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2.1.2.1 有理数的减法
有理数的减法是有理数运算体系中的重要组成部分，它建立在加法运算的基础上，通过转化思想将减法运算转化为加法运算，从而简化计算过程。掌握有理数减法的法则和技巧，能有效解决实际问题中涉及的差值计算。
有理数减法的定义与法则
定义解读：
有理数的减法是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。例如，若\(a + b = c\)，则\(c - a = b\)，其中\(c\)是被减数，\(a\)是减数，\(b\)是差。
核心法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用符号表示为：对于任意有理数\(a\)、\(b\)，都有\(a - b = a + (-b)\)。
关键词解析：“减去一个数” 中的 “数” 可以是正数、负数或 0；“加上这个数的相反数” 明确了减法向加法的转化路径，即改变减数的符号后与被减数相加。
法则推导：
从加法与减法的互逆关系出发，若\(a - b = x\)，则\(x + b = a\)。根据加法法则，\(x = a + (-b)\)，因此\(a - b = a + (-b)\)。
例如：计算\(5 - 3\)，可转化为\(5 + (-3) = 2\)，与小学减法结果一致；计算\(3 - 5\)，转化为\(3 + (-5) = -2\)，体现了有理数减法与小学减法的区别。
减法运算的步骤与示例
运算步骤：
① 确定被减数和减数：在算式\(a - b\)中，\(a\)是被减数，\(b\)是减数。
② 转化减法为加法：将 “\(-b\)” 变为 “\(+(-b)\)”，即\(a - b = a + (-b)\)。
③ 按加法法则计算：根据有理数加法的符号法则和绝对值规则计算结果。
基础示例：
例 1：计算\(7 - 4\)
解：原式\(= 7 + (-4) = 3\)（正数减正数，转化为加负数后按异号加法计算）
例 2：计算\(4 - 7\)
解：原式\(= 4 + (-7) = -3\)（小数减大数，结果为负，用大绝对值减小绝对值）
例 3：计算\(-3 - 5\)
解：原式\(= -3 + (-5) = -8\)（负数减正数，转化为同号加法，取负号后绝对值相加）
例 4：计算\(-5 - (-3)\)
解：原式\(= -5 + 3 = -2\)（负数减负数，减数变号后转化为异号加法）
例 5：计算\(0 - 6\)
解：原式\(= 0 + (-6) = -6\)（0 减正数，结果为该正数的相反数）
含分数和小数的减法示例：
例 6：计算\(2.5 - (-1.5)\)
解：原式\(= 2.5 + 1.5 = 4\)（小数减负数，转化为小数加正数）
例 7：计算\(-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)
解：原式\(= -\frac{1}{2} + (-\frac{1}{3}) = -\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{5}{6}\)（分数减正数，转化为同号分数加法）
减法运算的实际应用
温差计算：
某地某天的最高气温是\(8 \)，最低气温是\(-2 \)，则温差为最高气温减去最低气温，即\(8 - (-2) = 8 + 2 = 10 \)。
海拔差值计算：
珠穆朗玛峰的海拔约为\(8848\)米，吐鲁番盆地的海拔约为\(-154\)米，两者的海拔差为\(8848 - (-154) = 8848 + 154 = 9002\)米。
财务盈亏计算：
某商店第一天盈利\(300\)元，第二天亏损\(120\)元，第一天比第二天多盈利\(300 - (-120) = 300 + 120 = 420\)元。
减法运算中的注意事项
符号变化准确：
转化减法为加法时，务必将减数的符号改变，同时保持被减数的符号不变。
错误示例：\(5 - (-3)\)误写成\(5 + (-3)\)（未正确改变减数符号），正确应为\(5 + 3 = 8\)。
区分运算符号与性质符号：
算式中 “\(-\)” 既可以表示减法运算符号，也可以表示负数的性质符号，需结合上下文明确含义。
例如：\(-3 - 5\)中，第一个 “\(-\)” 是性质符号（表示负 3），第二个 “\(-\)” 是运算符号（表示减法），转化后为\(-3 + (-5)\)。
分步书写避免出错：
复杂减法运算中，建议分步写出转化过程，再进行加法计算。
例如：计算\(-7 - (-4) - 9\)
分步过程：
① 转化第一个减法：\(-7 + 4 - 9\)
② 转化第二个减法：\(-7 + 4 + (-9)\)
③ 按加法计算：\((-7 - 9) + 4 = -16 + 4 = -12\)
与加法运算律结合使用：
多个有理数相减时，可利用加法交换律和结合律简化计算，将易凑整的数结合。
示例：计算\(12 - 5 - 12 + 8\)
解：原式\(= (12 - 12) + (-5 + 8) = 0 + 3 = 3\)（交换位置后结合同号或相反数）
典型例题解析
例 1：计算\((-10) - 2 + (-5) - (-13)\)
解：原式\(= -10 + (-2) + (-5) + 13 = (-10 - 2 - 5) + 13 = -17 + 13 = -4\)
例 2：已知\(a = -3\)，\(b = 5\)，求\(a - b\)和\(b - a\)的值，并比较两者关系。
解：\(a - b = -3 - 5 = -8\)；\(b - a = 5 - (-3) = 8\)。两者互为相反数，即\(a - b = -(b - a)\)。
例 3：某水库的水位第一天上升\(0.5\)米，第二天下降\(0.3\)米，第三天又下降\(0.2\)米，三天后水库水位变化了多少？
解：上升记为正，下降记为负，变化量为\(0.5 - 0.3 - 0.2 = 0.5 + (-0.3) + (-0.2) = 0.5 - 0.5 = 0\)米，即水位无变化。
有理数减法的核心是 “转化思想”，通过将减法转化为加法，统一了有理数的加减运算规则。在实际运算中，需牢记符号变化规律，灵活运用加法运算律，确保计算准确高效。同时，结合实际问题理解减法的意义，能更好地掌握这一运算方法。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1.2.1有理数的减法
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 知道有理数的减法法则.
2. 能熟练地运用有理数的减法法则进行
有理数的减法运算.
3. 通过加与减两种运算的对立统一关系，
建立“转化”的数学思想.
知识回顾
有理数的加法法则：
确定类型 定符号 绝对值
同号
异号（绝对值不相等）
异号（互为相反数） 与 0 相加 取相同符号
相加
取绝对值较大的加数的符号
结果是 0
相减
仍是这个数
新知探索
北京某一天气温是－3 C～3 C，这天的温差是多少摄氏度呢？
温差是指最高气温减最低气温.
3 -(-3)
= 6
在小学，我们学习减法时，知道减法是加法的逆运算，在把减法推广到有理数范围内时，为使减法运算具有一致性，规定有理数的减法与加法之间仍然具有上述关系.
3 -(-3)= ？
想一想，哪个数与 -3 相加得 3.
6 +(-3)= 3
3 -(-3)= 6 ①
3 -(-3)= 6 ①
另一方面，我们知道
3 +(+3)= 6 ②
由①②，得
3 -(-3)= 3 +(+3) ③
探 究
把 3 分别换成 0，-1，-5，用上面的方法考虑.
3 -(-3)= 6
0-(-3) = _____；(-1)-(-3) = _____；(-5)-(-3)=_____.
这些数减 -3 的结果与它们加 +3 的结果相同吗？
0 + 3 = ______；(-1) + 3 = ______；(-5) + 3 =_____.
+3
+2
-2
+3
+2
-2
这些数减 -3 的结果与它们加 +3 的结果相同.
计算：
9-8 = ______；9 + (-8)=_____；
15-7 = _______；15 + (-7)=_____.
从中又有什么新发现？
1
1
8
8
归 纳
减去一个数，等于加这个数的相反数.
有理数减法法则：
有理数减法法则也可以表示成
a - b = a +(-b)
两个有理数相减，差是一个有理数.
特别提醒
减法法则也可表述为“两变一不变”：减号变加号，减数变相反数，被减数不变.
“-”变“+”
被减数不变
减数变相反数
2 - 3 = 2 + (-3)
例 题
例 4 计算：
【教材P31】
（1）(-3) - (-5)； （2）0 -7；（3）2-5；
解：（1） (-3) -(-5) = (-3)+ 5 = 2；
（4）7.2 -(-4.8)； （5） .
（2）0 - 7 = 0+(-7) = -7；
（3）2 - 5 = 2 +(-5) = -3；
例 题
例 4 计算：
【教材P31】
（1）(-3) - (-5)； （2）0 -7；（3）2-5；
（4）7.2 -(-4.8)； （5） .
（4）7.2-(-4.8) = 7.2 + 4.8 = 12；
（5） .
知识点睛
有理数减法的运算步骤：
①把减号变为加号；
②把减数变为它的相反数；
③按照有理数加法法则进行运算.
例 题
计算：（1）0-(-9)；（2）0-3；（3）20-0.
解：（1）原式 = 0 + 9 = 9；
（2）原式 = 0 + (-3) = -3；
（3）原式 = 20.
含“0”的有理数的减法
（1）0 减去任何数都等于这个数的相反数；
（2）任何数减去 0，仍得这个数.
在小学，只有当 a 大于或等于 b 时（其中 a，b 是 0 或正数），我们才能计算 a-b（如 2-1，1-1）. 现在，当 a 小于 b 时，你能计算 a-b（如 1-2，(-1)-1）吗？
思 考
在数学发展史中，使较小的正数减去较大正数的运算能正常进行，并与已有的运算不矛盾，是引入负数的一个重要原因.
两数相减时差的符号：
拓 展
(-3)-(-5)
= (-3) + 5 = 2
7.2 -(-4.8)
= 7.2 + 4.8 = 12
较大的数 - 较小的数 = 正数，即若 a > b，则 a-b>0.
2 - 5
= 2+(-5) = -3
较小的数 - 较大的数 = 负数，即若 a < b，则 a-b<0.
100 - 100
= 0
相等的两个数的差为 0，即若 a = b，则 a - b = 0.
练 习
【教材P32】
1. 计算：
（1）6-9； （2）(+4)-(-7)；（3）(-5)-(-8)；
解：（1）6-9 = 6+(-9) = -3；
（2）(+4)-(-7) = 4 + 7 = 11；
（3）(-5)-(-8) = (-5)+ 8 = 3；
1. 计算：
（4）0-(-5)； （5）0-0.2；（6）(-2.5)-5.9；
（4）0-(-5) = 0 + 5 = 5；
（5）0-0.2 = 0 +(-0.2) = -0.2；
（6）(-2.5)-5.9 = (-2.5) +(-5.9) = -8.4；
练 习
【教材P32】
1. 计算：
（7）1.9-(-0.6)； （8） ；（9） .
（7）1.9-(-0.6) = 1.9 + 0.6 = 2.5；
（8） ；
（9） .
练 习
【教材P32】
【教材P32】
2. 计算：
（1）比 2 ℃ 低 8 ℃ 的温度；
（2）比 -3℃ 低 6 ℃ 的温度.
解：（1）2-8 = 2+(-8) = -6（℃）；
（2）-3-6 = (-3)+(-6) = -9（℃）.
1. ［2024天津］计算 的结果等于( )
D
A. B. 0 C. 3 D. 6
在进行减法运算时，首先弄清减数的符号，将有理
数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号
（减号变加号），二是减数的性质符号（减数变相反数）.
返回
2. 仔细观察如图资料卡中的信息，可以发
现水银的凝固点比酒精的凝固点高( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 如图，数轴上，两点之间的距离是，那么点 表示
的数是( )
D
A. 3 B. C. 1 D.
返回
4. 下列结论不正确的是( )
C
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，且，则
返回
5.［2025深圳罗湖区期中］小莲学完数轴后，对数轴的应用
进行了探究：她将长为的铅笔放在画好的数轴上
数轴上，1个单位长度表示 ，发现铅笔两端刚好对应了
一对相反数，现在她将该铅笔往左平移3个单位长度，此时
铅笔左边端点对应的有理数是____.
返回
减去一个数，等于加这个数的相反数.
有理数减法法则：
有理数减法法则也可以表示成
a - b = a +(-b)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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