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有理数的加法
有理数的加法，是有理数运算的基础，它与小学的加法运算有着本质区别，小学加法不涉及符号问题，而有理数加法运算始终围绕两个核心问题展开：一是确定结果的符号，二是求结果的绝对值。
有理数加法法则
同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。例如，计算\(3 + 5\)，因为\(3\)和\(5\)都是正数（同号），所以结果取正号，再将它们的绝对值\(3\)和\(5\)相加，即\(3 + 5 = 8\)；又如\(-3 + (-5)\)，\(-3\)和\(-5\)都是负数（同号），结果取负号，绝对值相加得\(3 + 5 = 8\)，所以\(-3 + (-5) = -8\) 。
异号两数相加：
绝对值相等时，和为零。比如\(-3 + 3\)，\(-3\)和\(3\)绝对值相等，它们互为相反数，所以\(-3 + 3 = 0\)。
绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如\(3 + (-5)\)，\(3\)是正数，\(-5\)是负数（异号），\(\vert -5\vert = 5\)大于\(\vert 3\vert = 3\)，所以结果取\(-5\)的符号负号，再用较大的绝对值\(5\)减去较小的绝对值\(3\)，即\(3 + (-5) = -2\)；再如\(-3 + 5\)，\(5\)的绝对值大于\(-3\)的绝对值，结果取\(5\)的符号正号，\(5 - 3 = 2\)，所以\(-3 + 5 = 2\)。
一个数与\(0\)相加：仍得这个数。例如\(a + 0 = a\)，无论\(a\)是正数、负数还是\(0\)，这个法则都成立，如\(5 + 0 = 5\)，\(-2 + 0 = -2\)，\(0 + 0 = 0\) 。
运算律
交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为\(a + b = b + a\)。例如\(2 + 3 = 3 + 2 = 5\)，\(-5 + 8 = 8 + (-5) = 3\)，交换律在简化计算过程中发挥着重要作用，它可以让我们根据数字特点灵活调整计算顺序。
结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即\((a + b) + c = a + (b + c)\) 。比如计算\((-2 + 3) + 5\)，先算括号内\(-2 + 3 = 1\)，再算\(1 + 5 = 6\)；而\(-2 + (3 + 5)\)，先算括号内\(3 + 5 = 8\)，再算\(-2 + 8 = 6\)，结果相同。在多个有理数相加时，运用结合律可将便于计算的数先结合起来进行运算，提高计算效率。
运算要点及技巧
运算要点：在进行有理数加法运算时，务必牢记 “先符号，后绝对值”。拿到两个有理数相加的式子，首先判断两个加数的符号情况，是同号、异号还是其中有\(0\)，以此确定该运用哪条法则。随着不断练习，熟练掌握这一要点后，就能准确无误地进行运算。
运算技巧：
互为相反数的先加（抵消）：若式子中有互为相反数的数，可先将它们相加，结果为\(0\)，从而简化计算。如计算\(3 + (-5) + 5\)，可先算\((-5) + 5 = 0\)，再算\(3 + 0 = 3\) 。
同号的先加：把符号相同的数先结合相加，这样可以减少运算过程中符号判断的复杂性。例如\(2 + (-3) + 5 + (-7)\)，可先分别计算\(2 + 5 = 7\)和\((-3) + (-7) = -10\)，最后再算\(7 + (-10) = -3\) 。
同分母的先加：对于分数相加的情况，若有同分母分数，先将它们相加。比如\(\frac{1}{3} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3} + \frac{3}{5}\)，先算\(\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0\)，再算\(\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1\)，最终结果为\(0 + 1 = 1\) 。
能凑整数的先加：观察式子中数字，若能通过组合凑成整数，优先进行这样的运算。像\(1.25 + 3 + (-0.25) + 2\)，可先算\(1.25 + (-0.25) = 1\)，再算\(3 + 2 = 5\)，最后\(1 + 5 = 6\) 。
异分母分数相加，先通分，再计算：当遇到异分母分数相加时，如\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)，先找到\(2\)和\(3\)的最小公倍数\(6\)，将\(\frac{1}{2}\)通分为\(\frac{3}{6}\)，\(\frac{1}{3}\)通分为\(\frac{2}{6}\)，然后计算\(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\) 。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1.1.1有理数的加法
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能叙述并理解有理数加法法则.
2.会用有理数加法法则正确进行有理数加法运算.
新课导入
在第一章中，我们把数的范围扩大到了有理数. 根据小学阶段学习数的经验，接下来就要研究有理数的运算.
在实际问题中，我们也会遇到有理数的运算问题. 例如：
（1）北京冬季某一天的气温为 -3~3 ℃. 这一天北京的温差是多少？
（2）李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物. 这样既保护了环境，又增加了零花钱，下表是他某个月零花钱的部分收支情况.
这里，“结余12.0”和“结余-3.2”是怎么得到的？
日期 收入（+）或支出（-）/元 结余/元 注释
2日 3.5 18.5 卖可回收物
8日 -6.5 12.0 买中性笔，记号笔
12日 -15.2 -3.2 买科普书，同学代付
思 考
小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与 0 相加以及 0 与 0 相加. 引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？
正数 0 负数
正数
0
负数
正数+正数
正数+0
正数+负数
0+正数
0+0
0+负数
负数+正数
负数+0
负数+负数
总 结
两数相加共三种类型.
（1）同号两个数相加；
（2）异号两个数相加；
（3）一个数与 0 相加.
下面我们借助具体情境和数轴来讨论有理数的加法.
一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负．例如：将向右运动 5 m 记作 5 m，向左运动 5 m 记作－5 m．
思 考
如果物体沿着一条直线先向右运动 5 m，再向右运动 3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？
0
5
6
7
8
1
2
3
4
5
3
5 + 3 = 8
思 考
如果物体沿着一条直线先向左运动 5 m，再向左运动 3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？
-8
-3
-2
-1
0
-7
-6
-5
-4
-3
-5
(-5) + (-3) = -8
总 结
5 + 3 = 8
(-5) + (-3) = -8
(+5) + (+3) = +(5+3)
(-5) + (-3) = -(5+3)
符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
探 究
（1）如果物体沿着一条直线先向左运动 3 m，再向右运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？
-3
2
3
4
5
-2
-1
0
1
-3
5
(-3) + 5 = 2
（2）如果物体沿着一条直线先向右运动 3 m，再向左运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？
探 究
-2
3
4
5
6
-1
0
1
2
3
-5
3 + (-5) = -2
总 结
(-3) + 5 = 2
3 + (-5) = -2
(-3) + 5 = +(5-3)
3 + (-5) = -(5-3)
绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.
如果物体沿着一条直线先向右运动 5 m，再向左运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？
探 究
0
5
6
7
8
1
2
3
4
5
-5
5 + (-5) = 0
互为相反数的两个数相加，结果为 0.
如果物体第 1 s 向右（或左）运动 5 m，第 2 s 原地不动，那么 2 s 后物体从起点向右（或左）运动了 5 m. 如何用算式表示呢？
5＋0＝5 （或 (－5)＋0 ＝ －5）．
一个数与 0 相加，结果仍是这个数.
同号两数相加
异号两数相加
一个数与 0 相加
和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.
互为相反数的两个数相加得 0
仍得这个数
有理数加法法则
思 考
按照有理数加法法则进行正数及 0 的加法运算，它和小学学过的正数及 0 的加法运算一致吗？
例 题
例 1 计算：
【教材P27】
（1）(-3) + (-9)； （2）(-8) + 0； （3）12 + (-8) ； （4）(-4.7) + 3.9； （5）( ) + (+ ).
解：（1）(-3) + (-9) = -(3 + 9) = -12；
（2）(-8) + 0 = -8；
（3）12 + (-8) = +(12-8) = 4；
例 题
例 1 计算：
【教材P27】
（1）(-3) + (-9)； （2）(-8) + 0； （3）12 + (-8) ； （4）(-4.7) + 3.9； （5）( ) + (+ ).
（4）(-4.7) + 3.9 = -(4.7 - 3.9) = -0.8；
（5）( ) + (+ ) = 0.
在运算过程中，“先定和的符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法.
思 考
任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明.
-3
2
3
4
5
-2
-1
0
1
设 a 为任意数，则 a + 1 > a
设 a 为任意数，则 a - 1 < a
练 习
【教材P28】
1. 用算式表示下面的结果：
（1）温度由－4 ℃ 上升 7 ℃；
（2）收入 7 元，又支出 5 元．
解：（1）(-4) + 7 = 3；
（2）7 +(-5) = 2.
2. 口算：
（1）(－4)＋(－6)； （2） 4＋(－6)； （3）(－4)＋6；
（4）(－4)＋4； （5）(－4)＋14； （6）(－14)＋4；
（7） 6＋(－6)； （8） 0＋(－6)； （9）（-8）+ 0.
-10
-2
2
0
10
-10
0
-6
-8
3. 计算：
（1）15＋(－22)； （2）(－13) ＋(－8)；
（3）(－0.9) ＋1.5； （4） .
解：（1）原式 = -(22 - 15) = -7；
（2）原式 = -(13 + 8) = -21；
3. 计算：
（1）15＋(－22)； （2）(－13) ＋(－8)；
（3）(－0.9) ＋1.5； （4） .
（3）原式 = +(1.5 - 0.9) = 0.6；
（4）原式 = - = .
1. 下列运算中,正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
2. 在学习有理数的加法时，为了更加直观
地展示加法的运算原理，可以用 表示， 表示 .小
明画出如图解释了一个式子，这个式子及其结果是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 若是最小的正整数，是最大的负整数，则， 两数之
和为( )
A
A. 0 B. 2 C. 1 D.
返回
4. 有理数， 在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确
的有( )
；； ；
；； .
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 手机移动支付给生活带来了便捷，如图
是黄老师2025年3月25日微信账单的收支明细（正数表示收
入，负数表示支出，单位：元），黄老师当天微信收支的最
终结果是( )
B
A. 收入21元 B. 收入4元
C. 支出5元 D. 支出12元
返回
同号两数相加
异号两数相加
一个数与 0 相加
和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.
互为相反数的两个数相加得 0
仍得这个数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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