资源简介

(共28张PPT)
2.2.1.2 有理数的乘法运算律
有理数的乘法运算律是简化有理数乘法运算的核心工具，它不仅继承了小学阶段乘法运算律的基本形式，更在包含负数的运算场景中展现出强大的简化作用。熟练掌握乘法交换律、结合律和分配律，能帮助我们快速准确地解决复杂的乘法运算问题。
乘法运算律的核心内容
乘法交换律：
定义：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。
符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)，都有\(a \times b = b \times a\)。
推导验证：
以\(a = -4\)，\(b = 5\)为例，左边\(a \times b = -4 \times 5 = -20\)，右边\(b \times a = 5 \times (-4) = -20\)，两边结果相等。
从乘法的本质来看，交换因数位置只是改变了相乘的顺序，而相同因数的累加结果并不会因此改变，因此交换律在有理数范围内依然成立。
直观理解：如同购物时先买\(3\)支单价\(-2\)元的笔（优惠\(2\)元），与先确认单价\(-2\)元再买\(3\)支，最终花费相同（\(3 \times (-2) = (-2) \times 3 = -6\)）。
乘法结合律：
定义：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)。
推导验证：
取\(a = -2\)，\(b = 3\)，\(c = -4\)，左边\((-2 \times 3) \times (-4) = (-6) \times (-4) = 24\)，右边\(-2 \times (3 \times (-4)) = -2 \times (-12) = 24\)，结果一致。
结合律体现了乘法运算中分组方式的灵活性，无论先计算哪两个数的积，最终的累加效果不变。
实际意义：如计算\(2\)箱饮料，每箱\(3\)排，每排\(-5\)瓶（空瓶抵扣），总抵扣瓶数既可先算\(2 \times 3 = 6\)排再乘\(-5\)，也可先算\(3 \times (-5) = -15\)瓶再乘\(2\)，结果均为\(-30\)瓶。
乘法分配律：
定义：一个有理数同两个有理数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)。
推导验证：
以\(a = -3\)，\(b = 2\)，\(c = -4\)为例，左边\(-3 \times (2 + (-4)) = -3 \times (-2) = 6\)，右边\(-3 \times 2 + (-3) \times (-4) = -6 + 12 = 6\)，两边相等。
分配律的本质是将复杂的和式乘法转化为简单的单项式乘法，体现了 “化整为零” 的简化思想。
拓展形式：当括号内是多个数的和或差时，分配律依然成立，即\(a \times (b + c - d) = a \times b + a \times c - a \times d\)。
运算律的应用场景与技巧
利用交换律与结合律简化计算：
同号结合：将符号相同的因数优先结合，减少符号判断次数。
示例：计算\((-5) \times (-3) \times 4 \times (-2)\)
解：原式\(=[(-5) \times (-3)] \times [4 \times (-2)] = 15 \times (-8) = -120\)（先结合同号因数）
凑整结合：将乘积为整数的因数结合，降低计算难度。
示例：计算\(25 \times (-7) \times (-4) \times \frac{1}{5}\)
解：原式\(=(25 \times (-4)) \times [(-7) \times \frac{1}{5}] = (-100) \times (-\frac{7}{5}) = 140\)（25 与 - 4 凑整）
倒数结合：将互为倒数的因数结合（积为 1），简化运算。
示例：计算\((-8) \times \frac{3}{4} \times (-\frac{1}{6}) \times \frac{2}{3}\)
解：原式\(=[(-8) \times \frac{3}{4}] \times [(-\frac{1}{6}) \times \frac{2}{3}] = (-6) \times (-\frac{1}{9}) = \frac{2}{3}\)（分步结合约分）
利用分配律简化计算：
正向应用：将括号外的因数分配到括号内各项。
示例：计算\((-12) \times (\frac{1}{3} - \frac{5}{6} + \frac{3}{4})\)
解：原式\(=(-12) \times \frac{1}{3} + (-12) \times (-\frac{5}{6}) + (-12) \times \frac{3}{4}\)\(= -4 + 10 - 9 = -3\)（逐项分配，注意符号）
逆向应用：提取公共因数，合并同类项。
示例：计算\(7 \times (-\frac{3}{14}) + 7 \times (-\frac{11}{14})\)
解：原式\(=7 \times [(-\frac{3}{14}) + (-\frac{11}{14})] = 7 \times (-1) = -7\)（提取公共因数 7）
拆数应用：将复杂因数拆分为简单数的和或差，再用分配律。
示例：计算\(99 \times (-5)\)
解：原式\(=(100 - 1) \times (-5) = 100 \times (-5) - 1 \times (-5) = -500 + 5 = -495\)（将 99 拆为 100-1）
多个运算律的综合应用：
步骤：先观察算式特征，确定优先使用的运算律，再分步简化。
示例：计算\((-24) \times (-\frac{1}{6} + \frac{3}{8} - \frac{1}{12}) \times 5\)
解：
① 交换律调整顺序：\((-24) \times 5 \times (-\frac{1}{6} + \frac{3}{8} - \frac{1}{12})\)
② 结合律分组：\(-120 \times (-\frac{1}{6} + \frac{3}{8} - \frac{1}{12})\)
③ 分配律展开：\(-120 \times (-\frac{1}{6}) + (-120) \times \frac{3}{8} - 120 \times (-\frac{1}{12})\)
④ 计算结果：\(20 - 45 + 10 = -15\)
运算律应用的注意事项
符号处理原则：
交换因数位置时，必须连同因数的符号一起移动，避免符号脱落。
错误示例：\(-3 \times 5\)误写成\(3 \times (-5)\)（符号未随数移动，虽结果相同但逻辑错误）。
运用分配律时，括号外的因数要与括号内每一项都相乘，且符号要单独判断。
错误示例：\(-2 \times (3 - 4)\)误写成\(-2 \times 3 - 4\)（漏乘第二项且符号错误），正确应为\(-6 + 8 = 2\)。
运算顺序优先级：
乘法运算律不能改变运算的优先级，有括号时仍需先算括号内的运算（除非使用分配律去括号）。
示例：计算\(8 \times (-\frac{1}{2}) \times (-3)\)，可先算\((-\frac{1}{2}) \times (-3) = \frac{3}{2}\)，再算\(8 \times \frac{3}{2} = 12\)，但不能忽略乘法优先级先算加法。
避免盲目使用运算律：
并非所有算式都需要用运算律，简单的直接计算更高效。例如\(2 \times (-3) \times 4\)直接计算即可，无需刻意分组。
分组或分配后若计算更复杂，则需调整策略。例如\((-3) \times (5 + 0.2)\)直接计算\(-3 \times 5.2 = -15.6\)，比分配律更简便。
特殊数的灵活处理：
遇到\(0\)因数时，可直接得出积为\(0\)，无需继续计算。例如\((-5) \times 0 \times 7 = 0\)。
遇到\(1\)或\(-1\)时，利用其特性简化：\(1 \times a = a\)，\(-1 \times a = -a\)。例如\(-1 \times (2 - 3) = -2 + 3 = 1\)。
典型例题解析
例 1：运用交换律和结合律计算\((-0.125) \times (-8) \times (-3) \times 0.5\)
解：原式\(=[(-0.125) \times (-8)] \times [(-3) \times 0.5] = 1 \times (-1.5) = -1.5\)
例 2：用分配律计算\(19\frac{15}{16} \times (-8)\)
解：原式\(=(20 - \frac{1}{16}) \times (-8) = 20 \times (-8) - \frac{1}{16} \times (-8) = -160 + 0.5 = -159.5\)
例 3：逆向运用分配律计算\(7.6 \times (-1) + 7.6 \times (-2) + 7.6 \times 3\)
解：原式\(=7.6 \times [(-1) + (-2) + 3] = 7.6 \times 0 = 0\)
例 4：综合运用运算律计算\((-\frac{1}{4}) \times (-\frac{8}{9}) + (-\frac{1}{4}) \times (-\frac{4}{3}) - \frac{1}{4} \times \frac{2}{9}\)
解：原式\(=(-\frac{1}{4}) \times [(-\frac{8}{9}) + (-\frac{4}{3}) - \frac{2}{9}]\)（提取公因式\(-\frac{1}{4}\)）\(=(-\frac{1}{4}) \times [(-\frac{8}{9} - \frac{2}{9}) - \frac{4}{3}]\)\(=(-\frac{1}{4}) \times (- \frac{10}{9} - \frac{12}{9}) = (-\frac{1}{4}) \times (-\frac{22}{9}) = \frac{11}{18}\)
有理数乘法运算律的核心价值在于 “简化运算、减少错误”。在实际应用中，需根据算式的具体特征灵活选择运算律，优先处理符号、凑整或提取公因式，同时时刻关注符号变化和运算顺序。通过大量练习形成对运算律的直觉判断，能显著提升乘法运算的效率和准确性。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1.2有理数的乘法运算律
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知道有理数乘法的运算律，并会运用运算律简化乘法运算.
在小学我们学过乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律，例如
思考：对于有理数的乘法，它们还成立吗？
3×5 = 5×3
(3×5)×2 = 3×(5×2)
3×(5+2) = 3×5+3×2
计算 5×(-6)，(-6)×5，
所得的积相同吗？换几组乘数再试一试.
5×(-6)= -30
(-6)×5 = -30
7×(-12) (-12)×7
8×(-9) (-9)×8
= -84
= -84
= -72
= -72
一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变.
归 纳
乘法交换律：ab = ba.
[(-4)×25]×3
(-4)×[25×3]
= -300
= -300
在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
乘法结合律：(ab)c = a(bc).
特别提醒：根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.
探 究
计算
5×[3+(-7)]
5×3 + 5×(-7)
所得的结果相同吗？换几组数再试一试.
= -20
= -20
= 6
= 6
一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
归 纳
分配律：a(b + c) = ab + ac.
例 题
【教材P39】
例 3 （1）计算 2×3×0.5×(-7)；
解：（1） 2×3×0.5×(-7)
（2）用两种方法计算 .
= (2×0.5)×[3×(-7)]
= 1×(-21)
= -21
例 题
【教材P39】
例 3 （1）计算 2×3×0.5×(-7)；
（2）用两种方法计算 .
（2）解法1：
例 题
【教材P39】
例 3 （1）计算 2×3×0.5×(-7)；
（2）用两种方法计算 .
解法2：
解法1：
比较解法 1 与解法 2，它们在运算顺序上有什么区别？解法 2 用了什么运算律？哪种解法更简便？
解法2：
负因数个数 算式 积的正负
1
2
3
4
探 究
观察这些式子，它们的积是正的还是负的？
2×3×(-0.5)×(-7)
2×(-3)×(-0.5)×(-7)
(-2)×(-3)×(-0.5)×(-7)
负数
2×3×0.5×(-7)
正数
负数
正数
几个不为 0 的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？
几个不为 0 的数相乘，
负的乘数的个数是偶数时，积为正数；
负的乘数的个数是奇数时，积为负数.
如果有乘数为 0，那么积有什么特点？
0 × 2
0 × 2 × (－5)
0 × 2 × (－5) × (－16)
= 0
= 0
= 0
几个数相乘，如果其中有乘数为 0，那么积为 0.
做一做
解题策略
几个有理数相乘的方法：
几个有理数相乘
无乘数0
有乘数0
偶数个负的乘数
奇数个负的乘数
积为0
积为正
积为负
绝对值相乘
【教材P43】
1. 计算：
（1）(-85)×(-25)×(-4)；
解： (-85)×(-25)×(-4)
= -85×25×4
= -85×(25×4)
= -85×100
= -8500
（2） ；
（4） .
（3） ；
1. 下列运算过程中，错误的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
2. 小康在计算一道老师布置的作业题：计
算 时，老师告诉他：“被 盖住的数是, ,
53,95其中一个，并且这道题直接计算非常简便，”则算式中
被 盖住的数是( )
B
A. B.
C. 53 D. 95
【点拨】依题意，被 盖住的数是, ,53,95其中一个，
且被 盖住的数是17的倍数，所以算式中被 盖住的数是 .
返回
3. 在整数， ，0，6，2中，若选取两个整数分别
填入“”的和 中，并使等式成立，则选取后
填入“ ”的数字有( )
D
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【点拨】从5个数中选出使等式成立的组合有 ，
，乘法满足交换律，故有4种选择.此题易忽略乘
法交换律而漏解.
返回
4. 2 025个有理数相乘，如果积为0，那么在2 025个有理数
中( )
C
A. 全部为0 B. 只有一个数为0
C. 至少有一个数为0 D. 有两个数互为相反数
返回
5. 如图，这6个方格中每个方格上都标有一个数，且每相邻
三个数之积为6，则 的值为( )
2
B
A. B. C. 1 D. 2
【点拨】由题意，得，所以 .因为每相邻三个
数之积为6，所以，即.所以 .
返回
运算律 文字叙述 用字母表示
乘法 交换律
乘法 结合律
分配律
ab = ba
(ab)c = a(bc)
a(b+c) = ab+ac
两个数相乘，交换乘数的位置，积不变
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
多个有理数相乘的法则：
（1）几个不为 0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数.
（2）几个数相乘，如果其中有乘数为 0，那么积为 0.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑