资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.1.1 对顶角
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：包含相交直线形成对顶角的场景图（如剪刀交叉处的角、相交的铁轨模型等）
幻灯片 2：目录
情境引入：相交线中的角
对顶角的概念与特征
对顶角的性质及推理
典型例题讲解
课堂互动：辨析与计算
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：相交线中的角
生活中的相交线实例：
剪刀张开时，两片刀刃所在直线相交形成的角。
十字路口的两条道路相交形成的角。
直尺边缘相交处形成的角，三角尺两条边相交形成的角。
观察发现：两条直线相交时，会形成 4 个角，这些角之间存在特殊的位置关系和数量关系。
引入意义：研究相交线中角的关系，是学习几何图形位置关系的基础，对顶角就是其中重要的角的关系之一。
思考问题：两条直线相交形成的 4 个角中，哪些角之间存在特殊的位置关系呢？
配图：相交直线形成 4 个角的示意图，标注角的序号（∠1、∠2、∠3、∠4）
幻灯片 4：对顶角的概念与特征
概念定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角。
图形特征：
有公共顶点：两个角的顶点是同一点（两条直线的交点）。
没有公共边：两个角的边分别是两条直线的反向延长线。
成对出现：两条直线相交，会形成两组对顶角。
举例说明：如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与∠4 是对顶角。
注意事项：对顶角的定义强调 “无公共边” 和 “有公共顶点”，缺一不可；只有两条直线相交时才会产生对顶角。
配图：相交直线 AB、CD 交于点 O，标注∠1 与∠3、∠2 与∠4 为对顶角
幻灯片 5：对顶角的性质及推理
性质内容：对顶角相等。
推理过程：
已知：直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与∠4 是对顶角。
求证：∠1 = ∠3，∠2 = ∠4。
证明：因为直线 AB 与 CD 相交于点 O，所以∠1 + ∠2 = 180°（邻补角互补），∠3 + ∠2 = 180°（邻补角互补）。
因此∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2（同角的补角相等），两边同时减去∠2，可得∠1 = ∠3。
同理可证∠2 = ∠4。
几何意义：对顶角相等是相交线中角的重要等量关系，可用于角的度数计算和几何推理。
配图：推理过程对应的图形标注，突出邻补角和对顶角的关系
幻灯片 6：典型例题讲解（一）
例题 1：如图，直线 a 与直线 b 相交于点 O，若∠1 = 50°，求∠2、∠3、∠4 的度数。
解题步骤：
因为∠1 与∠3 是对顶角，根据对顶角相等，所以∠3 = ∠1 = 50°。
因为∠1 与∠2 是邻补角（和为 180°），所以∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 50° = 130°。
因为∠2 与∠4 是对顶角，所以∠4 = ∠2 = 130°。
例题 2：判断下列图形中，∠1 与∠2 是否为对顶角，并说明理由。
（图 1：有公共顶点但有一条公共边）答案：不是，因为有公共边。
（图 2：无公共顶点）答案：不是，因为没有公共顶点。
（图 3：两条直线相交形成的无公共边的角）答案：是，符合对顶角的定义。
配图：例题 1 的相交直线图和例题 2 的三个判断图形
幻灯片 7：典型例题讲解（二）
例题 3：如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，已知∠AOC = 30°，∠EOB = 90°，求∠FOD 的度数。
解题步骤：
因为直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠BOD = ∠AOC = 30°。
因为∠EOB = 90°，且∠EOB + ∠BOF = 180°（邻补角互补），所以∠BOF = 180° - 90° = 90°。
因此∠FOD = ∠BOF - ∠BOD = 90° - 30° = 60°。
例题 4：两条直线相交，若其中一个角为 60°，则其余三个角的度数分别是多少？
解题步骤：
两条直线相交形成 4 个角，其中一个角为 60°，其对顶角也为 60°。
与 60° 角相邻的两个角互为邻补角，度数为 180° - 60° = 120°，且这两个角互为对顶角。
因此其余三个角的度数分别是 60°、120°、120°。
配图：例题 3 的三条直线相交图和例题 4 的相交直线标注图
幻灯片 8：课堂互动：辨析与计算
活动一：对顶角辨析：
展示多个角的图形，让学生判断哪些是对顶角，并说明判断依据。
示例图形：包含对顶角、邻补角、有公共顶点但有公共边的角等。
活动二：计算练习：
练习 1：直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD = 120°，求∠BOC 和∠AOC 的度数。
练习 2：如图，直线 l 与 l 相交于点 O，∠1 : ∠2 = 2 : 3，求∠1、∠2、∠3、∠4 的度数。
练习 3：三条直线相交于一点，形成多少对对顶角？（提示：每两条直线相交形成 2 对对顶角）
反馈方式：学生分组讨论后派代表回答，教师进行纠错和讲解。
幻灯片 9：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
对顶角的概念：两条直线相交形成的，有公共顶点且无公共边的两个角。
对顶角的特征：有公共顶点、无公共边、成对出现。
对顶角的性质：对顶角相等（可通过邻补角互补推理得出）。
对顶角的应用：用于计算角的度数和几何推理。
方法总结：判断对顶角需紧扣 “公共顶点” 和 “无公共边” 两个特征；利用对顶角相等的性质可将未知角的度数转化为已知角的度数。
注意事项：只有两条直线相交时才产生对顶角；对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
幻灯片 10：课后作业布置
书面作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成对顶角的辨析题和计算题。
实践作业：在生活中寻找 3 个包含对顶角的实例，画出示意图并标注对顶角。
拓展作业：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，若∠AOD = 100°，求∠COE 的度数。
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1.1 对顶角
第4章 相交线和平行线
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察下图剪刀剪开纸片过程中有关角的变化. 你能说出其中的原理么
此时如果把剪刀抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？
试一试在笔记本中画出来
相交线：如图，两条直线AB、CD都经过同一个点O，我们就说这两条直线相交于点O，点O是他们的交点。
角 ∠1与∠2 ∠1与∠3
位置关系
数量关系
相邻
互补
相邻
互补
B
1
2
3
A
C
D
O
4
思考：大家仔细观察所画的图形，两条直线相交时形成四个角，这几个角都有什么样的位置关系呢？
想一想：
图中∠1的邻补角为_______
图中∠4的邻补角为________
如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角.如∠1和∠2
C
1
2
3
A
B
D
O
4
∠2，∠3
∠2，∠3
邻补角的概念
从位置关系和数量关系上看，图中还有哪些角之间存在着某种关系呢？
1
2
3
A
B
C
D
O
4
∠1和∠4
∠2和∠3
问：图中∠1的对顶角是______. 图中∠2的对顶角是______.
如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.
1
2
3
A
B
C
D
O
4
反向延长线
∠4
∠3
对顶角的概念
下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：
对顶角是由两条相交直线构成的；
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
牛刀小试
C
O
A
B
D
4
3
2
1
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中∠1与∠3这两个角的大小保持怎样的关系
对顶角的性质
猜想： ∠1=∠3
A
B
O
C
D
4
3
2
1
例1：直线AB与CD相交于O点(如图)，∠1=30°,那么∠2，∠3和∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？
解：因为直线AB与CD相交于O点,
由此我们得到
∠1=∠3，∠2=∠4.
结论：两条直线相交对顶角相等
∠4=180°-∠1=180°-30°=150°
∠3=180°-∠2=180°-150°=30°
∠2=180°-∠1=180°-30°=150°
例2 如图4.1.3，直线AB、CD相交于点E，∠AEC=50°，求∠BED的度数.
A
B
C
D
E
图4.1.3
解：因为直线AB、CD相交于点E，所以∠AEC与∠BED是对顶角。
根据对顶角相等，得∠BED= ∠AEC=50°
(3) 若 1: 2 = 2:7，则∠1，∠2，∠3，∠4的度数
分别为________________________.
(2) 若∠2是∠1的 3倍，则∠1，∠2，∠3，∠4的度
数分别为________________________.
(1) 若∠1+∠3= 60 ，则∠1，∠2，∠3，∠4的度数
分别为________________________ .
30 、150 、30 、150
45 、 135 、 45 、 135
40 、140 、40 、140
1.根据图形回答下列问题：
随堂练习
2.如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
(1)写出∠AOC， ∠BOE的邻补角；
(2)写出∠DOA， ∠EOC的对顶角；
(3)如果∠AOC =50°，求∠BOD，∠COB的度数.
A
E
D
B
F
C
O
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠COB;
∠BOE的邻补角是∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB；
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°,
∠COB=180°-∠AOC=130°.
3.下列各图中的∠1与∠2是不是对顶角？【教材P172 练习 第1题】
1
2
1
2
1
2
不是
不是
不是
4.如图，∠1与∠2是对顶角，∠1=180°-∠A，∠2=35°，则∠A=____° 【教材P172 练习 第3题】
1
2
145
5.如图，直线AB、CB分别与直线DE相交于点F、G，直线IJ、KL分别与直线MN相交于点O、P，说出各图中的对顶角. 【教材P172 练习 第2题】
A
B
C
E
F
D
G
(1)
K
P
L
N
O
J
M
I
(2)
解:(1)∠AFE与∠DFB， ∠AFD与∠EFB， ∠CGE与∠DGB， ∠CGD与∠BGE
解:(2) ∠MOI与∠JON， ∠MOJ与∠IOP， ∠MPL与∠KPN， ∠MPK与∠LPN
知识点1 邻补角的定义与性质
1.［2024开封期末］下列各图中，与 互为邻补角的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［教材例1变式］如图，直线与相交于点， 的邻补
角是_______________；若 ，则 的度数为______.
和
返回
知识点2 对顶角的定义
3.［2025商丘期末］下面四幅图中，与 是对顶角的是( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向
发生了改变，这就是折射现象.图中与 ______（填“是”或“不是”）
对顶角.
不是
返回
5.如图，直线、、相交于点， 的对顶角是_______，
的对顶角是_______.
返回
知识点3 对顶角的性质
6.如图，直线、相交于点，则推导出“ ”的依据是
( )
C
（第6题）
A.同角的余角相等 B.等角的余角相等
C.同角的补角相等 D.等角的补角相等
返回
（第7题）
7.［2025太原期中］如图，我们把剪刀的两边抽象成
两条相交的直线，若 ，则 ( )
A
A. B. C. D.
返回
8. 如图，为了测量古塔外墙底角 的度数，王明设
计了如下方案：作，的延长线，，量出 的度数，就
得到了 的度数，王明这样做的依据是____________.
对顶角相等
返回
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1.有公共顶点
归类
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1.有公共顶点
位置关系
邻补角
对顶角
2.有一条公共边
3.另一边互为反向延长线
2.没有公共边
两直线相交
3.两边互为反向延长线
名称
数量关系
对
顶
角
相
等
邻
补
角
互
补
提示：考虑角的位置关系可从角的顶点和角的边入手!
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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