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2.2.2.1 有理数的除法
有理数的除法是有理数运算体系中的重要组成部分，它与有理数乘法紧密相关，是乘法的逆运算。理解并掌握有理数除法的规则和方法，对于解决各类数学问题，尤其是涉及数量分配、比例关系等实际问题，具有关键作用。接下来，我们将深入探究有理数除法的核心内容。
有理数除法的定义
已知两个有理数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做有理数除法。设\(a\)、\(b\)是两个有理数，且\(b 0\)，若存在有理数\(x\)，使得\(x ·b = a\)，那么\(x\)就叫做\(a\)除以\(b\)所得的商，记作\(a ·b\)。这里，\(a\)称为被除数，\(b\)称为除数。例如，已知\(3 (-2)= -6\)，那么\(-6 ·3 = -2\)，其中\(-6\)是被除数，\(3\)是除数，\(-2\)是商。从这个例子可以直观地看出，除法运算就是根据已知的积和一个因数，去寻找另一个因数的过程。
特别要注意的是，在有理数除法中，除数\(b\)不能为\(0\)。因为假设\(a ·0 = x\)，根据除法的定义，\(x ·0 = a\)，但任何数乘以\(0\)都等于\(0\)，不可能等于非零的\(a\)，所以除数为\(0\)时，除法运算没有意义。这就如同把\(5\)个苹果平均分给\(0\)个人，这种情况在现实中无法实现，在数学运算里也是不被允许的。
有理数除法法则
法则一：除以一个不为\(0\)的数，等于乘这个数的倒数
符号表示：对于任意有理数\(a\)和不为\(0\)的有理数\(b\)，\(a ·b = a \frac{1}{b}\)。这里\(\frac{1}{b}\)就是\(b\)的倒数，即\(b\)与\(\frac{1}{b}\)的乘积为\(1\)。例如，\(2\)的倒数是\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)的倒数是\(-\frac{4}{3}\)。
应用场景：当遇到不能整除的情况，特别是除数是分数时，运用这个法则能将除法转化为乘法，从而简化计算。比如计算\(4 ·\frac{2}{3}\)，根据法则一，可转化为\(4 \frac{3}{2}\)，然后按照乘法运算规则，\(4 \frac{3}{2}=\frac{4 3}{2}=6\)。再如计算\((-5) ·(-\frac{5}{6})\)，转化为\((-5) (-\frac{6}{5})\)，两个负数相乘得正，\(5 \frac{6}{5}=6\)。
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。\(0\)除以任何一个不为\(0\)的数，都得\(0\)
符号表示：设\(a\)、\(b\)为有理数且\(b 0\)，若\(a\)、\(b\)同号（即\(a>0,b>0\)或\(a<0,b<0\)），则\(a ·b=\frac{|a|}{|b|}\)（结果为正）；若\(a\)、\(b\)异号（即\(a>0,b<0\)或\(a<0,b>0\)），则\(a ·b =-\frac{|a|}{|b|}\)（结果为负）；\(0 ·b = 0\)（\(b 0\)）。
应用场景：在能整除的情况下，使用这个法则更为简便。它分为商的符号法则和商的绝对值法则两部分。例如计算\((-42) ·(-6)\)，因为被除数\(-42\)和除数\(-6\)同号，根据法则，先确定商的符号为正，再把绝对值相除，\(| - 42| ·| - 6| = 42 ·6 = 7\)，所以\((-42) ·(-6)=7\)。又如计算\(36 ·(-9)\)，被除数\(36\)是正数，除数\(-9\)是负数，异号得负，\(|36| ·| - 9| = 36 ·9 = 4\)，则\(36 ·(-9)= - 4\)。而\(0 ·(-3.72)\)，根据\(0\)除以任何一个不为\(0\)的数都得\(0\)，结果就是\(0\)。
分数的符号法则与有理数除法的关联
分数的符号法则：分数的分子、分母与分数线前面的符号，改变其中任意两个的符号，分数的值不变。用公式表示为\(\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}=-\frac{-a}{b}=-\frac{a}{-b}\)。例如\(\frac{2}{3}=\frac{-2}{-3}=-\frac{-2}{3}=-\frac{2}{-3}\)。
利用分数的符号法则化简分数规律：在分子、分母及分数线前的符号中，如果 “\(-\)” 号的个数是奇数，则分数的值为负，如果 “\(-\)” 号的个数是偶数，分数的值为正。比如\(\frac{-3}{-5}\)，“\(-\)” 号个数为\(2\)（偶数），所以\(\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}\)；而\(\frac{-4}{7}\)，“\(-\)” 号个数为\(1\)（奇数），所以\(\frac{-4}{7}\)就是负数。在有理数除法运算中，如果结果用分数表示，就可以运用这些符号法则来快速确定分数的正负以及进行化简。例如计算\((-12) ·(-18)\)，结果为\(\frac{-12}{-18}\)，根据分数符号法则，可化简为\(\frac{12}{18}\)，再约分得到\(\frac{2}{3}\)。
有理数乘除法的混合运算
有理数的除法可以化为乘法，所以有理数的乘除混合运算可以统一成乘法运算，其步骤如下：
将所有除数转化为其倒数，所有除法转化为乘法：例如计算\(2 ·3 \frac{4}{5} ·(-\frac{1}{2})\)，先把除法转化为乘法，变为\(2 \frac{1}{3} \frac{4}{5} (-2)\)。
确定积的符号：根据多个有理数相乘的符号法则，“偶正奇负，见\(0\)为\(0\)”。在\(2 \frac{1}{3} \frac{4}{5} (-2)\)中，有\(1\)个负数，所以积的符号为负。
运用乘法运算律简化运算，并求出最后结果：对于\(2 \frac{1}{3} \frac{4}{5} (-2)\)，可以先计算\(2 (-2)= - 4\)，再计算\(\frac{1}{3} \frac{4}{5}=\frac{4}{15}\)，最后\(-4 \frac{4}{15}=-\frac{16}{15}\)。在这个过程中，如果式子中有可以凑整或便于约分的数，可利用乘法交换律和结合律进行简便运算。例如计算\((-8) \frac{5}{6} ·\frac{1}{3} (-\frac{1}{4})\)，转化为乘法后为\((-8) \frac{5}{6} 3 (-\frac{1}{4})\)，运用乘法交换律和结合律，\([(-8) (-\frac{1}{4})] (\frac{5}{6} 3)=2 \frac{5}{2}=5\)。
有理数除法运算的注意事项
除数不能为\(0\): 这是有理数除法运算的首要原则，任何情况下都不能违背。在进行复杂的运算时，一定要先检查除数是否为\(0\)，若除数为\(0\)，则整个运算无意义，无需继续计算。例如\(5 ·0\)，直接判定该运算错误，不能得出结果。
正确运用除法法则：根据题目中数字的特点和运算形式，选择合适的除法法则。如果能整除且数字较为简单，优先考虑法则二确定商的符号和绝对值；如果不能整除或除数是分数，用法则一将除法转化为乘法进行计算。例如计算\(15 ·(-3)\)，用法则二，同号得正，绝对值相除得\(5\)，结果为\(-5\)；而计算\(6 ·\frac{3}{4}\)，用法则一转化为\(6 \frac{4}{3}=8\)。
注意符号的处理：无论是在确定商的符号，还是在乘除混合运算中确定积的符号，都要严格按照 “同号得正，异号得负” 的规则。在运算过程中，可将数字的符号单独标记出来，分别进行运算，避免因符号混乱导致错误。例如计算\((-3) ·(-2) (-4)\)，先算\((-3) ·(-2)=\frac{3}{2}\)，再算\(\frac{3}{2} (-4)\)，一个正数乘以一个负数，结果为负，\(\frac{3}{2} 4 = 6\)，所以最终结果为\(-6\)。
结果的化简：运算完成后，如果结果是分数形式，要将其化为最简分数。例如计算\((-10) ·15\)，结果为\(-\frac{10}{15}\)，约分后得到\(-\frac{2}{3}\)。若结果是假分数，可根据实际情况化为带分数，如\(\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\)。
典型例题解析
例 1：计算\((-24) ·6\)
解题思路：本题两个数能整除，且被除数\(-24\)与除数\(6\)异号，适用有理数除法法则二。
解答过程：根据法则二，两数相除异号得负，并把绝对值相除。\(| - 24| ·|6| = 24 ·6 = 4\)，所以\((-24) ·6 = - 4\)。
例 2：计算\(\frac{3}{4} ·(-\frac{9}{8})\)
解题思路：除数是分数，不能直接整除，采用有理数除法法则一，将除法转化为乘法。
解答过程：根据法则一，\(\frac{3}{4} ·(-\frac{9}{8})=\frac{3}{4} (-\frac{8}{9})\)。先确定积的符号，一个正数乘以一个负数得负，再计算\(\frac{3 8}{4 9}=\frac{24}{36}\)，约分后为\(\frac{2}{3}\)，所以结果为\(-\frac{2}{3}\)。
例 3：计算\((-18) ·(-3) (-\frac{1}{2})\)
解题思路：这是乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后计算结果。
解答过程：将除法转化为乘法，原式变为\((-18) (-\frac{1}{3}) (-\frac{1}{2})\)。式子中有\(2\)个负数，根据 “偶正奇负”，积的符号为正。然后计算\(18 \frac{1}{3} \frac{1}{2}=6 \frac{1}{2}=3\)，所以最终结果为\(-3\)。
例 4：计算\(0 ·(-\frac{5}{7}) (-1)\)
解题思路：因为\(0\)除以任何不为\(0\)的数都得\(0\)，所以先计算\(0 ·(-\frac{5}{7})\)。
解答过程：\(0 ·(-\frac{5}{7}) = 0\)，再乘以\(-1\)，\(0 (-1)=0\)，所以最终结果为\(0\)。
有理数除法作为有理数运算的重要环节，与乘法、加法、减法共同构成了完整的有理数运算体系。通过理解除法的定义，熟练运用除法法则，遵循运算注意事项，多进行相关练习，就能准确、高效地解决有理数除法及与之相关的各类数学问题，为后续更深入的数学学习奠定坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
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2.2.2.1有理数的除法
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
能表述出有理数除法法则.
会运用法则进行有理数除法运算.
你能很快地说出下列各数的倒数吗？
a 5 7 0 1
a的倒数
1
(1) 乘积是 1 的两个数互为倒数.
(2) 0 没有倒数.
8×9 =_____，
72÷9 =_____，
(－4)×3 =_____，
(－12)÷3 =_____，
2×(－3) =_____，
(－6)÷2 =_____，
(－4)×(－3) =_____，
12÷(－4) =_____，
0×(－6) =_____，
0÷(－6) =_____.
72
8
－12
－4
－6
－3
12
－3
0
0
观察右侧算式，思考两个有理数相除时：
除法能否转化为乘法？商的符号如何确定？
商的绝对值如何确定？
怎样计算 8÷(-4)？
根据除法是乘法的逆运算，计算 8÷(-4)，就是 要求一个数，使它与 -4 相乘得 8.
因为 (-2)×(-4)= 8，
所以 8÷(-4)= -2 .
另一方面，我们有 8×(- )= -2 .
于是有 8÷(-4)= 8×(- ) .
8÷(-4)= 8×(- ) .
一个数除以 -4，等于乘 -4 的倒数 - .
换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以 a(a ≠ 0)可以转化为乘 ？
12÷(-6)
12×(- )
= -2
= -2
有理数除法法则1：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
表达式为：
a ÷ b = a × （b ≠ 0）
除号变乘号
除数变倒数作因数
72÷9 =______=____，
(－12)÷(－ ) =_____________=____，
(－ )÷2 =________=____，
12÷(－ ) =________=_____，
0÷(－6) =________=____.
8
(－12)×(－4)
48
－16
0
同号两数相除，转变成同号两数相乘，结果得正
异号两数相除，转变成异号两数相乘，结果得负
零除以任何非零数得零
观察思考
观察上面的算式，看看商的符号及其绝对值与除数、被除数有什么关系？
法则2：两数相除，同号得____，异号得____，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得____.
正
负
0
（1）如果 a<0，b>0，那么 ab____0， ____0.
（2）如果 a>0，b<0，那么 ab____0， ____0.
（3）如果 a<0，b<0，那么 ab____0， ____0.
（4）如果 a=0，b≠0，那么 ab____0， ____0.
<
<
<
<
>
>
=
=
0÷(－ )
0÷(－3)
计算：
= 0×(－ ) = 0
= 0×(－ ) = 0
0可以作除数吗？为什么？
例 题
【教材P44】
例 4 计算：
（1）(-36)÷9； （2） .
解：（1） (-36)÷9 = -(36÷9) = -4；
（2） .
解题策略
有理数除法的两个法则的灵活选用：如果被除数和除数都是整数（或小数），且能整除，一般选用法则 2 计算，其他情况一般选用法则 1.
例 5 化简：
（1） ； （2） .
解：（1） =(-2)÷3 = -(2÷3)= ；
（2） =(-45)÷(-12) = 45÷12 = .
带有分数线的数可以理解为分子除以分母.
一般地，根据有理数的除法，形如 （p，q 是整数，q ≠ 0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为 1 的分数）.
这样，有理数就是形如 （p，q 是整数，q ≠ 0）的数.
（1） ；（2） ；（3） .
化简：
巩固练习
解：（1） = (－3)÷5 = －(3÷5) = ；
（2） = 4÷(－12) = －(4÷12) = ；
（3） = －[(－8)÷2.4] = 8÷2.4 = .
（a，b 是有理数，b ≠ 0）
【教材P45】
1. 计算：
（1）(-18)÷6； （2）(-63)÷(-7)；
（3）1÷(-9)； （4）0÷(-8)；
（5）(-6.5)÷0.13； （6） .
= -3
= 9
= 0
= -50
= 3
2. 化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
解：（1） =(-72)÷9 = -(72÷9)= -8；
（2） =(-30)÷(-45) = 30÷45 = ；
（3） = 0÷(-75) = 0；
（4） = 27÷(-6) = -(27÷6) = .
1. 下列计算不正确的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. 母题教材P45练习 下列化简：; ;
;; .其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 在算式中，“ ”内填入下列运算
符号，使得算式的值最大的是( )
D
A. B. - C. × D.
【点拨】，， ，
，因为，所以在“ ”中填
入运算符号“ ”使运算结果最大.故选D.
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4. 两个不为0的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，
那么( )
D
A. 两数相等 B. 两数互为相反数
C. 两数互为倒数 D. 两数相等或互为相反数
5.已知，，且，则 ____.
【点拨】因为，，且 ，
所以，或，.所以 .
返回
有理数除法法则：
除法 法则1
除法 法则2
除法一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
即：a÷b = a· (b ≠ 0)
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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