资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.2.4 绝对值
副标题：理解距离本质 掌握绝对值运算
背景图：以数轴为主体背景，数轴上标注出不同点到原点的距离线段（如 3 到原点的距离为 3，-3 到原点的距离也为 3），旁边配以直尺测量长度的插图，体现绝对值的 “距离” 本质
幻灯片 2：目录
绝对值的引入与生活实例
绝对值的定义与几何意义
绝对值的表示方法
绝对值的性质与特征
绝对值的计算与化简
利用绝对值比较有理数的大小
典型例题解析
易错点警示与注意事项
课堂练习巩固
课堂小结与作业布置
幻灯片 3：绝对值的引入与生活实例
生活中的 “距离” 问题：
位置距离：小明在数轴上的位置是 3，小红在 - 3，他们到原点的距离都是 3 个单位长度，与方向无关。
温度差距：某天最高气温是 5℃，最低气温是 - 5℃，它们与 0℃的温差都是 5℃，不考虑正负。
路程计算：向东走 4 千米和向西走 4 千米，所走的实际路程都是 4 千米，距离只看数值大小。
问题提出：
这些例子中，“距离”“温差”“路程” 等概念有什么共同特征？（只与数值大小有关，与方向或符号无关）
如何用数学符号表示一个数到原点的 “距离”？
幻灯片 4：绝对值的定义与几何意义
定义内容：
一般地，数轴上表示数\(a\)的点与原点的距离叫做数\(a\)的绝对值，记作\(|a|\)。
几何意义：
绝对值\(|a|\)表示数\(a\)在数轴上对应的点到原点的距离，距离是非负的（≥0）。
示例：
\(|3|\)表示数轴上 3 对应的点到原点的距离，即 3 个单位长度，所以\(|3| = 3\)。
\(|-3|\)表示数轴上 - 3 对应的点到原点的距离，即 3 个单位长度，所以\(|-3| = 3\)。
\(|0|\)表示原点到自身的距离，即 0 个单位长度，所以\(|0| = 0\)。
定义解读：
绝对值的本质是 “距离”，因此任何数的绝对值都是非负数（≥0）。
互为相反数的两个数绝对值相等（如\(|3| = |-3| = 3\)），因为它们到原点的距离相等。
幻灯片 5：绝对值的表示方法
符号表示：
数\(a\)的绝对值记作\(|a|\)，读作 “\(a\)的绝对值”。
具体表示：
正数的绝对值是它本身：若\(a > 0\)，则\(|a| = a\)。例如：\(|5| = 5\)，\(|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}\)。
负数的绝对值是它的相反数：若\(a < 0\)，则\(|a| = -a\)。例如：\(|-5| = -(-5) = 5\)，\(|-\frac{1}{2}| = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\)。
0 的绝对值是 0：若\(a = 0\)，则\(|a| = 0\)。
表达式总结：\(
|a| = \begin{cases}
a & (a > 0) \\
0 & (a = 0) \\
-a & (a < 0)
\end{cases}
\)
示例应用：
求\(|7|\)：因为 7 > 0，所以\(|7| = 7\)。
求\(|-2.5|\)：因为 - 2.5 < 0，所以\(|-2.5| = -(-2.5) = 2.5\)。
求\(|0|\)：直接得\(|0| = 0\)。
幻灯片 6：绝对值的性质与特征
基本性质：
非负性：任何数的绝对值都是非负数，即\(|a| 0\)。
互为相反数的两数绝对值相等：\(|a| = |-a|\)。
若\(|a| = |b|\)，则\(a = b\)或\(a = -b\)（绝对值相等的两个数相等或互为相反数）。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。
绝对值为 0 的数只有 0，即若\(|a| = 0\)，则\(a = 0\)。
特征总结：
绝对值具有 “非负性”：结果永远是正数或 0，不会是负数。
绝对值会 “消除符号”：正数和负数的绝对值都是正数，只有 0 的绝对值是 0。
性质应用示例：
若\(|x| = 5\)，则\(x = 5\)或\(x = -5\)。
若\(|a - 2| = 0\)，则\(a - 2 = 0 a = 2\)（利用非负性）。
幻灯片 7：绝对值的计算与化简
基本计算规则：
直接计算：根据数的正负性，套用绝对值定义计算。例如：\(|3| = 3\)，\(|-4| = 4\)。
含字母的化简：先判断字母表示的数的正负，再化简。例如：若\(a < 0\)，则\(|a| = -a\)；若\(a > b > 0\)，则\(|a - b| = a - b\)。
多重绝对值化简：从内到外逐步化简，或根据符号分段讨论。
示例：
计算：\(| -(-3) | = |3| = 3\)（先化简内层符号，再求绝对值）。
化简：若\(x < 0\)，则\(|x| + | -x | = -x + |x| = -x + (-x) = -2x\)（注意\(-x\)此时为正数）。
化简：\(|a - 1|\)（分情况讨论）
当\(a 1\)时，\(|a - 1| = a - 1\)；
当\(a < 1\)时，\(|a - 1| = 1 - a\)。
幻灯片 8：利用绝对值比较有理数的大小
负数比较大小的规则：
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
步骤：
分别求出两个负数的绝对值。
比较绝对值的大小。
根据 “绝对值大的反而小” 判断原负数的大小。
示例：
比较\(-5\)和\(-3\)的大小：
\(|-5| = 5\)，\(|-3| = 3\)。
因为\(5 > 3\)，所以\(-5 < -3\)。
比较\(-0.6\)和\(-\frac{2}{3}\)的大小：
\(|-0.6| = 0.6\)，\(|-\frac{2}{3}| 0.67\)。
因为\(0.6 < 0.67\)，所以\(-0.6 > -\frac{2}{3}\)。
综合比较：
正数 > 0 > 负数；正数之间绝对值大的数大；负数之间绝对值大的数小。
幻灯片 9：典型例题解析
例 1：求数的绝对值：
问题：求下列各数的绝对值。
6，-8，0，\(-\frac{3}{4}\)，2.5，-(-4)
解析：
\(|6| = 6\)；\(|-8| = 8\)；\(|0| = 0\)；\(|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}\)；\(|2.5| = 2.5\)；\(|-(-4)| = |4| = 4\)。
例 2：利用绝对值性质求值：
问题：若\(|x| = 3\)，求\(x\)的值；若\(|a + 2| = 0\)，求\(a\)的值。
解析：
由\(|x| = 3\)得\(x = 3\)或\(x = -3\)。
由\(|a + 2| = 0\)得\(a + 2 = 0 a = -2\)（绝对值为 0 则内部式子为 0）。
例 3：比较负数的大小：
问题：比较下列各组数的大小。
（1）\(-\frac{3}{2}\)和\(-\frac{5}{4}\) （2）\(-1.2\)和\(-1.1\)
解析：
（1）\(|-\frac{3}{2}| = 1.5\)，\(|-\frac{5}{4}| = 1.25\)，因为\(1.5 > 1.25\)，所以\(-\frac{3}{2} < -\frac{5}{4}\)。
（2）\(|-1.2| = 1.2\)，\(|-1.1| = 1.1\)，因为\(1.2 > 1.1\)，所以\(-1.2 < -1.1\)。
例 4：含绝对值的化简：
问题：已知\(a < 0 < b\)，化简\(|a| + |b| - |a - b|\)。
解析：
因为\(a < 0\)，所以\(|a| = -a\)；因为\(b > 0\)，所以\(|b| = b\)；因为\(a < b\)，所以\(a - b < 0\)，\(|a - b| = b - a\)。
原式\(= -a + b - (b - a) = -a + b - b + a = 0\)。
幻灯片 10：易错点警示与注意事项
易错点 1：对绝对值非负性理解不足：
错误示例：认为\(|a| = 5\)则\(a = 5\)（忽略\(a = -5\)的情况）。
警示：绝对值为正数的数有两个，互为相反数；绝对值为 0 的数只有 0。
易错点 2：负数绝对值化简错误：
错误示例：\(|-3| = -3\)（混淆绝对值与相反数的概念，绝对值结果应为正数）。
警示：负数的绝对值是它的相反数，结果一定是正数，如\(|-3| = 3\)。
错误示例：若\(a < 0\)，则\(|a| = a\)（应为\(|a| = -a\)，此时\(-a\)是正数）。
易错点 3：比较负数大小时逻辑颠倒：
错误示例：因为\(|-5| > |-3|\)，所以\(-5 > -3\)（错误，负数绝对值大的反而小）。
警示：比较负数大小分两步，先比绝对值，再反向判断原数大小。
易错点 4：忽略字母的正负性直接化简：
错误示例：化简\(|x - 1|\)时，直接写成\(x - 1\)（未考虑\(x < 1\)的情况）。
警示：含字母的绝对值化简需先判断字母表达式的正负，再套用定义。
幻灯片 11：课堂练习巩固
基础题：
求下列各数的绝对值：
-7，4.2，0，\(-\frac{5}{3}\)，-(-9)，\(| -3 |\)
下列说法正确的是（ ）
A. 绝对值是它本身的数只有正数 B. 负数的绝对值一定是正数
C. 绝对值相等的两个数一定相等 D. 若\(|a| = |b|\)，则\(a = b\)
提升题：
3. 比较下列各组数的大小：
（1）\(-\frac{1}{2}\)和\(-\frac{1}{3}\) （2）\(-3.14\)和\(- \) （3）\(-5\)和\(-| -4 |\)
若\(|x - 3| = 2\)，则\(x = \)；若\(|a| + |b| = 0\)，则\(a = \)，\(b = \)____。
综合题：
5. 已知\(a > 0\)，\(b < 0\)，且\(|a| < |b|\)，化简\(|a + b| - |a - b| + | -a |\)。
幻灯片 12：课堂小结
知识总结：
绝对值定义：数轴上数\(a\)到原点的距离，记作\(|a|\)。
几何意义：表示距离，具有非负性（\(|a| 0\)）。
计算规则：正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0 的绝对值是 0。
性质：互为相反数的绝对值相等；若\(|a| = |b|\)，则\(a = ±b\)；非负性是核心特征。
大小比较：负数比较看绝对值，绝对值大的反而小。
方法提炼：
记忆口诀：“绝对值，表距离，原点为中向两极；正数负数零都可算，结果非负要牢记；正数本身负数反，零的绝对值是自己；负数比较绝对值，大的反而小无疑”。
关键技巧：处理绝对值问题时，先判断数或表达式的正负性，再套用定义化简；利用非负性可解决含绝对值的求值问题。
幻灯片 13：作业布置
必做题：
课本第 [X] 页练习题第 1、2、3 题。
求下列各数的绝对值并比较大小：-5 和 - 3，\(-\frac{2}{3}\)和\(-\frac{3}{4}\)，-0.8 和 - 0.7。
选做题：
课本第 [X] 页习题 1.2 第 8、9 题。
若\(|x| = 4\)，\(|y| = 2\)，且\(x < y\)，求\(x + y\)的值。
拓展题：
探究：已知\(|a| = 3\)，\(|b| = 5\)，且\(a > b\)，求\(a + b\)的所有可能值，并说明理由。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2.4 绝对值
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 知道绝对值的概念及表示法，体会绝对值
的几何意义.
2.会求一个已知数的绝对值.
-1 和 1，-2 和 2，-3 和 3，…
我们知道，互为相反数的两个数（除 0 以外）只有符号不同. 这两个数的相同部分在数轴上表示什么？
10 和 -10 互为相反数，在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 你发现了什么？
0
10
-10
10
10
A
B
O
（1）点 A，B关于原点对称；
（2）点 A，B与原点的距离相同，都是 10.
10 和 -10 互为相反数，在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 你发现了什么？
0
10
-10
10
10
A
B
O
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 |a|.
因为距离不可能是负数，所以一个数的绝对值不会是负数，最小值是 0.
即 | a | 0.
非负性
一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试一试、看能不能发现规律.
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
-4
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.
（1）若 a > 0，则 | a | = a；
（2）若 a = 0，则 | a | = 0；
（3）若 a < 0，则 | a | = －a.
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
-4
例 4 （1）分别写出 1， -0.5 和 的绝对值；
【教材P13】
| 1 | = 1；
0
1
2
-1
-2
距离为1
距离为0.5
距离为
|-0.5| = 0.5；
（2）因为在点 A，B，C，D 中，点 C 离原点最近，所以在有理数 a，b，c，d 中，c 的绝对值最小.
（2）如图，数轴上的点 A，B，C，D 分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
-4
A
B
C
D
表示 +7 的点与原点的距离是______；
即：+7 的绝对值是______，记作__________；
表示 -2.8 的点与原点的距离是________；
即：-2.8 的绝对值是______，记作___________；
表示 0 的点与原点的距离是________；
即：0 的绝对值是______，记作_________.
7
7
| +7 | = 7
2.8
2.8
| -2.8 | = 2.8
0
0
| 0 | = 0
归 纳
求一个数的绝对值的方法：
求一个数的绝对值
正数
0
负数
等于它本身
等于它的相反数
1. 写出下列各数的绝对值.
【教材P14】
8，-3.9， ，100，7.5，0，-(-13)，-(+18).
解：|8| = 8，|-3.9| = 3.9，| | = ，|100| = 100，
|7.5| = 7.5，|0| = 0，|-(-13)| = 13，|-(+18)| = 18.
2. 判断题.
（1）绝对值是它本身的数是正数；
（2）当 a ≠ 0 时，| a | 总是大于 0；
（3）绝对值小于 2 的整数是 1 和 -1.
×
√
×
3. 如果 |a| = |-2|，那么 a =_________；
如果 m 是负数，且 |m| = 10，那么 m =______.
-2 或 2
-10
4. 化简下列各数：
+|-3.5|，-|+ |，-|-11|，|+(-15)|，|-(-7)|，|-(+9)|.
解：+|-3.5| = 3.5，-|+ | = - ，-|-11| = -11，
|+(-15)| = 15，|-(-7)| = 7，|-(+9)| = 9.
1. 数，，， 在数轴上对应点的位置如
图所示，这四个数中绝对值最小的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 母题教材P14练习 若，则 的值为
( )
B
A. B. 或 C. D.
返回
3. 给出下面四种说法：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；
②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；
③若，则 ；
④如果，那么 .
其中正确的是( )
A
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
返回
4. 下列各组数中，互为相反数的是( )
D
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【点拨】A.因为， ，所以
，故本选项错误；B.因为 ，
，所以 ，故本选项错误；C.
，故本选项错误；D.因为 ，
所以与 互为相反数，故本选项正确.故选D.
返回
5. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝
对值越小表示信号越强（单位： ），则下列信号最强的
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 |a|.
（1）若 a > 0，则 | a | = a；
（2）若 a = 0，则 | a | = 0；
（3）若 a < 0，则 | a | =－a.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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