资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：3.6.3 余角和补角
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：包含直角和平角相关的场景图（如墙角的直角、平角的展开图等）
幻灯片 2：目录
情境引入：特殊角的关系
余角的概念与性质
补角的概念与性质
余角和补角的区别与联系
典型例题讲解
课堂互动：辨析与计算
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：特殊角的关系
生活中的实例：
三角尺上的两个锐角（30° 和 60°）拼在一起正好是一个直角（90°）。
一个直角三角形的两个锐角相加等于 90°。
平角（180°）可以由一个锐角和一个钝角相加组成，如 60° 和 120°。
引入意义：在角的运算中，有些角之间存在特殊的数量关系，掌握这些关系能帮助我们更便捷地解决角的计算问题。
思考问题：两个角的和为 90° 或 180° 时，它们之间存在怎样的特殊关系呢？
配图：三角尺拼合直角、平角组成的示意图
幻灯片 4：余角的概念与性质
概念定义：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。
数学表达：若∠1 + ∠2 = 90°，则∠1 与∠2 互为余角，即∠1 是∠2 的余角，∠2 是∠1 的余角。
性质：同角（或等角）的余角相等。
同角的余角相等：若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3。
等角的余角相等：若∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4。
实例说明：∠A = 35°，则∠A 的余角为 90° - 35° = 55°；若∠B 与∠A 互余，则∠B = 55°。
配图：两个角拼成直角的示意图，标注∠1 + ∠2 = 90°
幻灯片 5：补角的概念与性质
概念定义：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。
数学表达：若∠3 + ∠4 = 180°，则∠3 与∠4 互为补角，即∠3 是∠4 的补角，∠4 是∠3 的补角。
性质：同角（或等角）的补角相等。
同角的补角相等：若∠3 + ∠4 = 180°，∠3 + ∠5 = 180°，则∠4 = ∠5。
等角的补角相等：若∠3 + ∠4 = 180°，∠6 + ∠7 = 180°，且∠3 = ∠6，则∠4 = ∠7。
实例说明：∠C = 120°，则∠C 的补角为 180° - 120° = 60°；若∠D 与∠C 互补，则∠D = 60°。
配图：两个角拼成平角的示意图，标注∠3 + ∠4 = 180°
幻灯片 6：余角和补角的区别与联系
区别：
类型
数量关系
角度范围（通常）
对应特殊角
余角
和为 90°
两个角都是锐角
直角
补角
和为 180°
可以是一个锐角和一个钝角，或两个直角
平角
联系：
都反映了两个角之间的数量关系，与角的位置无关。
都具有 “同角（或等角）的... 角相等” 的性质。
若一个角有补角和余角，则它的补角比余角大 90°（因为补角 = 180° - ∠α，余角 = 90° - ∠α，补角 - 余角 = 90°）。
幻灯片 7：典型例题讲解（一）
例题 1：已知∠α = 38°，求∠α 的余角和补角的度数。
解题步骤：
余角的度数 = 90° - ∠α = 90° - 38° = 52°。
补角的度数 = 180° - ∠α = 180° - 38° = 142°。
例题 2：若∠1 与∠2 互余，∠1 = 25°，则∠2 的度数是多少？若∠3 与∠2 互补，则∠3 的度数是多少？
解题步骤：
因为∠1 与∠2 互余，所以∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 25° = 65°。
因为∠3 与∠2 互补，所以∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 65° = 115°。
配图：例题 2 的角关系示意图
幻灯片 8：典型例题讲解（二）
例题 3：已知∠A 与∠B 互为余角，∠A 与∠C 互为余角，求证：∠B = ∠C。
解题步骤：
由题意可知：∠A + ∠B = 90°，∠A + ∠C = 90°。
所以∠A + ∠B = ∠A + ∠C（同角的余角相等）。
两边同时减去∠A，可得∠B = ∠C。
例题 4：一个角的补角是它的 3 倍，求这个角的度数。
解题步骤：
设这个角的度数为 x°，则它的补角为 (180 - x)°。
根据题意列方程：180 - x = 3x。
解方程：180 = 4x，x = 45。
因此这个角的度数是 45°。
配图：例题 4 的方程等量关系示意图
幻灯片 9：课堂互动：辨析与计算
活动一：辨析对错：
判断下列说法是否正确，并说明理由：
若两个角互补，则这两个角一定是一个锐角和一个钝角。（错误，两个直角也互补）
同角的补角相等。（正确）
若∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3 互为余角。（错误，余角是针对两个角而言）
活动二：计算练习：
练习 1：∠β 的余角是 50°，则∠β 的度数是多少？它的补角是多少？
练习 2：若∠A 的补角比它的余角大多少度？（提示：用含∠A 的式子表示后计算）
练习 3：一个角的余角等于它本身，求这个角的度数。
反馈方式：学生抢答或举手回答，教师及时点评。
幻灯片 10：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
余角：和为 90° 的两个角互为余角，性质是同角（或等角）的余角相等。
补角：和为 180° 的两个角互为补角，性质是同角（或等角）的补角相等。
余角和补角的区别在于和的度数不同（90° vs 180°），联系是都体现角的数量关系且有相似性质。
方法总结：求一个角的余角或补角用减法（90° 减这个角的度数为余角，180° 减这个角的度数为补角）；利用余角和补角的性质可进行角的等量代换和计算。
注意事项：余角和补角是针对两个角的关系，不能说三个或多个角互为余角或补角；互为余角或补角的两个角与位置无关，只与度数和有关。
幻灯片 11：课后作业布置
书面作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成余角和补角的概念辨析及计算题。
实践作业：观察生活中的角，找出 3 对互为余角或互补的角，记录下来并计算它们的度数。
拓展作业：已知∠A 与∠B 互补，∠A 比∠B 大 30°，求∠A 和∠B 的度数（用方程解决）。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.6.3 余角和补角
第3章 图形的初步认识
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
45°
45°
30°
60°
90°
90°
和都是90°
探索新知
1
2
α
β
用量角器量一量两组图中各角的大小，看看你发现了什么？
20°
70°
40°
50°
∠1＋∠2＝90°
∠α＋∠β＝90°
1
2
α
β
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.
简称互余.
1
2
α
β
如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.
1
2
反过来，如果两个角互余，
1
那么把这两个角像这样拼一起，就构成一个直角.
α
β
3
4
同样，如果两个角的和等于180°（平角），
就说这两个角互为补角，简称互补.
∠3＋∠4＝180°，所以∠3、∠4的互为补角.
1
2
3
4
想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么关系？相等角的补角又有什么关系？
∠1＝∠3
归纳总结
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.
例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和补角.
∠α的余角＝90°－50°17′＝39°43′
∠α的补角＝180°－50°17′＝129°43′
随堂练习
1. 说出图中互余和互补的角.
E
A
B
F
D
∠AED和∠DEB、
∠BEF和∠AEF
互补的角：
∠DEF和∠FEB
互余的角：
【教材P162 练习 第1题】
2．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？
延长AO，测量∠AOB的补角即可.
提示：也可延长BO.
【教材P162 练习 第2题】
3 如图，已知∠AOB，利用尺规作图作一个角等于该角
补角.
B
O
A
C
∠COB是∠AOB是的补角
【教材P162 练习 第3题】
知识点1 余角和补角的定义
1.若 ，则 的补角为( )
D
A. B. C. D.
返回
2.若，则 的余角为( )
A
A. B. C. D.
返回
3.［2025成都期末］若两个角互补，则( )
D
A.这两个角都是锐角
B.这两个角都是钝角
C.这两个角一定一个是锐角，一个是钝角
D.以上答案都不对
返回
4.［教材P162练习T1变式］如图，，， 三点在同一条直线上，
.
（1） 的余角是_______，补角是_______；
（2）若 ，则 ______.
返回
5.若一个角的余角的3倍比这个角的补角多 ，则这个角的度数为_____.
返回
6.（8分）［教材P162练习T3变式］如图， ， 平分
， .
（1）与互余吗？与 互补吗？试说明理由.
解：与互余.与 互补.理由如下:
因为 ，平分 ，
所以 .
又因为,所以 ，
所以 ,即与 互余.
因为 ，
所以与 互补.
互 余 互 补
数量 关系
对 应 图 形
性 质
∠1＋∠2＝90°
∠3＋∠4＝180°
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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