资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.2.1 有理数的概念
副标题：梳理数的分类 理解有理数本质
背景图：以数系分类树状图为背景，从 “数” 的根部延伸出 “有理数” 主干，再分支为整数、分数等子类别，每个类别标注典型数字示例，直观呈现数的分类逻辑
幻灯片 2：目录
数的扩充与有理数的引入
有理数的定义
有理数的分类标准
有理数分类的两种方式
有理数相关概念辨析
典型例题解析
易错点警示与注意事项
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：数的扩充与有理数的引入
数的发展历程：
小学阶段：我们学习了自然数（如 0、1、2、3…）和分数（如\(\frac{1}{2}\)、3.5），这些数能表示一些具体的量，但无法表示相反意义的量。
引入负数后：数的范围扩充到了正数、0 和负数，其中正数包括正整数和正分数，负数包括负整数和负分数。
问题提出：
这些数（正整数、0、负整数、正分数、负分数）之间有什么共同特征？能否将它们归为同一类数？
像\( \)这样的数是否也属于这一类数？
幻灯片 4：有理数的定义
定义内容：
整数和分数统称为有理数。
解读：
整数包括正整数、0 和负整数（如 1、2、0、-1、-3）。
分数包括正分数和负分数（如\(\frac{1}{2}\)、3.5、-\(\frac{3}{4}\)、-0.75）。
有理数可以表示为两个整数的比（即分数形式\(\frac{p}{q}\)，其中\(p\)、\(q\)为整数且\(q 0\)）。
实例验证：
整数可以表示为分数：5=\(\frac{5}{1}\)，0=\(\frac{0}{1}\)，-3=\(\frac{-3}{1}\)。
有限小数和无限循环小数可以化为分数：0.5=\(\frac{1}{2}\)，3.2=\(\frac{16}{5}\)，0.\(\dot{3}\)=\(\frac{1}{3}\)。
结论：整数和分数都能表示为两个整数的比，因此统称为有理数。
幻灯片 5：有理数的分类标准
分类核心原则：
按数的结构特征分类：根据数是否为整数或分数进行分类。
按数的正负性质分类：根据数是正数、0 还是负数进行分类。
分类注意事项：
分类要做到 “不重不漏”：每个数必须属于且仅属于一个类别。
0 的特殊性：0 是整数，但既不是正数也不是负数，分类时需单独列出。
分数的广义性：分数包括有限小数和无限循环小数，因为它们都可以化为分数形式。
幻灯片 6：有理数分类的两种方式
方式一：按整数和分数分类：
有理数
├─ 整数
│ ├─ 正整数（如1、2、3…）
│ ├─ 0
│ └─ 负整数（如-1、-2、-3…）
└─ 分数
├─ 正分数（如\(\frac{1}{2}\)、3.5、0.333…）
└─ 负分数（如-\(\frac{3}{4}\)、-2.7、-0.\(\dot{6}\)）
方式二：按正负性质分类：
有理数
├─ 正有理数
│ ├─ 正整数（如1、2、3…）
│ └─ 正分数（如\(\frac{1}{2}\)、3.5…）
├─ 0
└─ 负有理数
├─ 负整数（如-1、-2、-3…）
└─ 负分数（如-\(\frac{3}{4}\)、-2.7…）
分类对比：
两种分类方式的逻辑不同，但涵盖的数完全一致。
按整数和分数分类更能体现有理数的结构本质，按正负性质分类便于研究数的符号特征。
幻灯片 7：有理数相关概念辨析
整数与分数的区别：
整数：没有分母（或分母为 1）的有理数，如 - 5、0、7。
分数：分子和分母都是整数且分母不为 1 的有理数，如\(\frac{2}{3}\)、-0.6（可化为 -\(\frac{3}{5}\)）。
注意：有限小数和无限循环小数属于分数，因为它们能化为分数形式。
有理数与非有理数的区别：
有理数：能表示为两个整数的比（\(\frac{p}{q}\)，\(q 0\)）的数，如 5、\(\frac{1}{3}\)、-0.25。
非有理数（无理数）：不能表示为两个整数的比的数，如\( \)（圆周率，无限不循环小数）、\(\sqrt{2}\)（开方开不尽的数）。
实例辨析：
下列数中哪些是有理数？
3.14（是，有限小数→分数）、\( \)（否，无限不循环小数）、0.\(\dot{7}\)（是，无限循环小数→分数）、\(\sqrt{3}\)（否，无理数）。
幻灯片 8：典型例题解析
例 1：有理数的分类：
问题：把下列各数填入相应的集合内。
5，-2，0，\(\frac{1}{3}\)，-3.14，+1.2，-0.\(\dot{5}\)，100
解析：
整数集合：{5，-2，0，100…}
分数集合：{\(\frac{1}{3}\)，-3.14，+1.2，-0.\(\dot{5}\)…}
正有理数集合：{5，\(\frac{1}{3}\)，+1.2，100…}
负有理数集合：{-2，-3.14，-0.\(\dot{5}\)…}
例 2：判断数的类型：
问题：下列说法正确的是（ ）
A. 整数就是正整数和负整数 B. 分数包括正分数、负分数和 0
C. 有理数包括整数、分数和 0 D. 有理数包括正有理数、0 和负有理数
解析：A 选项忽略了 0；B 选项 0 是整数不是分数；C 选项 0 属于整数，分类重复；D 选项正确，故选 D。
例 3：有理数的特征分析：
问题：是否存在既是整数又是分数的数？为什么？
解析：不存在。因为整数和分数是有理数的两个不同类别，整数没有分数部分，分数有分数部分（分母不为 1），二者互斥。
幻灯片 9：易错点警示与注意事项
易错点 1：对 0 的分类错误：
错误示例：将 0 归为正整数或负整数，或认为 0 是分数（错误，0 是整数，既不是正数也不是负数）。
警示：0 是整数集合中的特殊元素，单独存在，不属于分数或正负整数。
易错点 2：混淆分数与小数的关系：
错误示例：认为 3.5 是小数不是分数（错误，有限小数和无限循环小数都属于分数）。
警示：分数包括所有能化为\(\frac{p}{q}\)（\(p\)、\(q\)为整数，\(q 0\)）的数，小数是分数的另一种表现形式。
易错点 3：有理数分类重复或遗漏：
错误示例：分类时将 “正整数” 和 “整数” 并列（重复，正整数属于整数），或遗漏 0（整数集合必须包含 0）。
警示：分类需遵循 “从属关系清晰” 原则，确保每个类别界限明确，涵盖所有有理数。
注意事项：
无理数（如\( \)、\(\sqrt{2}\)）不属于有理数，它们是另一类数。
百分数（如 20%）属于分数，因为 20%=\(\frac{1}{5}\)；带分数（如 1\(\frac{1}{2}\)）属于分数，可化为\(\frac{3}{2}\)。
幻灯片 10：课堂练习巩固
基础题：
把下列各数填入相应的括号内：
7，-3，0，\(-\frac{1}{2}\)，3.6，-0.8，101，-1.\(\dot{3}\)
整数集合：{____…}
分数集合：{____…}
正有理数集合：{____…}
负有理数集合：{____…}
下列说法正确的是（ ）
A. 所有小数都是分数 B. 所有分数都是有理数
C. 所有有理数都是整数 D. 0 不是有理数
提升题：
3. 下列数中，哪些是有理数？哪些不是？为什么？
0.75，\( \)，\(\frac{22}{7}\)，-5，\(\sqrt{5}\)，0.\(\dot{9}\)
写出 3 个既是整数又是负数的数：；写出 3 个既是分数又是正数的数：。
综合题：
5. 若一个数不是正数，则它一定是负数吗？为什么？请举例说明。
幻灯片 11：课堂小结
知识总结：
有理数定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。
分类方式：
按结构：有理数 = 整数 + 分数。
按正负：有理数 = 正有理数 + 0 + 负有理数（正有理数 = 正整数 + 正分数；负有理数 = 负整数 + 负分数）。
关键特征：有理数都能表示为两个整数的比（\(\frac{p}{q}\)，\(q 0\)），无理数不能。
方法提炼：
记忆口诀：“有理数，分两类，整数分数来相会；整数包含正零负，分数正负有地位；正负零，三兄弟，正理负理零独立”。
分类技巧：判断一个数是否为有理数，看它能否化为整数或分数形式；分类时先明确标准，再逐一归类，避免重复或遗漏。
幻灯片 12：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2、3 题。
把下列各数填入相应的集合：
-5，\(\frac{3}{4}\)，0，8.6，-0.7，100，-1\(\frac{1}{2}\)，-3
整数集合：{…} 分数集合：{…}
正有理数集合：{…} 负有理数集合：{…}
选做题：
课本第 [X] 页习题 1.2 第 1、2 题。
探究：是否存在最大的有理数？是否存在最小的有理数？为什么？
拓展题：
请设计一个数的分类表，将学过的数（自然数、整数、分数、正数、负数、有理数等）按从属关系表示出来，并举例说明。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
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1.2.1 有理数的概念
第一章 有理数
1.知道什么叫有理数.
2.会判断一个数是正有理数还是负有理数，是正整数还是负整数.
思 考
在小学阶段和上一节中，我们认识了很多数. 回想一下，到目前为止，我们认识了哪些数？
整 数
分 数
正整数：1，2，3，…；
0
负整数：-1，-2，-3，…；
整数
分数
正分数： ， ， ，0.1，5.32，0.，…；
负分数： ， ， ，-0.5，-150.5，…；
正整数：1，2，3，…；
思 考
负整数：-1，-2，-3，…；
怎么把正整数写成正分数形式？负整数写成负分数形式？
0 能写成分数形式吗？
整数可以写成分数的形式
思 考
有限小数和无限循环小数能写成分数形式吗？
有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式.
小数
有限小数
无限循环小数
无限不循环小数
能写成分数形式，是有理数
不能写成分数形式，不是有理数
0.1，-1.23等
0.…等
π等
有理数
知识点
可以写成分数形式的数称为有理数.
可以写成正分数形式的数为正有理数
1，2，3，1.5，2.5，3.5， ， ，…；
-1，-2，-3，-1.5，-2.5，-3.5， ， ，…；
可以写成负分数形式的数为负有理数
0
有理数
正有理数
0
负有理数
正整数
负整数
正分数
负分数
例 1 指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：
【教材P7】
13，4.3， ，8.5%，-30，-12%， ，-7.5，20，-60，1.2
解：正有理数：
13，4.3，8.5%， ，20，1.2
其中正整数有：13，20
负有理数： ，-30，-12%，-7.5，-60
其中负整数有：-30，-60
“6 非”
非负数 → 正数和 0
非正数 → 负数和 0
非负整数 → 正整数和 0
非正整数 → 负整数和 0
非负有理数 → 正有理数和 0
非正有理数 → 负有理数和 0
练 习
1. 所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负
有理数集合. 把下面的有理数填入它们属于的集合内：
【教材P8】
15， ，-5，7，0.5，-80，12，-4.2，2.3，
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}.
15，7，0.5，12，2.3，
，-5，-80，-4.2，
数的集合 把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合. 如所有正有理数组成正有理数集合.
在对有理数进行分类时，必须按同一个标准进行，不能混淆. 分类时注意：（1）不能重复；（2）不能遗漏. 此外，要特别注意 0 的归属.
集合的常见形式： { …}.
2. 指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数：
-15，+6，-2，-0.4，1， ，0，3 ，0.63， .
正有理数
负有理数
整数
3. 在 -12， ，19%，50，-3.12，-11，-5%，6.3，2022 中，
正有理数的个数为______，其中正整数的个数为______；
负有理数的个数为______，其中负整数的个数为______.
5
2
4
2
1. 把下列各有理数填在相应的集合内：
3，- ，0，1 ，0.45，120，-77，-2.56，-123 ，0.3 .
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}，
整数集合：{ …}.
3，1 ，0.45，120 ，0.3
- ，-77，-2.56，-123
3，0，120，-77
【选自教材P16 习题 1.2 第1题】
1. ［2025重庆万州区期中］下列7个数：， ，
，0， ， （每两个1之间依次多一
个4）， ，其中有理数有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
2. 下列关于有理数的描述：
①有限小数和循环小数都是有理数；
是非负有理数；
既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；
④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数.
其中正确的个数是( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 请写出一个既是整数，又是负数的有理数：
__________________.
（答案不唯一）
返回
4.母题教材P8练习 把下列各数填入相应的集合内：
5，，，，，，0，，， ，
, .
正有理数集合： ；
负有理数集合： ；
负整数集合： ；
非负整数集合： .
【解】正有理数集合：，，，，，， ；
负有理数集合：，，，， ；
负整数集合：， ；
非负整数集合：，0， .
返回
有理数
正有理数
0
负有理数
正整数
负整数
正分数
负分数
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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