
找：找出多项式中的所有同类项，并用不同的标记（如下划线、波浪线）标出。
移：利用加法交换律和结合律，将同类项移到一起（移动时要带着项的符号）。
合：按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变。
查：检查合并后的多项式是否还有同类项，确保没有遗漏或错误。
实例演示：合并多项式\(3x^2 + 5x + 2x^2 - 3x + 1\)。
步骤 1：找同类项，\(3x^2\)与\(2x^2\)是同类项，\(5x\)与\(-3x\)是同类项，常数项\(1\)无其他同类项。
步骤 2：移同类项，\(3x^2 + 2x^2 + 5x - 3x + 1\)。
步骤 3：合并同类项，\((3 + 2)x^2 + (5 - 3)x + 1 = 5x^2 + 2x + 1\)。
步骤 4：检查，合并后无同类项，结果正确。
幻灯片 7：例题解析
例题 1：合并下列多项式中的同类项：
（1）\(4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 3b^2\)
（2）\(-x^2y + 3xy^2 - 2x^2y + xy^2\)
解答：
（1）找同类项：\(4a^2\)与\(-4a^2\)，\(3b^2\)与\(-3b^2\)，\(2ab\)无同类项。
移项：\(4a^2 - 4a^2 + 3b^2 - 3b^2 + 2ab\)。
合并：\((4 - 4)a^2 + (3 - 3)b^2 + 2ab = 0 + 0 + 2ab = 2ab\)。
（2）找同类项：\(-x^2y\)与\(-2x^2y\)，\(3xy^2\)与\(xy^2\)。
移项：\(-x^2y - 2x^2y + 3xy^2 + xy^2\)。
合并：\((-1 - 2)x^2y + (3 + 1)xy^2 = -3x^2y + 4xy^2\)。
例题 2：合并多项式\(5x^3 - 7x^2 + 3x + 2x^2 + 8x - 5\)，并指出合并后的多项式是几次几项式。
解答：
找同类项：\(-7x^2\)与\(2x^2\)，\(3x\)与\(8x\)，\(5x^3\)和\(-5\)无其他同类项。
移项：\(5x^3 - 7x^2 + 2x^2 + 3x + 8x - 5\)。
合并：\(5x^3 + (-7 + 2)x^2 + (3 + 8)x - 5 = 5x^3 - 5x^2 + 11x - 5\)。
结果：合并后的多项式是三次四项式。
幻灯片 8：易错点分析
错误 1：合并同类项时改变字母或指数。
例如：合并\(3a^2 + 2a^2\)时，错误写成\(5a^4\)，正确应为\(5a^2\)（指数不变）。
错误 2：漏项或移项时忘记带符号。
例如：合并\(2x - 3y + 5x\)时，错误移项为\(2x + 5x - 3y\)（正确），但若写成\(2x + 5x + 3y\)则符号错误；或漏写\(-3y\)，结果为\(7x\)。
错误 3：系数相加时出现计算错误，尤其是符号错误。
例如：合并\(-2x + 5x\)时，错误计算为\((-2 + 5)x = 3x\)（正确），但若合并\(-2x - 5x\)时错误写成\(3x\)，正确应为\(-7x\)。
错误 4：非同类项进行合并。
例如：试图合并\(2x + 3y\)，错误写成\(5xy\)，实际\(2x\)与\(3y\)不是同类项，不能合并。
错误 5：合并后未检查是否还有同类项。
例如：合并\(x^2 + 2x + x^2 - x\)时，错误得到\(2x^2 + 2x - x\)，未进一步合并\(2x - x\)，正确结果应为\(2x^2 + x\)。
幻灯片 9：课堂练习
合并下列多项式中的同类项：
（1）\(3x + 2x - 5x\) （2）\(a^2 + 2a^2 - 3a^2\) （3）\(4xy - 2xy + 5xy\)
答案：（1）\((3 + 2 - 5)x = 0\)；（2）\((1 + 2 - 3)a^2 = 0\)；（3）\((4 - 2 + 5)xy = 7xy\)。
合并多项式\(2a^2b - 3ab^2 + 5a^2b + ab^2 - 7ab\)。
解答：\(2a^2b + 5a^2b - 3ab^2 + ab^2 - 7ab = 7a^2b - 2ab^2 - 7ab\)。
合并多项式\(3x^3 - x^2 + 2x - x^3 + 5x^2 - 3\)，并求当\(x = -1\)时多项式的值。
解答：合并得\(2x^3 + 4x^2 + 2x - 3\)；当\(x = -1\)时，\(2×(-1)^3 + 4×(-1)^2 + 2×(-1) - 3 = -2 + 4 - 2 - 3 = -3\)。
幻灯片 10：拓展应用
情境问题：一个长方形的长为\((3x + 2)\)厘米，宽为\((x - 1)\)厘米，另一个正方形的边长为\((2x - 3)\)厘米，用含\(x\)的多项式表示这两个图形的面积之和，并合并同类项。
解答：
长方形面积 = \((3x + 2)(x - 1) = 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2\)（平方厘米）。
正方形面积 = \((2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\)（平方厘米）。
面积之和 = \(3x^2 - x - 2 + 4x^2 - 12x + 9 = 7x^2 - 13x + 7\)（平方厘米）。
情境问题：已知多项式\(ax^2 + 3x - 5\)与多项式\(2x^2 - bx + 1\)合并同类项后不含\(x^2\)项和\(x\)项，求\(a\)、\(b\)的值。
解答：
合并同类项：\((a + 2)x^2 + (3 - b)x - 4\)。
不含\(x^2\)项和\(x\)项，即系数为\(0\)：\(a + 2 = 0\)，\(3 - b = 0\)，解得\(a = -2\)，\(b = 3\)。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识点：
合并同类项的定义：把多项式中的同类项合并成一项。
法则：同类项的系数相加，字母和指数不变。
步骤：找同类项→移同类项→合并同类项→检查结果。
依据：乘法分配律的逆运用。
学习方法：合并前先标记同类项，避免遗漏；移项时用箭头标注，确保符号正确；系数相加时集中注意力，尤其是负数运算；合并后务必检查是否还有同类项，保证结果最简。
幻灯片 12：课后作业
教材第 [对应页码] 页练习第 1、2、4 题。
合并下列多项式中的同类项：
（1）\(5m^2 - 3m + 2m^2 + 6m - 1\) （2）\(-x^2y + 5xy^2 - 2x^2y - 3xy^2 + x^2y\)
合并多项式\(2(x^2 - 2y) - 3(x^2 - y) + x^2\)，并求当\(x = -1\)，\(y = 2\)时的值。
若多项式\(3x^2 + mx - 2y + 4\)与多项式\(x^2 - 3x + ny - 1\)合并后不含\(x\)项和\(y\)项，求\(m\)、\(n\)的值。
一个多项式与多项式\(2x^2 - 3x + 5\)的和是\(5x^2 - 2x + 3\)，求这个多项式（提示：用和减去已知多项式）。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4.2.合并同类项
第2章 整式及其加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握合并同类项的法则，并能准确合并同类项.
2.能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算.
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项.
判断同类项的关键是“一相同”“一相等”“两无关”：
①“一相同”：所含字母完全相同；
②“一相等”：相同字母的指数都相等；
③“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关.
注意：所有的常数项都是同类项.
妈妈：2个包子和1根油条.
爸爸：3个包子和2根油条.
小明：1个包子和2根油条.
6个包子
5根油条
生活中我们经常会根据实际的需要把同类事物合并起来。
如果你是小明，你会怎么买？
情景导入
探索新知
1.运用运算律计算：8×2+5×2
=(8+5)×2=26.
2.类比数的运算，计算：3x2y+5x2y.
3x2y+5x2y
=(3+5)x2y
=8x2y
如果一个多项式中含有同类项，那么我们可以把同类项合并起来，使结果得以简化.
对多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5进行合并：
3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
=3x2y+5x2y-4xy2+2xy2-3+5
加法的交换律
=(3x2y+5x2y)+(-4xy2+2xy2)+(-3+5)
加法的结合律
=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)
乘法的分配律
=8x2y-2xy2+2
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y
相加
不变
合并同类项
系数相加
字母及其指数不变
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变.
简记为：一相加，两不变
例3
合并下列多项式中的同类项：
（1）2a2b-3a2b+
解：2a2b-3a2b+
三项都是同类项
（2）a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
解：a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3 +(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)+ b3
=a3+b3
=a3 +(-1+1)a2b +(1-1)ab2 + b3
合并同类项的步骤：
1.找出同类项，当项数较多时，用记号标出各同类项，注意每一项的符号；
2.根据加法的交换律和结合律，将同类项集中在一起；
3.根据合并同类项的法则合并同类项；
4.写出合并后的结果.
一找
二移
三合
四写
解：3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1
例4
求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值，其中x=-3.
先合并同类项
=(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1
=2x2-1
当x=-3时，原式=2×(-3)2-1=17.
试一试，把x=-3直接代入多项式求值. 比较一下，哪个解法更简便？
先合并同类项，将多项式化简，再求值，比较简便.
例5
如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与的比为3∶2. 如果长方形的长分别为0.4m、0.5m、0.6m等，那么窗框所需材料的长度分别是多少 如果长方形的长为 a m呢
a
a
a
a
解：我们不妨先解答最后一问，即：如果长方形的长为 a m，求窗框所需材料的长度.
如果长方形的长为a m，那么它的宽为 a m.由图不难知道，窗框所需材料的长度为
=(9+6+π)a
=(15+π)a（m）.
a
a
要解答第一问，只需分别将a=0.4、0.5、0.6等代入上式求值即可.
例如当长方形的长为0.4m时，求窗框所需材料的长度（要求精确到0.1m，π取3.14），有
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.4
=18.14×0.4
=7.256
≈7.3(m).
所以，当长方形的长为 0.4m时，窗框所需材料的长度约为7.3m.
a
a
当a=0.5时，
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.5
=18.14×0.5
=9.07
≈9.1(m).
当a=0.6时，
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.6
=18.14×0.6
=10.884
≈10.9(m).
所以，当长方形的长为 0.5m时，窗框所需材料的长度约为9.1m；当长方形的长为 0.6m时，窗框所需材料的长度约为10.9m.
随堂练习
1.如果两个同类项的系数互为相反数，那么合并同类项后，结果是______.
0
2.下列等式成立的是（ ）
A.3a+2b=5ab B.a2+2a2=3a4
C.5y3-3y3=2y3 D.3x3-x2=2x
C
【选自教材P105 练习 第1题】
3.先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项：
（1）3x-2x2+5+3x2-2x-5
解：3x-2x2+5+3x2-2x-5
=3x-2x-2x2+3x2+5-5
=(3-2)x+(-2+3)x2+(5-5)
=x+x2
【选自教材P105 练习 第2题】
（2）a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
（3） 6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
解：a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3+a2b-a2b+ab2-ab2-b3
=a3+(a2b-a2b)+(ab2-ab2)-b3
=a3-b3
解：6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
=6a2-6a2-5b2+5b2+2ab
=(6-6)a2+(-5+5)b2+2ab
=2ab
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
（1）解： 7x2-3x2-2x-2x2+5+6x
=7x2-3x2-2x2-2x+6x+5
=(7-3-2)x2+(-2+6)x+5
=2x2+4x+5
当x=-2时，原式=2×(-2)2+4×(-2)+5=5.
【选自教材P105 练习 第3题】
（2）解：5a-2b+3b-4a-1
=5a-4a-2b+3b-1
=(5-4)a+(-2+3)b-1
=a+b-1
当a=-1， b=2时，原式=(-1)+2-1=0.
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
【选自教材P105 练习 第3题】
（3）解：2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1
=2x2-2x2-3xy-2xy+5xy+y2-2y+1
=(2-2)x2+(-3-2+5)xy+y2-2y+1
=y2-2y+1
当x = ，y =-1时，原式=(-1)2-2×(-1)+1=4.
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
【选自教材P105 练习 第3题】
5.某环保组织有三个工作组，这三个组参加了植树造林活动，其中甲组植树x棵，乙组的植树棵数比甲组的2倍少5，丙组的植树棵数比甲组的一半多10.
（1）这三个组一共植树多少棵
（2）当甲组植树40棵时，这三个组一共植树多少棵
解：（1）根据题意，得乙组植树(2x-5)棵，丙组植树 ( x+10)棵，
所以这三个组一共植树x+2x-5+ x+10=(1+2+ )x+(-5+10)= x+5（棵）.
（2）当x=40时， x+5= ×40+5=145（棵），所以这三个组一共植树145棵.
知识点 合并同类项及其应用
1.合并同类项 时，依据的运算律
是( )
C
A.乘法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.乘法结合律
返回
2.［2024常州中考］计算 的结果是( )
B
A.2 B. C. D.
返回
3.下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.在,,, 中，有两个是同类项,它们的和是______.
返回
5.某场电影成人票25元/张，学生票15元/张，均卖出 张，共得票款
______元.
返回
课堂小结
同类项
①“一相同”：所含字母完全相同；
②“一相等”：相同字母的指数都相等；
③“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关.
合并同类项
①系数相加
②字母及其指数不变
一找
二移
三合
四写
步骤
法则
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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