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2.2.1.1 有理数的乘法
有理数的乘法是有理数运算体系中的重要组成部分，它在日常生活和数学学习的诸多领域都有着广泛应用。从本质上讲，乘法是加法的简便运算，而有理数乘法则是在有理数范围内对这一运算概念的拓展，其核心在于明确不同符号有理数相乘时的运算规则以及运算律的运用。
乘法法则的探索与理解
从实际情境引入：
我们通过一个简单的行程问题来理解有理数乘法。假设汽车以每小时\(5\)千米的速度向东行驶（规定向东为正方向），\(3\)小时后汽车的位置变化如何表示呢？很明显，汽车向东行驶了\(5\times3 = 15\)千米，用数学式子表示为\(( + 5)\times( + 3)= + 15\)，这就是正数与正数相乘，结果为正数，并且是两个因数绝对值相乘（\(\vert + 5\vert\times\vert + 3\vert = 5\times3 = 15\)）。
现在，如果汽车以每小时\(5\)千米的速度向西行驶（向西为负方向），\(3\)小时后汽车的位置变化又该怎么表示呢？此时汽车向西行驶了\(5\times3 = 15\)千米，但方向是向西，所以用数学式子表示为\(( - 5)\times( + 3)= - 15\)，即负数与正数相乘，结果为负数，同样是两个因数绝对值相乘（\(\vert - 5\vert\times\vert + 3\vert = 5\times3 = 15\)）。
法则的完整推导：
再看正数与负数相乘的情况，例如\(( + 5)\times( - 3)\)。我们可以把它理解为与\(( + 5)\times( + 3)\)是相反意义的量，因为\(( + 5)\times( + 3)= + 15\)，所以\(( + 5)\times( - 3)= - 15\)，这也符合异号得负，绝对值相乘的规律。
最后探讨负数与负数相乘，如\(( - 5)\times( - 3)\)。它与\(( - 5)\times( + 3)\)是相反意义的量，已知\(( - 5)\times( + 3)= - 15\)，那么\(( - 5)\times( - 3)= + 15\)，即负数与负数相乘，结果为正数，依旧遵循绝对值相乘的规则。
对于任何数与\(0\)相乘，例如\(0\times5 = 0\)，\(( - 5)\times0 = 0\)，这表明任何数与\(0\)相乘，积都为\(0\)。
有理数乘法法则总结：
综合以上各种情况，有理数乘法法则为：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与\(0\)相乘，都得\(0\)。
在实际运算时，我们分两步进行：
第一步，确定积的符号：根据两个因数的符号，按照 “同号得正，异号得负” 的原则来确定。例如计算\(( - 4)\times( - 3)\)，两个因数都是负数，同号，所以积的符号为正；而计算\(( - 4)\times3\)，两个因数异号，积的符号为负。
第二步，计算积的绝对值：把两个因数的绝对值相乘。如刚才的\(( - 4)\times( - 3)\)，\(\vert - 4\vert\times\vert - 3\vert = 4\times3 = 12\)，再结合前面确定的符号，结果就是\( + 12\)；对于\(( - 4)\times3\)，\(\vert - 4\vert\times\vert3\vert = 4\times3 = 12\)，结合符号得到\(-12\)。
多个有理数相乘的规律
积的符号确定：
当几个不为\(0\)的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定。
若负因数的个数为偶数时，积为正。例如计算\(( - 2)\times( - 3)\times4\)，这里有\(2\)个负因数（负因数个数为偶数），先计算绝对值相乘\(\vert - 2\vert\times\vert - 3\vert\times\vert4\vert = 2\times3\times4 = 24\)，再根据负因数个数为偶数积为正的规律，结果为\( + 24\)。
当负因数的个数为奇数时，积为负。比如\(( - 2)\times3\times( - 4)\times( - 5)\)，有\(3\)个负因数（负因数个数为奇数），先算绝对值\(\vert - 2\vert\times\vert3\vert\times\vert - 4\vert\times\vert - 5\vert = 2\times3\times4\times5 = 120\)，由于负因数个数为奇数，所以积为\(-120\)。
因数中有\(0\)的情况：
如果几个数相乘，只要有一个因数为\(0\)，积就为\(0\)。例如\(3\times( - 5)\times0\times2 = 0\)，无论其他因数是什么，只要存在\(0\)这个因数，最终结果就是\(0\)。
有理数乘法与小学乘法的联系和区别
联系：
有理数乘法在确定符号之后，绝对值的计算与小学乘法相同，都是将因数的绝对值相乘。例如小学计算\(3\times4 = 12\)，在有理数乘法中计算\(( + 3)\times( + 4)\)，先确定符号为正，再计算绝对值相乘\(\vert + 3\vert\times\vert + 4\vert = 3\times4 = 12\)，结果也是\(12\)。
区别：
小学乘法只涉及正数和\(0\)，结果都是非负数；而有理数乘法涉及正数、负数和\(0\)，需要先确定积的符号，结果可以是正数、负数或\(0\)。这是有理数乘法与小学乘法最显著的区别。例如小学乘法不会出现\(( - 3)\times( - 4)\)这样的式子，而在有理数乘法中，要先判断符号（同号得正），再计算绝对值相乘得到结果。
有理数乘法运算律
乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置，积相等。用字母表示为\(ab = ba\)（\(a\)、\(b\)可以表示正数，也可以表示负数或\(0\)）。例如\(3\times( - 5)=( - 5)\times3\)，左边\(3\times( - 5)= - 15\)，右边\(( - 5)\times3 = - 15\)，交换因数位置后积不变。在实际运算中，运用乘法交换律时，要连同因数的符号一起变换位置。当多个有理数相乘时，通常运用交换律把互为倒数的或能约分的因数先结合，使计算简便。比如计算\(( - 2)\times( - \frac{1}{2})\times5\)，可以利用交换律先计算\(( - 2)\times( - \frac{1}{2}) = 1\)，再乘以\(5\)，结果为\(5\)。
乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。用字母表示为\((ab)c = a(bc)\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)可以表示正数，也可以表示负数或\(0\)）。例如\((2\times3)\times4 = 2\times(3\times4)\)，左边\((2\times3)\times4 = 6\times4 = 24\)，右边\(2\times(3\times4)=2\times12 = 24\)。在有理数乘法运算中，合理运用乘法结合律能简化计算。比如计算\(( - 2)\times( - 67)\times5\)，可以先计算\(( - 2)\times5 = - 10\)，再乘以\(-67\)，即\(( - 10)\times( - 67)=670\)。
乘法分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为\(a(b + c)=ab + ac\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)可以表示正数，也可以表示负数或\(0\)）。例如\(2\times(3 + 4)=2\times3 + 2\times4\)，左边\(2\times(3 + 4)=2\times7 = 14\)，右边\(2\times3 + 2\times4 = 6 + 8 = 14\)。在运用乘法分配律时，一方面，分别相乘时遵循乘法法则；另一方面将括号中两个数的和可以推广到多个数的和，同时在去括号时，不要漏项。例如计算\(( - 12)\times(\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2})\)，根据分配律可得\(( - 12)\times\frac{1}{4}-( - 12)\times\frac{2}{3}+( - 12)\times\frac{1}{2}=-3 - (-8)+(-6)= - 3 + 8 - 6 = - 1\)。同时，我们还要学会逆用乘法分配律，即\(ab + ac = a(b + c)\)。比如\(3\times\frac{1}{5}+3\times\frac{4}{5}=3\times(\frac{1}{5}+\frac{4}{5}) = 3\times1 = 3\)。
有理数乘法的实际应用
温度变化问题：
某地区的气温变化情况如下：第一天平均每小时下降\(2 \)，一共持续了\(3\)小时；第二天平均每小时上升\(1.5 \)，持续了\(4\)小时。问这两天该地区总的温度变化是多少？
第一天温度变化为\(( - 2)\times3 = - 6 \)（下降为负），第二天温度变化为\(( + 1.5)\times4 = 6 \)（上升为正）。
两天总的温度变化为\(( - 6)+6 = 0 \)，即温度没有发生总体变化。
商品销售利润问题：
某商店以每件\(80\)元的价格购进一批商品，若以每件\(100\)元销售，每天可卖出\(20\)件。经市场调查发现，如果每件商品降价\(1\)元，每天可多卖出\(2\)件。若商店想每天获得\(600\)元利润，每件商品应降价多少元？
设每件商品降价\(x\)元，则每件商品的售价为\((100 - x)\)元，每天可卖出\((20 + 2x)\)件。
根据利润 = （售价 - 进价）× 销售量，可列出方程\((100 - x - 80)(20 + 2x)=600\)，即\((20 - x)(20 + 2x)=600\)。
展开式子得\(20\times20 + 20\times2x - 20x - 2x^{2}=600\)，进一步化简为\(400 + 40x - 20x - 2x^{2}=600\)，即\(-2x^{2}+20x - 200 = 0\)，两边同时除以\(-2\)得\(x^{2}-10x + 100 = 0\)。
利用一元二次方程求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)（这里\(a = 1\)，\(b = - 10\)，\(c = 100\)），\(\Delta=b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\times1\times100 = 100 - 400=-300\lt0\)，此方程无实数根。
这说明在实际情况下，按照这种销售策略无法达到每天\(600\)元的利润。
易错点警示与规避
符号错误：
在确定积的符号时，容易出现判断失误。例如计算\(( - 3)\times( - 4)\times( - 5)\)，有些同学可能会错误地认为负因数个数为\(3\)个，积为正，而忽略了多个有理数相乘时积的符号由负因数个数的奇偶性决定，这里应该是积为负。
运用乘法分配律时，去括号后符号容易出错。比如\(( - 2)\times(3 - 5)\)，去括号后应该是\(( - 2)\times3-( - 2)\times5\)，而不是\(( - 2)\times3 - 2\times5\)，要注意括号前是负因数时，去括号后括号内各项符号要变号。
规避方法：在进行有理数乘法运算时，每一步都要仔细检查符号，尤其是在确定积的符号和去括号这两个关键步骤。可以在草稿纸上将每一步的符号变化清晰地标注出来，养成良好的运算习惯。
与加法法则混淆：
有理数乘法法则中的 “同号得正，异号得负” 与加法法则中的同号、异号情况容易混淆。例如在加法中，同号两数相加取相同符号并把绝对值相加，而异号两数相加取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减较小绝对值；但在乘法中，同号得正，异号得负，并且是把绝对值相乘。如计算\(( - 3)+5\)和\(( - 3)\times5\)，前者结果为\(2\)（异号两数相加），后者结果为\(-15\)（异号两数相乘）。
规避方法：强化对乘法法则和加法法则的理解和记忆，通过对比练习，加深对两者差异的认识，明确在不同运算中同号、异号情况的处理方式。
忽略运算顺序：
在进行有理数的四则混合运算时，如果有乘法和加法、减法等运算，容易忽略乘法运算优先级高于加法和减法的规则。例如计算\(3 + 2\times( - 4)\)，应该先计算乘法\(2\times( - 4)= - 8\)，再计算加法\(3+( - 8)= - 5\)，而不是先计算\(3 + 2 = 5\)，再乘以\(-4\)得到\(-20\)。
规避方法：牢记有理数四则运算的优先级规则，先乘除后加减，有括号先算括号内的运算。在遇到混合运算式子时，先观察式子中包含的运算类型，按照优先级逐步进行计算。
典型例题解析
例 1：计算\(( - 6)\times( - 8)\)
解：根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，所以积的符号为正。
再计算绝对值相乘\(\vert - 6\vert\times\vert - 8\vert = 6\times8 = 48\)。
所以\(( - 6)\times( - 8)=48\)。
例 2：计算\(( - \frac{3}{4})\times\frac{2}{3}\)
解：两个因数异号，根据乘法法则，积的符号为负。
计算绝对值相乘\(\vert - \frac{3}{4}\vert\times\vert\frac{2}{3}\vert=\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\)。
所以\(( - \frac{3}{4})\times\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\)。
例 3：计算\(( - 2)\times( - 3)\times( - 4)\)
解：这里有\(3\)个因数相乘，负因数个数为\(3\)个（奇数个），所以积的符号为负。
计算绝对值相乘 (\vert - 2\vert\times\vert - 3\vert\times\vert - 4\vert = 2\times3\times
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1.1有理数的乘法
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能叙述有理数乘法的法则.
2.能熟练地运用法则进行有理数乘法的运算.
引入负数后，在有理数范围内，乘法有哪几种情况？
正数 0 负数
正数
0
负数
正数×正数
正数×0
正数×负数
0×正数
0×0
0×负数
负数×正数
负数×0
负数×负数
分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？
（1）3 × 3 = 9，
3 × 2 = 6，
3 × 1 = 3，
3 × 0 = 0；
可以发现，对于（1）中的算式，随着后一乘数逐次
递减 1，积逐次递减 3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×(-1)= -3，
3×(-2)= ____，
3×(-3)= ____.
-6
-9
（2）3×3 = 9，
2×3 = 6，
1×3 = 3，
0×3 = 0.
对于（2）中的算式，随着前一乘数逐次递减 1，积逐次递减 3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
(-1)×3 = ____，
(-2)×3 = ____，
(-3)×3 = ____.
-3
-6
-9
3×3 = 9，
3×2 = 6，
3×1 = 3，
3×0 = 0；
3×3 = 9，
2×3 = 6，
1×3 = 3，
0×3 = 0.
3×(-1)= -3，
3×(-2)= ____，
3×(-3)= ____.
-6
-9
(-1)×3 = ____，
(-2)×3 = ____，
(-3)×3 = ____.
-3
-6
-9
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；
负数乘正数，积也为负数；积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
思 考
利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？
(-3)×3 = ____，
(-3)×2 = ____，
(-3)×1 = ____，
(-3)×0 = ____.
-9
-6
-3
0
可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减 1，积逐次增加 3.
按照上述规律，下面的空格应各填什么数？从中可以归纳出什么结论？
(-3)×(-1) = ____，
(-3)×(-2) = ____，
(-3)×(-3) = ____.
3
6
9
负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
归 纳
有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
（2）任何数与 0 相乘，都得 0.
设 a，b 为正有理数，c 为任意有理数，则
(+a)×(+b) = +(a×b)，
(-a)×(-b) = +(a×b)，
(-a)×(+b) = -(a×b)，
(+a)×(-b) = -(a×b)，
c×0 = 0，0×c = 0.
两个有理数相乘，积是一个有理数.
例 题
【教材P39】
例 1 计算：
（1）8×(-1)； （2） ；（3） .
解：（1）8×(-1) = -(8×1) = -8；
（2） ；
（3） .
知识点睛
有理数乘法的运算步骤：
（1）确定积的符号；
（2）确定积的绝对值.
和 互为倒数.
乘积是 1 的两个数互为倒数.
特别提醒：
（1）倒数是两个数之间的一种关系，单独的一个数不能称其为倒数.
（2）0 没有倒数. 倒数等于它本身的数只有 1，-1.
类 型 不同点 相同点
概念 表示 性质 判定 倒 数
相 反 数 乘积是 1 的两个数互为倒数
只有符号不同的两个数互为相反数
a（a ≠ 0）的倒数是
a 的相反数是 －a
若 a，b 互为倒数，则 a·b =1
若a，b 互为相反数，则 a+b = 0
若 a·b = 1， 则 a，b 互为倒数
若 a+b = 0， 则 a，b 互为相反数
都是成对出现
例 2　用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高 1 km 气温的变化量为 -6 ℃. 登高 3 km 后，气温有什么变化？
解：（－6）×3 =－18.
答：登高 3 km 后，气温下降 18 ℃.
例 题
【教材P40】
1. 计算：
（1）6×(-9)； （2）(-4)×6； （3）(-6)×(-1)；
（4）(-6)×0； （5）(-4)× ；（6） .
-54
-24
6
0
-1
2. 商店降价销售某种商品，每件降 5 元，售出 60 件. 与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？
解：-5×60 = -300
答：销售额下降 300 元.
3. 写出下列各数的倒数：
解：其倒数依次为
1. ［2025济宁月考］时光见证信仰，岁月磨砺初心.2025年，
我们迎来了祖国母亲76周年华诞，数字76的相反数的倒数是
( )
D
A. 76 B. C. D.
返回
2. 若的运算结果为正数，则 内的数字可以为
( )
D
A. 2 B. 1 C. 0 D.
返回
3. 与 互为倒数的是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】因为，所以与 互
为倒数的是.A.；B.；C. ；
D. .故选D.
返回
4. 下列说法：
①小于 的数的倒数大于其本身；
②大于1的数的倒数小于其本身；
的倒数是0；
④互为相反数的两数相乘，积一定为负；
⑤两个有理数的积的绝对值等于这两个有理数的绝对值的积.
其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
5.［2025北京东城区期中］若，互为倒数，， 互为相反
数，，则 的值为_______.
3或
返回
6. 按如图程序计算，如果输入的数是 ，那
么输出的数是______.
7.在数，1，，5， 中任取两个数相乘，其中最大的
积是____，最小的积是_____.
15
【点拨】在数，1，，5， 中任取两个数相乘，其中
最大的积为正数，即 ，最小的积为负数，
即 .
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同 0 相乘，都得 0.
有理数乘法的步骤：
两个有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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