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2.1.2.2 有理数的加减混合运算
有理数的加减混合运算是有理数加法和减法的综合应用，其核心是通过转化思想将减法统一为加法，再利用加法运算律简化计算。掌握混合运算的规则和技巧，能有效应对复杂的数值计算问题。
运算的转化与统一表示
减法转加法的原则：
根据有理数减法法则，任何减法运算都可转化为加法运算，即\(a - b = a + (-b)\)。因此，加减混合运算式可统一表示为几个有理数的和的形式。
示例：将\(3 - 5 + 7 - 9\)转化为加法形式
解：原式\(= 3 + (-5) + 7 + (-9)\)（减号变加号，减数变相反数）
“代数和” 的概念：
转化后的算式\(a + (-b) + c + (-d)\)称为 “代数和”，其中每个数连同其前面的符号称为 “项”（如\(+3\)、\(-5\)、\(+7\)、\(-9\)都是项）。代数和的读法有两种：
按运算符号读：“3 减 5 加 7 减 9”
按性质符号读：“3、负 5、7、负 9 的和”
省略加号的写法：
在代数和中，为简化书写，可省略所有加号及括号，直接写成数与符号的组合。
示例：\(3 + (-5) + 7 + (-9)\)可写成\(3 - 5 + 7 - 9\)；\(-2 + (+3) + (-4) - (-5)\)可写成\(-2 + 3 - 4 + 5\)。
注意：省略加号后，每个符号既表示该项的性质符号，也间接表示运算符号（“+” 表示加，“-” 表示加负数）。
混合运算的顺序与步骤
基本运算顺序：
有理数加减混合运算遵循 “从左到右依次计算” 的原则，若有括号则先算括号内的运算（小括号→中括号→大括号）。
完整运算步骤：
① 统一转化：将所有减法转化为加法，写成代数和形式（可省略加号）。
② 合理分组：利用加法交换律和结合律，将便于计算的项（如互为相反数、同号数、凑整数的数）结合。
③ 分步计算：按分组顺序依次计算，得出最终结果。
示例演示：
例 1：计算\(12 - (-8) - 7 + (-5)\)
解：
① 转化：\(12 + 8 - 7 - 5\)（省略加号后）
② 分组：\((12 + 8) + (-7 - 5)\)（同号结合）
③ 计算：\(20 + (-12) = 8\)
例 2：计算\(-5 + 3 - (-2) - 11 + (-4)\)
解：
① 转化：\(-5 + 3 + 2 - 11 - 4\)
② 分组：\((-5 - 11 - 4) + (3 + 2)\)（负数、正数分别结合）
③ 计算：\(-20 + 5 = -15\)
简化运算的常用技巧
相反数结合法：
若算式中存在互为相反数的项（和为 0），优先结合它们，直接抵消。
示例：计算\(7 - 3 + 3 - 7 + 5\)
解：原式\(=(7 - 7) + (-3 + 3) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5\)
同号结合法：
将所有正数结合相加，所有负数结合相加，再进行最终的异号加法。
示例：计算\(-2.5 + 4.2 - 1.7 - 3.2 + 5\)
解：原式\(=(4.2 + 5) + (-2.5 - 1.7 - 3.2) = 9.2 + (-7.4) = 1.8\)
凑整结合法：
观察项的特征，将和为整数（或整十、整百）的项结合，简化计算。
示例：计算\(3\frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2} - 3\frac{2}{3}\)
解：原式\(=(3\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2}) + (-2\frac{1}{3} - 3\frac{2}{3}) = 5 + (-6) = -1\)（同分母分数凑整）
同分母分数结合法：
分数加减混合运算中，将同分母分数优先结合，减少通分次数。
示例：计算\(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}\)
解：原式\(=(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + (-\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + (-\frac{3}{4}) = \frac{1}{4}\)
去括号技巧：
若算式含括号，可先去括号再分组。去括号时遵循 “括号前是‘+’号，去括号后符号不变；括号前是‘-’号，去括号后符号全变” 的规则。
示例：计算\(8 - (3 - 5 + 7) + (-2)\)
解：
① 去括号：\(8 - 3 + 5 - 7 - 2\)（括号前是 “-”，括号内符号全变）
② 分组：\((8 + 5) + (-3 - 7 - 2) = 13 + (-12) = 1\)
含多层括号的混合运算
运算原则：
从内到外逐层去括号，每去一层括号后及时合并同类项或分组，避免符号混乱。
示例：计算\(10 - [8 - (2 + (-5)) - 1] + 3\)
解：
① 去最内层括号：\(10 - [8 - (2 - 5) - 1] + 3 = 10 - [8 - (-3) - 1] + 3\)
② 去中层括号：\(10 - [8 + 3 - 1] + 3 = 10 - 10 + 3\)
③ 去外层括号并计算：\(0 + 3 = 3\)
符号处理关键：
多层括号去括号时，每一步都要仔细核对符号变化，可在草稿纸上分步标注每一项的符号。
实际应用问题解析
温度变化问题：
某地区一周内的气温变化如下（单位：℃）：周一比上周日上升\(2\)，周二比周一下降\(3\)，周三比周二上升\(1\)，周四比周三下降\(5\)，周五比周四上升\(4\)。若上周日气温为\(10 \)，求周五的气温。
解：以上周日气温为基准，周五气温为：\(10 + 2 - 3 + 1 - 5 + 4 = 10 + (2 + 1 + 4) + (-3 - 5) = 10 + 7 - 8 = 9 \)
行程问题：
一物体从起点出发，先向东走\(15\)米，再向西走\(20\)米，接着向东走\(10\)米，最后向西走\(5\)米。求物体最终相对起点的位置。
解：向东为正，最终位置为：\(15 - 20 + 10 - 5 = (15 + 10) + (-20 - 5) = 25 - 25 = 0\)米（即回到起点）
易错点警示与规避
符号错误：
转化减法时，漏改减数符号（如\(5 - (-3)\)误写成\(5 + (-3)\)）。
去括号时，括号前是 “-” 号却未变号（如\(3 - (2 - 5)\)误写成\(3 - 2 - 5\)）。
规避：转化和去括号后，逐项检查符号是否正确，可将每一项的符号单独标注。
运算顺序错误：
未按从左到右顺序计算，盲目凑整（如\(10 - 5 + 5\)误算为\(10 - (5 + 5) = 0\)，正确应为\(10 - 5 + 5 = 10\)）。
规避：分组结合时需确保不改变原式运算顺序，添加括号前明确结合的项。
分数与小数运算混淆：
分数与小数混合时，未统一形式导致计算错误（如\(0.5 - \frac{1}{3}\)直接相减）。
规避：根据题目特点统一为分数或小数（如\(0.5 = \frac{1}{2}\)，则\(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)）。
典型例题解析
例 1：计算\(-12 + 11 - 8 + 39\)
解：原式\(=(-12 - 8) + (11 + 39) = -20 + 50 = 30\)（同号结合）
例 2：计算\(3.75 - [(-\frac{3}{8}) + (-\frac{1}{2}) - (-\frac{5}{6})] + 4\frac{1}{6}\)
解：
① 去括号：\(3.75 + \frac{3}{8} + \frac{1}{2} - \frac{5}{6} + 4\frac{1}{6}\)（统一小数为分数：\(3.75 = 3\frac{3}{4}\)）
② 分组：\((3\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{1}{2}) + (-\frac{5}{6} + 4\frac{1}{6})\)
③ 计算：\(4\frac{5}{8} + 3\frac{1}{3} = 7\frac{23}{24}\)
例 3：已知\(a = -4\)，\(b = 6\)，\(c = -8\)，求\(a - b + c - (a + b - c)\)的值。
解：
① 化简原式：\(a - b + c - a - b + c = -2b + 2c\)
② 代入值：\(-2 6 + 2 (-8) = -12 - 16 = -28\)
有理数加减混合运算的核心是 “转化与结合”，通过将减法转化为加法，利用运算律合理分组，可大幅降低计算难度。在实际运算中，需养成 “先观察、再转化、后分组” 的习惯，仔细处理符号和括号，确保每一步运算准确无误。结合实际问题理解运算的意义，能进一步加深对混合运算规则的掌握。
2024人教版数学七年级上册
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2.1.2.2有理数的加减混合运算
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 学会把有理数加减法的算式统一成只有加法
的算式.
2. 能正确熟练地进行有理数的加减混合运算.
1. 有理数的加法法则.
2. 有理数的加法运算律.
同号两个数相加；
异号两个数相加；
一个数与 0 相加.
加法交换律： a + b = b + a
加法结合律: (a + b)+ c = a +(b + c)
3. 有理数的减法法则.
4. 小学加减法混合运算的顺序是怎样的？
a - b = a +(-b)
从左到右依次计算， 如果有括号则先计算括号里的内容.
新知探索
例 5 计算 (-20)+(+3)-(-5)-(+7).
小明是这样做的
原式 = -17-(-5)-(+7)
= -12 -(+7)
= -19
你还有其他的方法吗？
分析：这个算式中既有加法，也有减法，可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法.
这个算式可以改写为
(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
然后再进行有理数的加法运算.
例 5 计算 (-20)+(+3)-(-5)-(+7).
解： (-20)+(+3)-(-5)-(+7)
例 5 计算 (-20)+(+3)-(-5)-(+7).
=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
=[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5)]
= (-27) +(+8)
= -19.
减法法则
加法交换律、结合律
归 纳
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.
a + b - c = a + b +(-c)
算式 (-20)+(+3)+(+5)+(-7)是 -20，+3，+5，-7 这四个数的和.
为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为
-20 + 3 + 5 - 7
这个算式可以读作“负 20、正 3、正 5、负 7 的和”，或读作“负 20 加 3 加 5 减 7”.
解： (-20)+(+3)-(-5)-(+7)
例 5 计算 (-20)+(+3)-(-5)-(+7).
= -20 + 3 + 5 - 7
= -20 - 7 + 3 + 5
= -27 + 8
= -19.
例 题
例 6 计算 14–25 + 12 - 17.
解： 14–25 + 12 - 17
= 14 + 12–25 - 17
= 26 - 42
= - 16.
及时巩固
把(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+(+3)先改写成省略括号和加号的形式，再计算.
解：(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+(+3)
= 9+(-10)+(-2)+(+8)+ 3
= 9 - 10-2 + 8 + 3
= 9 + 8 + 3 - 10 - 2
= 8
知识点睛
简化符号的规律 同号得正 异号得负
一般形式
+(+a) = +a，
-(-a) = +a
+(-a) = -a，
-(+a) = -a
有理数加减法混合运算的符号简写方法：
1. 一个数前面有偶数个“－”号，结果为正；
2. 一个数前面有奇数个“－”号，结果为负；
3. 0 前面无论有几个“－”号，结果都为 0.
探 究
在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b. 对于下列各组数 a，b .
a = 2，b = 6；a = 0，b = 6；a = 2，b = -6；a = -2，b = -6.
（1）观察点 A，B 在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
4
6
8
4
在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b. 对于下列各组数 a，b .
a = 2，b = 6；a = 0，b = 6；a = 2，b = -6；a = -2，b = -6.
探 究
（2）利用有理数的运算，你能用含有 a，b 的算式表示上述各组点 A，B 之间的距离吗？
|2-6| = 4
|0-6| = 6
|2-(-6)| = 8
|(-2)-(-6)| = 4
数轴上两点之间的距离：
在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b，则点 A，B 之间的距离为 | a－b |.
知识点睛
【教材P34】
1. 计算：
（1）1-4+3-0.5； （2）-2.4 + 3.5-4.6 + 3.5；
解：1-4+3-0.5
= -4-0.5 + 1 + 3
= -4.5 + 4
= -0.5；
-2.4 + 3.5-4.6+3.5
= -2.4-4.6 + 3.5 + 3.5
= -7 + 7
= 0；
【教材P34】
1. 计算：
（3）(-7)-(+5)+(-4)-(-10)；（4） .
(-7)-(+5)+(-4)-(-10)
= -7-5 - 4 + 10
= -16 + 10
= -6；
2. 将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算：
（1）(-52)-(+37)+(-19)-(-24)；
（2） .
（1）原式 = -52-37-19+24 = -108 +24 = -84；
（2）原式 = = = .
1. 计算：
【教材P34，习题2.2】
（1）(-10)+(+6)； （2）(+12)+(-4)；
（5）(-0.9)+(-2.7)； （6）(-2.1)+(+3.9)；
（3）(-5)+(-7)； （4）(+6.2)+(-9.3)；
-4
8
-12
-3.1
-3.6
1.8
（7） ； （8） ； （9） .
2. 计算：
（1）(-8)+ 10 + 2 +(-1)；
（2）5 +(-6)+ 3 + 9 +(-4)+(-7)；
（3）(-0.8)+ 1.2 +(-0.7)+(-2.1)+ 0.8 + 3.5；
（4） .
3
0
1.9
3. 计算：
（1）(-8)-8； （2）(-8)-(-8)； （3）8-(-8)；
（4）8-8； （5）0-6； （6）0-(-6)；
（7）16-47； （8）(-3.8)-(+7)； （9）(-5.9)-(-6.1).
-16
0
16
0
-6
6
-31
-10.8
0.2
4. 计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ；
（7） ； （8） .
1
-8
【教材P35】
5. 计算：
（1）-4.2+5.7-8.4+10； （2） ；
（3）12-(-18)+(-7)-15； （4）4.7-(-8.9)-7.5+(-6)；
（5） ；
（6） .
3.1
8
0.1
0
综合运用
6. 如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差多少米？
解：8848.86－(－432)
= 8848.86 + 432
= 9280.86
答：两处高度相差 9280.86 m.
-432m
7. 某地一天早晨的气温是-7℃，中午上升了 11 ℃，半夜又下降了 9 ℃，半夜的气温是多少摄氏度？
解：－7 + 11－9 = －5
答：半夜的气温是 －5℃.
8. 某食品店一星期中各天的盈亏情况如下（记盈余为正）：
432 元，-12.5 元，-10.5 元，327 元，-87 元，536.5 元，698 元.
食品店这一星期总的盈亏情况如何？
解：432 +(－12.5) + (－10.5) + 327 + (－87) + 536.5 + 698 = 1883.5
答：食品店这一星期总盈利 1883.5 元.
9. 有 8 筐白菜，以每筐 25 kg 为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：kg）如下：
1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5.
这 8 筐白菜一共多少千克？
解：1.5 +(－3) + 2 + (－0.5) + 1 + (－2) + (－2)+ (－2.5) = －5.5.
25×8 + (－5.5) = 194.5.
答：这 8 筐白菜一共 194.5 kg.
【教材P36】
10. 某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最大？哪天的温差最小？
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温℃ 10 12 11 9 7 5 7
最低气温℃ 2 1 0 -1 -4 -5 -5
解：从星期一至星期日各天的温差分别为
10－2 = 8（℃），12－1 = 11（℃），11－0 = 11（℃），
9－(－1) = 10（℃），7－(－4) = 11（℃），5－(－5) = 10（℃），
7－(－5) = 12（℃）.
8 < 10 < 11 < 12
答：星期日的温差最大，星期一的温差最小.
拓广探索
11. 填空题.
（1）_____+11 = 27； （2）7+______= 4；
（3）(-9)+____= 9； （4）12+_______= 0；
（5）(-8)+______= -15； （6）_____+(-13)= -6.
16
(－3)
18
(－12)
(－7)
7
12. 计算下列各式的值：
(-2)+(-2)，
(-2)+(-2)+(-2)，
(-2)+(-2)+(-2) +(-2) ，
(-2)+(-2)+(-2) +(-2) +(-2).
猜想下列各式的值：
(-2)×2， (-2)×3， (-2)×4， (-2)×5.
你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？
－4
－6
－8
－10
－4
－6
－8
－10
法则：负数乘正数，积为负数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
13. 某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护. 某天早晨他们从 A 地出发，晚上最终到达 B 地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下：
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
（1）B 地在 A 地的哪个方向？它们相距多少千米？
（2）如果汽车行驶 1 km 平均耗油 a L，那么这天汽车共耗油多少升？
解：（1）(+18) + (－9) + (+7) + (－14) + (－6) + (+13) + (－6) + (－8) = －5.
答：B 地在 A 地的正南方向，它们相距 5 km.
（2）|+18| + |－9| + |+7| + |－14| + |－6| + |+13| + |－6| +
|－8| = 81，81×a = 81a.
答：这天汽车共耗油 81a L.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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