资源简介

(共40张PPT)
幻灯片 1：封面
章节名称：第 4 章 相交线和平行线 章末复习
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：包含相交线、平行线及相关角的组合示意图，突出本章核心元素
幻灯片 2：目录
知识网络构建：相交线和平行线知识框架
核心概念回顾：相交线的基本概念与性质
核心概念回顾：平行线的基本概念
重点梳理：平行线的判定方法
重点梳理：平行线的性质
难点突破：易错点与典型问题解析
综合应用：几何推理与实际问题
课堂互动：巩固练习与答疑
复习总结与提升建议
课后作业布置
幻灯片 3：知识网络构建：相交线和平行线知识框架
相交线与平行线体系：
相交线：对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离。
三线八角：同位角、内错角、同旁内角的识别。
平行线：概念、画法、基本事实（平行公理）。
平行线的判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
综合应用：利用判定与性质进行几何推理、解决实际问题。
知识联系：相交线是研究平行线的基础，三线八角是连接相交线与平行线的桥梁，平行线的判定与性质是本章核心，二者互为逆过程，综合应用需灵活转换。
配图：相交线和平行线知识框架思维导图，用箭头标注知识间的逻辑关系
幻灯片 4：核心概念回顾：相交线的基本概念与性质
邻补角与对顶角：
邻补角：两条直线相交形成的有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，性质是和为 180°。
对顶角：两条直线相交形成的没有公共边且两边互为反向延长线的两个角，性质是对顶角相等。
垂线与垂足：
垂线：两条直线相交成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫垂足，符号表示为 “⊥”（如 AB⊥CD）。
垂线性质：
性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称：垂线段最短）。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
配图：邻补角与对顶角示意图、垂线与垂线段示意图
幻灯片 5：核心概念回顾：三线八角的识别
基本模型：两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，称为 “三线八角”。
角的类型与特征：
同位角：位置相同，在截线同侧，被截线同方（形如 “F” 型）。
内错角：位置交错，在截线两侧，被截线之间（形如 “Z” 型）。
同旁内角：在截线同侧，被截线之间（形如 “U” 型）。
识别步骤：
确定 “三线”：明确被截线（两条）和截线（一条）。
定位角的两边：每个角的一边在截线上，另一边在被截线上。
对照特征判断类型：根据角在截线和被截线的位置关系分类。
配图：三线八角模型图，分别用不同颜色标注同位角、内错角、同旁内角
幻灯片 6：核心概念回顾：平行线的基本概念
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，符号表示为 “∥”（如 AB∥CD）。
重要前提：“同一平面内” 是定义的必要条件，异面直线不相交但也不平行。
平行公理及其推论：
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（若 a∥b，b∥c，则 a∥c）。
平行线的画法：利用直尺和三角尺 “放、靠、移、画”（依据同位角相等）。
配图：平行线示意图、平行公理推论示意图、平行线画法步骤图
幻灯片 7：重点梳理：平行线的判定方法
判定方法梳理：
同位角相等，两直线平行（基本事实，核心判定方法）。
内错角相等，两直线平行（由同位角相等推导得出）。
同旁内角互补，两直线平行（由同位角相等推导得出）。
平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行。
垂直于同一条直线的两条直线平行（在同一平面内）。
逻辑关系：判定方法是 “由角定线”，即通过角的数量关系（相等或互补）判定直线的位置关系（平行）。
应用步骤：
找出截线和被截线，确定角的类型。
证明相关角相等或互补。
套用判定方法得出平行结论。
配图：每种判定方法对应的示意图，标注角的关系和结论
幻灯片 8：重点梳理：平行线的性质
性质梳理：
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
逻辑关系：性质是 “由线定角”，即已知直线平行，得出角的数量关系（相等或互补）。
与判定的区别：
类别
条件
结论
核心思路
判定
角的关系
线平行
由角定线
性质
线平行
角的关系
由线定角
应用步骤：
明确已知的平行关系。
找出对应的同位角、内错角或同旁内角。
利用性质得出角的相等或互补关系。
配图：每种性质对应的示意图，标注线的关系和角的结论
幻灯片 9：难点突破：易错点解析
概念类易错点：
对顶角与邻补角混淆：忽略对顶角无公共边、邻补角和为 180° 的特征。
三线八角识别错误：未准确确定截线和被截线，导致角的类型判断错误。
平行线定义误解：忽略 “同一平面内” 的条件，认为不相交的直线就是平行线。
推理类易错点：
平行线的判定与性质混淆：在推理中颠倒条件和结论（如用性质代替判定）。
角的关系转化错误：未正确利用对顶角、邻补角等进行角的等量代换。
推理过程不完整：省略关键步骤，或未说明推理依据。
示例分析：
错误：因为 a∥b，所以同位角相等（正确，但不能用于判定平行）。
错误：内错角相等，所以同位角相等（正确，但需先判定平行才能得出）。
错误：如图，∠1 与∠2 是同位角（正确，但需明确截线和被截线）。
配图：错误示例与正确解析对比图，标注错误原因
幻灯片 10：典型例题讲解（一）—— 相交线与角的计算
例题 1：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOC = 50°，求∠BOD、∠AOD 的度数。
解题步骤：
因为∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠BOD = ∠AOC = 50°（对顶角相等）。
因为∠AOC 与∠AOD 是邻补角，所以∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 50° = 130°。
例题 2：如图，OE⊥AB 于点 O，直线 CD 过点 O，∠EOD = 35°，求∠AOC 的度数。
解题步骤：
因为 OE⊥AB，所以∠AOE = 90°（垂直定义）。
因为∠AOE + ∠EOD + ∠BOD = 180°（平角定义），所以∠BOD = 180° - 90° - 35° = 55°。
因为∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠AOC = ∠BOD = 55°。
配图：例题 1 和例题 2 的相交线示意图，标注已知角和所求角
幻灯片 11：典型例题讲解（二）—— 平行线的判定
例题 3：如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AB∥EF。
解题步骤：
因为∠1 = ∠2（已知），所以 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
因为∠3 = ∠4（已知），所以 CD∥EF（同位角相等，两直线平行）。
因为 AB∥CD 且 CD∥EF，所以 AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）。
例题 4：如图，∠B + ∠BCD = 180°，∠B = ∠D，求证：AD∥BE。
解题步骤：
因为∠B + ∠BCD = 180°（已知），所以 AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。
所以∠B = ∠DCE（两直线平行，同位角相等）。
因为∠B = ∠D（已知），所以∠D = ∠DCE（等量代换）。
因此 AD∥BE（内错角相等，两直线平行）。
配图：例题 3 和例题 4 的几何图形，标注角的关系和推理箭头
幻灯片 12：典型例题讲解（三）—— 平行线的性质与综合推理
例题 5：如图，AB∥CD，EF 分别交 AB、CD 于点 G、H，∠1 = 60°，求∠2、∠3、∠4 的度数。
解题步骤：
因为 AB∥CD，∠1 与∠2 是同位角，所以∠2 = ∠1 = 60°（两直线平行，同位角相等）。
因为∠2 与∠3 是对顶角，所以∠3 = ∠2 = 60°（对顶角相等）。
因为 AB∥CD，∠1 与∠4 是同旁内角，所以∠1 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
因此∠4 = 180° - 60° = 120°。
例题 6：如图，AB∥CD，∠A = 110°，∠C = 120°，求∠E 的度数。
解题步骤：
过点 E 作 EF∥AB（辅助线作法）。
因为 AB∥EF，所以∠A + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
所以∠AEF = 180° - 110° = 70°。
因为 AB∥CD 且 EF∥AB，所以 EF∥CD（平行公理推论）。
所以∠C + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），∠CEF = 180° - 120° = 60°。
因此∠E = ∠AEF + ∠CEF = 70° + 60° = 130°。
配图：例题 5 的平行线截线图，例题 6 的辅助线添加示意图
幻灯片 13：课堂互动：巩固练习与答疑
活动一：概念辨析：
判断下列说法是否正确：
对顶角的平分线在同一条直线上。（正确）
内错角相等，则两直线平行。（正确）
两直线平行，则同旁内角相等。（错误，应为互补）
活动二：推理填空：
练习 1：如图，∵∠1 = ∠2（已知），∴______∥______（内错角相等，两直线平行）。
练习 2：如图，∵AB∥CD（已知），∴∠A + ∠______ = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
活动三：综合计算：
练习 3：如图，AB∥CD，∠BAE = 30°，∠ECD = 60°，求∠AEC 的度数（提示：添加辅助线）。
活动四：答疑解惑：
学生提出复习中遇到的疑问，教师集中解答或组织小组讨论。
幻灯片 14：复习总结与提升建议
知识总结：
相交线的核心是对顶角相等和垂线的性质，三线八角是识别角的基础。
平行线的判定与性质是本章重点，判定是 “由角定线”，性质是 “由线定角”，二者需灵活区分。
辅助线添加（如过拐点作平行线）是解决复杂平行线问题的关键技巧。
提升建议：
强化三线八角的识别能力，准确确定截线和被截线是推理的前提。
梳理判定与性质的逻辑关系，通过对比练习避免混淆。
规范几何推理过程，每一步都要注明依据，培养严谨的逻辑思维。
多做综合题训练，学会添加辅助线转化复杂问题，建立错题本分析错误原因。
幻灯片 15：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 章末复习题 A 组，巩固相交线、平行线的基本概念与简单推理。
提升作业：课本 [具体页码] 章末复习题 B 组，强化平行线的判定与性质的综合应用。
拓展作业：
如图，已知 AB∥DE，∠ABC = 130°，∠CDE = 140°，求∠BCD 的度数（提示：过点 C 作平行线）。
探索规律：平面内有 n 条直线，最多有多少个交点？当所有直线都平行时，有多少个交点？
2025-2026学年华东师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第4章 相交线和平行线
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
相交线和平行线
相交线
对顶角相等
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
平行线
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
平行线的判定
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
本章回顾
1.对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
延长线，这样的两个角互为对顶角.（如图中∠1和∠2）
对顶角的性质：对顶角相等.
注意：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
2.邻补角：两条直线相交所形成的4个角中，有公共点且有一条公共边的两个角是邻补角（如图中∠1和∠2）
邻补角的性质：同角的补角相等.
1
2
4
3
∠1和∠2互补， ∠1和∠4互补
所以∠2= ∠4（同角的补角相等）
3.垂线性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
（1）垂线与垂线段
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.
联系：具有垂直于已知直线的共同特征 (垂直的性质).
（2）两点间距离与点到直线的距离
区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间.
联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.
4.平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥ b.
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：
①相交；②平行.
（2）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）.
5.平行公理的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
注意：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性.
（2）平行具有传递性，即如果 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c.
6.如何判别同位角、内错角、同旁内角
方法：判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.
如图，判断下列各对角的位置关系：
(1)∠1与∠2；
(2)∠1与∠7；
(3)∠1与∠BAD；
(4)∠2与∠6；
(5)∠5与∠8.
∠5与∠8对顶角.
∠1与∠2是同旁内角；
∠1与∠7是同位角；
∠1与∠BAD是同旁内角；
∠2与∠6是内错角；
（1）同位角相等，两直线平行（在同一平面内）；
（2）内错角相等，两直线平行（在同一平面内）；
（3）同旁内角互补，两直线平行（在同一平面内）；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
补充：
（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
7.平行线的判定
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）；
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）；
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）.
8.平行线的性质
如图，点A 、B、C在同一条直线上，∠1 = 53°，∠2 = 37°，则 CD 与 CE 垂直吗？
CD与CE垂直
如图，直线 AB、CD 相交于点 E，∠BEF = 40°，∠CEF = 85°，则 ∠AED =_______°.
125
第1题图
第2题图
A 组
如图，直线 AB、CD 相交于点 E，EF 平分 ∠AED，∠DEF = 55°，则 ∠BEC =________°
如图，某地为了加快乡村振兴，要从村庄 Р 修一条村道，使村民自村庄 Р 出发到公路的距离最短，试画出这条村道，并说明理由.
垂线段最短
110
第3题图
第4题图
如图，经过直线 a 外一点 P 的 4 条直线中，与直线 a 平行的直线是________.
PB
如图，如果 AB // CD，那么 ∠A 与∠C________.
互补
第5题图
第6题图
如图，如果∠1 =∠3，那么直线 a 与 b 平行吗？当∠2与∠3 满足什么关系时，直线 a 与 b 平行？
直线 a 与 b平行
满足互补关系时直线 a 与 b 平行
8.如图，a、b、c、d均为直线. 如果希望a∥b，那么需要∠1至∠5中哪两个角相等？如果希望c∥d，那么需要∠1至∠5中哪两个角互补？
b
a
c
d
5
4
1
2
3
如果a∥ b则∠3=∠4
如果c∥ d则∠1与∠4互补
B 组
9.如图，已知平行直线 a、b 被直线 l 所截. 如果∠1 = 75°，那么∠2=_____°，∠3 =_____°，∠4 =_____°，∠5 =______°，∠6=______°，∠7=____°，∠8=____°.
105
75
105
75
105
75
105
l
10.如图，直线 a // b，∠3 = 85°，求 ∠1、∠2 的度数，阅读下面的解答过程，并填空 (理由或数学式).
解 : ∵a // b （ ），
∴∠1 = ∠4（ ）.
∴∠4 = ∠3（ ），
∠3 = 85°（ ）
∴ ∠1=（ ）（等量代换）.
又∵∠2 +∠3 = 180°，
∴∠2 =（ ）（等式的性质）.
已知
两直线平行，同位角相等
对顶角相等
已知
85°
95°
11.如图，已知 AC⊥AE，BD⊥BF，∠1 = 35°，∠2 = 35°，则 AC 与BD 平行吗？AE 与 BF 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式).
解 ∵∠1 = 35°（ ），∠2 = 35°（ ） ，
∴ ∠1 = ∠2（ ），
∴（ ）//（ ）（ ）.
又∵ AC⊥ AE（ ），
∴∠EAC = 90°，
∴∠EAB = ∠EAC+∠1 =（ ）（等式的性质）.
同理可得 ∠FBG = ∠FBD +∠2 =（ ）.
∴∠EAB =（ ）（等量代换），
∴（ ）//（ ）（ ）.
已知
等量代换
AC
BD
同位角相等，两直线平行
已知
125°
125°
∠FBG
AE
BF
同位角相等，两直线平行
已知
12.如图，如果 AB // CD，∠B = 37°，∠D = 37°，那么 BC 与 DE 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式).
解: ∵AB // CD（ ） ，
∴∠B = （ ）（ ）.
∵∠B =∠D = 37°（ ），
∴（ ） = ∠D（ ） ，
∴BC // DE（ ）.
已知
∠C
两直线平行，内错角相等
已知
∠C
等量代换
内错角相等，两直线平行
13.如图，我们知道，2 条直线相交只有 1 个交点，3 条直线两两相交最多能有 3 个交点，4 条直线两两相交最多能有 6 个交点，5 条直线两两相交最多能有 10 个交点，6 条直线两两相交最多能有 15 个交点……n 条直线两两相交呢？
n(n-1)个交点
C 组
14.潜望镜中，两面镜子互相平行放置. 你知道为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行吗？
1
2
3
4
5
6
所以两条光线平行（内错角相等，两直线平行）
解： ∵∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∵∠5=180°-∠1-∠2
∠6=180°-∠3-∠4
∴∠5=∠6
15.如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢
此时，小红首先想到如图所示的图形．她发现这两个角应该相等.
你知道其中的原因吗 你是否还能发现其他图形呢 画出所有可能的情况，探究归纳你所得到的结论.
A
B
C
D
E
F
G
(1)
∴ ∠B=∠E
A
B
C
P
M
N
O
(2)
∴ ∠B + ∠PMN=180°
（1）
∵ AB∥ DE
∴ ∠B = ∠DGC
∵ BC∥ EF
∴ ∠DGC = ∠E
（2）
∵ AB∥ PM
∴ ∠B + ∠BOP=180°
∵ BC∥ MN
∴∠PMN = ∠BOP
相等
互补
（3）相等
结论:如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补.
（4）互补
（3）
（4）
核心知识巩固
一、基础考点演练
考点1 对顶角的概念及性质
1.如图，对顶角共有( )
A
（第1题）
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
返回
2.如图，直线，相交于点，已知 ，把 分
成两部分，且，则 _____.
（第2题）
返回
考点2 垂线的概念及性质
3.如图，直线，相交于点，于 ，
， 的度数是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.下列选项中，过点作直线 的垂线，三角板放置正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点 ，并折出过点
且与 垂直的直线，能折出这样的直线的条数为___.
1
返回
6.（4分）如图，直线、交于点，平分， ，
，求 的度数.
解：平分， ，
.
， ，
.
返回
考点3 垂线段及点与直线的距离
7.如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到 处.他们的做法是：过
点作于点，将水泵房建在了 处，这样做最节省水管长度，其
依据是____________.
垂线段最短
（第7题）
返回
8.如图，于，于，， ，
，， .
（第8题）
（1）点到直线的距离为_____ ；
（2）点到直线的距离为____ ；
（3）点到直线的距离为___ .
4.8
6
返回
考点4 同位角、内错角、同旁内角
9.［2025南阳期末］下列判断错误的是( )
C
A.与是同旁内角 B.与 是内错角
C.与是同旁内角 D.与 是同位角
返回
考点5 平行线的概念、性质与画法
10.如图，在方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来：
__________________.
,
返回
11.如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子 所在
的直线与地面 ______，理由是_________________________________
_____________.
相交
过直线外一点有且只有一条直线与
这条直线平行
返回
12.已知同一平面内的三条直线，， ，下列错误的是( )
D
A.，， B.，，
C.，， D.，，
返回
13.（4分）［2025太原月考］如图，直线与相交于点 ，直线外
有一点，过点画，过点画，垂足为 .
解：如图所示.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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