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2.1.1.2 有理数的加法运算律
有理数的加法运算律是简化有理数加法运算的重要工具，它不仅延续了小学阶段加法运算律的核心思想，还能灵活应对含负数的复杂运算场景。通过合理运用运算律，可大幅降低计算难度，提高运算效率。
加法运算律的再认识
加法交换律：
文字表述：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。
符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)，都有\(a + b = b + a\)。
推导验证：
以\(a = -3\)，\(b = 5\)为例，\(a + b = -3 + 5 = 2\)，\(b + a = 5 + (-3) = 2\)，两者结果相等。
从数轴角度看，\(a + b\)表示从原点先向右（或左）移动\(|a|\)个单位，再移动\(|b|\)个单位；\(b + a\)则是先移动\(|b|\)个单位，再移动\(|a|\)个单位，最终到达的位置相同，因此和不变。
核心作用：改变加数的顺序，使便于计算的数相邻，如将正数与正数、负数与负数交换位置。
加法结合律：
文字表述：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\((a + b) + c = a + (b + c)\)。
推导验证：
取\(a = -2\)，\(b = 3\)，\(c = -4\)，则\((a + b) + c = (-2 + 3) + (-4) = 1 + (-4) = -3\)；\(a + (b + c) = -2 + (3 + (-4)) = -2 + (-1) = -3\)，结果一致。
从运算逻辑看，加法结合律本质是改变运算分组方式，不影响最终累加结果。
核心作用：将能凑整、抵消或简化计算的数优先结合，减少运算步骤。
运算律的灵活应用场景
同号结合法：
当算式中既有正数又有负数时，将所有正数结合相加，所有负数结合相加，再进行最终运算。
示例：计算\((-5) + 3 + 5 + (-2)\)
解：原式\(=[(-5) + (-2)] + (3 + 5) = (-7) + 8 = 1\)
优势：避免正负交替运算导致的符号错误，集中处理同类型数。
相反数结合法：
若算式中存在互为相反数的数（和为 0），优先将它们结合相加，直接抵消。
示例：计算\(7 + (-3) + (-7) + 2\)
解：原式\(=[7 + (-7)] + [(-3) + 2] = 0 + (-1) = -1\)
关键：快速识别相反数（如\(a\)与\(-a\)），利用 “相反数和为 0” 的性质简化。
凑整结合法：
观察数的特征，将和为整数（或易算结果）的数结合相加。
示例 1：小数凑整：\(1.25 + (-0.5) + 0.75 + (-2.5)\)
解：原式\(=(1.25 + 0.75) + [(-0.5) + (-2.5)] = 2 + (-3) = -1\)
示例 2：分数凑整：\(\frac{1}{3} + (-\frac{1}{2}) + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\)
解：原式\(=(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + [(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}] = 1 + 0 = 1\)
技巧：关注互补数（如\(0.25 + 0.75 = 1\)）、同分母分数等特殊组合。
多重括号简化法：
对于含多层括号的算式，利用结合律去括号后重新分组。
示例：计算\([(-4) + (-3)] + (5 + 2) + (-1)\)
解：原式\(=(-4 - 3) + 7 - 1 = (-7) + 7 - 1 = 0 - 1 = -1\)
原则：去括号后按符号或特征重新组合，避免分步计算的繁琐。
运算律应用的注意事项
符号携带原则：
交换或结合加数时，必须连同数前面的符号一起移动，避免符号脱落。
错误示例：\(-3 + 5\)误写成\(3 + (-5)\)（符号未随数移动），正确应为\(5 + (-3)\)。
分组合理性判断：
结合运算律分组时，需预判分组后是否简化计算，避免盲目分组。
反例：计算\(2 + (-3) + (-4) + 5\)时，若错误分组为\([2 + (-3)] + [(-4) + 5] = (-1) + 1 = 0\)，虽结果正确，但更优分组应为\((2 + 5) + [(-3) + (-4)] = 7 - 7 = 0\)，步骤更简洁。
多步运算分步验证：
复杂算式运用运算律后，可分步记录中间结果，便于检查每一步的正确性。
示例：计算\(10 + (-8) + (-12) + 15 + (-5)\)
分步过程：
① 正数结合：\(10 + 15 = 25\)
② 负数结合：\((-8) + (-12) + (-5) = -25\)
③ 最终结果：\(25 + (-25) = 0\)
与小学运算律的联系与区别：
有理数加法运算律与小学加法运算律的形式完全一致，但需注意：小学阶段数均为非负数，无需考虑符号问题；而有理数运算中，符号是核心要素，运算律的应用需始终围绕符号规则展开。
典型例题解析
例 1：运用运算律计算\((-13) + 5 + 13 + (-5)\)
解：原式\(=[(-13) + 13] + [5 + (-5)] = 0 + 0 = 0\)（相反数结合）
例 2：计算\(2.4 + (-3.5) + 1.6 + (-0.5)\)
解：原式\(=(2.4 + 1.6) + [(-3.5) + (-0.5)] = 4 + (-4) = 0\)（凑整结合）
例 3：计算\(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + (-\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}\)
解：原式\(=[-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}] + [\frac{3}{4} + (-\frac{1}{4})] = 0 + \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)（相反数 + 同分母结合）
例 4：计算\(1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6) + \dots + 99 + (-100)\)
解：原式\(=[1 + (-2)] + [3 + (-4)] + \dots + [99 + (-100)]\)（分组结合）\(=(-1) + (-1) + \dots + (-1)\)（共 50 组）\(= -50\)
通过以上内容可以看出，有理数加法运算律的核心是 “合理分组、简化运算”，熟练掌握后能显著提升计算的准确性和效率。在实际运算中，需根据算式特点灵活选择结合方式，养成 “先观察、再分组、后计算” 的良好习惯。
2024人教版数学七年级上册
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2.1.1.2有理数的加法运算律
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能叙述有理数加法运算律.
2.会运用加法运算律进行有理数加法简便运算.
新课导入
我们以前学过加法交换律、结合律，对于有理数的加法，它们还成立吗？
加法交换律: a + b = b + a
加法结合律: （a + b）+ c = a +（b + c）
探 究
计算： 30 +（-20），（-20）+ 30.
30 +（-20）= 30-20 = 10，
（-20）+ 30 = 30-20 = 10.
两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试.
① (-5)＋(-13) ，(-13)＋(-5)；
② (-37)＋16，16＋(-37).
归 纳
在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
从上述计算中，你能得出什么结论？
加法交换律： a + b = b + a
探 究
计算： [8+(-5)]+(-4)，8+[(-5)+(-4)].
[8+(-5)]+(-4) = 3 + (-4) = -1，
8+[(-5)+(-4)]= 8 +(-9)= -1.
两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试.
从上述计算中，你能得出什么结论？
在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
归 纳
特别提醒：
根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加.
加法结合律: (a + b)+ c = a +(b + c)
巩固练习
计算：
7.3 + (-13.7) + (-25.3) + 13.7.
解：原式 = [7.3 + (-25.3)] +[(-13.7) + 13.7].
= (-18) + 0
= - 18
例 题
例 2 计算：
【教材P29】
（1）8 + (-6) + (-8)； （2）16 + (-25) +24 +(-35).
解：（1） 8 + (-6) + (-8)
= [8 + (-8)]+(-6)
= 0 +(-6)
= -6；
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
例 题
例 2 计算：
【教材P29】
（1）8 + (-6) + (-8)； （2）16 + (-25) +24 +(-35).
（2） 16 + (-25) + 24 + (-35)
= (16 + 24) +[(-25) + (-35)]
= 40 +(-60)
= -20.
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
例 题
【教材P29】
例 3 10 袋小麦称后记录(单位:kg)如图所示. 10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以 50 kg 为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
解法1：先计算 10 袋小麦一共多少千克：
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5
再计算总计超过多少千克：
502.5 - 50×10 = 2.5.
解法2：把每袋小麦超过 50 kg 的千克数记作正数，不足的千克数记作负数. 10 袋小麦对应的数分别为 +0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8，-0.6，+0.9，+0.4.
0.5 + 0.5 + 0.8 +(-0.5)+ 0.6 + 0.7+(-0.8)+(-0.6) + 0.9 + 0.4
= [0.5 +(-0.5)] + [0.8+(-0.8)] + [0.6+(-0.6)] +
(0.5+0.7+0.9 + 0.4)
= 2.5
50×10 + 2.5 = 502.5.
答：10 袋小麦一共 502.5 kg，总计超过 2.5 kg.
比较两种解法.解法 2 中使用了哪些运算律？
练 习
【教材P30】
1. 计算：
（1）23+(-17)+6+(-22)； （2）(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)；
解：（1）原式 = (23 - 22) +［(-17) +6］
= 1 +(-11)
= -10
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
（2）原式 = ［(-2)+ 2］+［3+(-3)］+［1+(-4)］
= 0+0+(-3)
= -3
练 习
【教材P30】
1. 计算：
（1）23+(-17)+6+(-22)； （2）(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)；
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
（3） ；（4） .
（3）原式 =
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
（3） ；（4） .
（4）原式 =
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
有理数加法的常用运算技巧：
（1）相反数结合法：互为相反数的两个数结合到一起相加；
（2）同号结合法：符号相同的数分别结合到一起相加；
（3）同分母结合法：同分母(或易通分)的数结合到一起相加；
（4）凑整法：能凑成整数的几个数结合到一起相加；
（5）同形结合法：整数与整数、小数与小数分别结合到一起相加.
利用有理数的加法解下列各题(第2~3题)：
2. 某银行储蓄卡中存有人民币 450 元，先取出 80 元，随后又存入 150 元. 储蓄卡中还存有人民币多少元？
450 + (-80) + 150
= [450 +150]+ (-80)
= 600 - 80
= 520
答：储蓄卡中还存有人民币 520 元.
【教材P30】
1. 下列变形中，运用加法运算律正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
2. 能与 相加得0的是( )
C
A. B. C. D.
返回
3.母题教材P30练习 一个水利勘察队第一天向上游走
，第二天向上游走，第三天向下游走 ，
第四天向下游走，这时勘察队在出发点的上游__ 处.
（规定向上游走为正）
返回
4.绝对值小于2 025的所有整数的和为___.
0
返回
5.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，
将0，， ，1，2这五个数分别填在五个小
正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之
和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可
0（答案不唯一）
以是_________________.（写出一个符合题意的数即可）
返回
6.［2025宜宾月考］计算下面各题：
（1） ；
【解】
.
（2） ；
.
（3） ;
.
（4） .
.
返回
有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
加法交换律： a + b = b + a
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
加法结合律: (a + b)+ c = a +(b + c)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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