资源简介

(共39张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.1.2 垂线
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：包含垂直场景的图片（如墙角的垂线、十字路口的垂直道路、黑板的相邻边等）
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的垂直现象
垂线的概念与表示方法
垂线的性质
垂线的画法
典型例题讲解
课堂互动：操作与应用
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的垂直现象
生活中的垂直实例：
教室墙角的两条边（墙面与地面的交线互相垂直）。
十字路口的两条道路相交成直角。
黑板的相邻两边，课本的长和宽所在直线互相垂直。
旗杆与地面的位置关系，窗框相邻的两条边。
观察发现：这些相交的直线所成的角都是直角（90°），这种特殊的相交关系在生活中广泛存在。
引入意义：垂线是相交线的特殊情况，掌握垂线的知识对理解几何图形的位置关系和解决实际问题具有重要意义。
思考问题：什么是垂线？垂线有哪些特殊的性质呢？
配图：对应生活实例的图片，用红线标注出垂直的直线
幻灯片 4：垂线的概念与表示方法
概念定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号表示：
若直线 AB 与直线 CD 互相垂直，记作 “AB⊥CD”（或 “CD⊥AB”），读作 “AB 垂直于 CD”。
若用 l、m 表示两条直线，互相垂直可记作 “l⊥m”，读作 “l 垂直于 m”。
图形标注：在垂直的两条直线的交点处，通常标上直角符号 “⊥” 表示垂直。
注意事项：垂线是相互的，不能单独说某一条直线是垂线；垂直是相交的特殊情况，只有相交成直角时才叫垂直。
配图：两条直线 AB、CD 相交于点 O，标有直角符号，标注 AB⊥CD，垂足为 O
幻灯片 5：垂线的性质（一）
性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
“过一点” 解读：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外。
“有且只有” 含义：“有” 表示存在性，即能画出这样的直线；“只有” 表示唯一性，即只能画出一条这样的直线。
实例说明：
过直线 l 上一点 P，有且只有一条直线与 l 垂直。
过直线 l 外一点 Q，有且只有一条直线与 l 垂直。
几何意义：该性质体现了垂线的唯一性，是画垂线的重要依据。
配图：过直线上一点和直线外一点画垂线的示意图，标注 “有且只有一条”
幻灯片 6：垂线的性质（二）
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
相关概念：
垂线段：从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离。
实例说明：从教室门口到黑板边的所有路线中，垂直于黑板边的路线最短。
应用价值：在实际生活中，修路、架桥等常利用垂线段最短的性质选择最短路径。
配图：直线 l 外一点 P，连接 P 与直线 l 上各点 A、B、C（其中 PB 为垂线段），标注 PB 最短
幻灯片 7：垂线的画法
工具：直尺、三角尺。
过直线上一点画已知直线的垂线步骤：
把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合。
沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。
标注直角符号。
过直线外一点画已知直线的垂线步骤：
把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点。
沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。
标注直角符号和垂足。
注意事项：画垂线时，三角尺的直角边要与已知直线紧密重合，确保画出的角是直角。
配图：两种画法的步骤分解图，标注关键操作和直角符号
幻灯片 8：典型例题讲解（一）
例题 1：如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE⊥AB，∠COE = 35°，求∠AOD 的度数。
解题步骤：
因为 OE⊥AB，所以∠AOE = 90°（垂直的定义）。
又因为∠AOE = ∠AOC + ∠COE，所以∠AOC = ∠AOE - ∠COE = 90° - 35° = 55°。
因为∠AOC 与∠AOD 互为邻补角，所以∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 55° = 125°。
例题 2：判断下列说法是否正确：
（1）两条直线垂直，则它们相交所成的四个角都是直角。（正确）
（2）过一点可以画两条直线与已知直线垂直。（错误，依据性质 1，有且只有一条）
（3）点到直线的距离是指从这点到直线的垂线段。（错误，是垂线段的长度）
配图：例题 1 的图形示意图，标注已知角和垂直关系
幻灯片 9：典型例题讲解（二）
例题 3：如图，在同一平面内，点 P 是直线 l 外一点，PA⊥l，垂足为 A，PB、PC 是连接 P 与直线 l 上点 B、C 的线段，若 PA = 3cm，PB = 5cm，PC = 4cm，求点 P 到直线 l 的距离。
解题步骤：
根据点到直线的距离定义，点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长度。
因为 PA⊥l，所以 PA 是点 P 到直线 l 的垂线段。
已知 PA = 3cm，因此点 P 到直线 l 的距离是 3cm。
例题 4：过点 P 画直线 AB 的垂线，并量出点 P 到直线 AB 的距离（保留作图痕迹）。
解题步骤：
按照过直线外一点画垂线的方法，用三角尺画出过点 P 垂直于 AB 的直线，垂足为 O。
用刻度尺量出线段 PO 的长度，即为点 P 到直线 AB 的距离。
配图：例题 3 的图形标注和例题 4 的作图示意图
幻灯片 10：课堂互动：操作与应用
活动一：动手画图：
每人在练习本上画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，过点 A 画 l 的垂线。
在直线 l 外取一点 B，过点 B 画 l 的垂线，量出点 B 到直线 l 的距离。
活动二：问题讨论：
为什么建筑工人在砌墙时，常用铅垂线来检查墙是否竖直？（利用重力方向与水平面垂直的性质）
从直线外一点到这条直线的所有线段中，为什么垂线段最短？（结合生活实例说明，如最短路径问题）
活动三：计算练习：
练习 1：如图，直线 a⊥b，垂足为 O，∠1 = 40°，求∠2 的度数。
练习 2：点 P 到直线 l 的距离是 5cm，在直线 l 上有一点 Q，且 PQ = 7cm，求 PQ 与直线 l 所成角的度数范围。
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
垂线的概念：两条直线相交成直角时互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点为垂足。
表示方法：用 “⊥” 符号表示，如 AB⊥CD。
垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。
点到直线的距离：垂线段的长度。
垂线的画法：利用三角尺过点画已知直线的垂线。
方法总结：判断两条直线是否垂直看是否成直角；画垂线要规范使用工具；求点到直线的距离需先确定垂线段再测量长度。
注意事项：垂线是相互的；点到直线的距离是长度，不是线段；画垂线时要标注直角符号。
幻灯片 12：课后作业布置
书面作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成垂线的概念辨析、作图题和计算题。
实践作业：在家中寻找 3 个垂直的实例，用尺子检验是否成直角，并记录下来。
拓展作业：如图，在三角形 ABC 中，过点 A 画 BC 边的垂线，垂足为 D，量出 AD 的长度（点 A 到 BC 边的距离），并比较 AB、AC 与 AD 的长度大小，说明理由。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1.2 垂线
第4章 相交线和平行线
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
a
b
）
α
垂线的概念
问题：
（1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变
a与b所成的角也随之发生改变
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
问题：
（2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？
a
b
）
α
a与b垂直
定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直.
记作：AB⊥CD或m⊥l
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2）
垂直的定义及表示方法
A
B
C
D
O
（2）
B
C
D
O
（1）
A
l
m
两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
记作：AB⊥CD于点O
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
那么AB⊥CD.
因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义）
垂线的判定
符号语言：
若直线AB与CD垂直,垂足为O，
则∠AOD=90°
因为 AB⊥CD （已知） ,
所以 ∠AOD=90°（垂直的定义）
(或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
垂线的性质
如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______.
若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______.
如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______.
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
牛刀小试
4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？
经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？
垂线的画法及基本事实
试一试
P
B
A
(1)
(2)
P
A
B
B
问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？
O
如图，已知直线 AB,作AB的垂线.
无数条
1.落
2.靠
3.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线.
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线.
根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性.
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质
特殊的直线
如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB.
A
B
C
D
O
//
//
此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线）
垂直平分线又可称为中垂线
如图①所示，已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上．
（1）画直线 DE⊥OB;
（2）画直线 DF⊥OA，垂足为 F．
解： （1）如图②所示，直线DE为所求作的直线.
（2）如图②所示，直线DF为所求作的直线.
牛刀小试
探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
简述：垂线段最短.
线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
规定：
作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
垂线段
思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
牛刀小试
如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形．
做一做
1.如图，∠ABD = 90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字： 【教材P175 练习 第1题】
（1）点 B 在直线______________上，点 D 在直线______外；
（2）直线_____与直线_____相交于点 A，点 D 是直线_____与直线_____的交点，也是直线_____与直线______的交点，又是直线_____与直线_____的交点；
（3）直线_____垂直于直线______，垂足为点_____；
（4）过点 D 有且只有_____条直线与直线 AC 垂直.
AC (或BD)
AC
AD
AC
AD
BD
AD
CD
BD
CD
BD
AC
B
一
随堂练习
如图所示的各个三角形中，分别过点 C 画出直线 AB 的垂线，并量出三角形顶点 C 到直线 AB 的距离.（精确到 1mm） 【教材P176 练习 第2题】
14 mm
23 mm
17 mm
(D)
3.在如图所示的方格图中，按下述要求画图并回答问题【教材P176 练习 第3题】
（1）过点C画线段AB的垂线，垂足为点D；
（2）量出点C到线段AB所在直线的距离（精确到1mm）
（3）画出线段AB的垂直平分线
C
A
B
D
4.如图, AC⊥BC,∠C=90°线段AC、BC、CD中最短的是( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
知识点1 垂直的定义
1.如图所示，，且 ，则 的度数是( )
D
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2.如图，直线，相交于点，下列条件能说明 的是( )
B
（第2题）
； ；
； .
A.①② B.①③ C.②④ D.①③④
返回
3.［2025南阳期末］如图，，直线经过点.若 ，
则 _____.
（第3题）
返回
知识点2 垂线的画法
4.下列选项中，过点画的垂线 ，三角板放法正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.（8分）利用三角板和直尺作图.
（1）如图①，过点分别画 ，
的垂线；
解：如图①所示，直线，，， 即为所求.
（2）如图②，过点画 的垂线.
解：如图②所示，直线 即为所求.
返回
知识点3 垂线的基本事实及线段的垂直平分线
6.在平面内作已知直线的垂线，可作( )
D
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
返回
7.如图，若，，则与 ______，其理由是_______
_____________________________________________.
共线
同一
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（第7题）
返回
8.在如图所示的方格图中，线段 的垂直平分线是四条直线中的直线___.
（第8题）
返回
知识点4 垂线段
（第9题）
9.如图，在同一平面内有直线及直线外一点 ，作
，垂足为，则点到直线 的距离是( )
A
A.线段的长度 B.线段 的长度
C.线段的长度 D.线段 的长度
返回
10. 运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳
远成绩的方法如图所示，应选择其中的____（填序号）号线的长度作为
跳远成绩，这样测量的依据是____________.
③
垂线段最短
（第10题）
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑