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2.2.2.2 有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算是对有理数四则运算的综合应用，它融合了加法、减法、乘法和除法的运算规则，需要在遵循运算顺序的基础上，灵活运用运算律简化计算。掌握混合运算的方法，是解决复杂数学问题和实际应用场景的关键能力。
混合运算的运算顺序
有理数加减乘除混合运算的核心规则是 “先乘除，后加减；有括号的先算括号内的运算”，具体可细化为以下步骤：
括号优先：若算式中含有括号（小括号\(()\)、中括号\([]\)、大括号\(\{\}\)），需按照从内到外的顺序依次计算，即先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算大括号内的运算。例如计算\(2 [3 + (-4) ·2]\)，先算小括号内的除法\((-4) ·2=-2\)，再算小括号内的加法\(3 + (-2)=1\)，最后算括号外的乘法\(2 1=2\)。
乘除同级运算：在没有括号的情况下，乘法和除法属于同级运算，按照从左到右的顺序依次进行。例如计算\(12 ·(-3) (-2)\)，先算左边的除法\(12 ·(-3)=-4\)，再算乘法\(-4 (-2)=8\)；若颠倒顺序先算乘法\((-3) (-2)=6\)，再算除法\(12 ·6=2\)，则会得到错误结果。
加减同级运算：在完成所有乘除运算后，剩余的加法和减法属于同级运算，同样按照从左到右的顺序依次计算。例如计算\(8 - 15 ·3 + 2 (-4)\)，先完成乘除运算\(15 ·3=5\)、\(2 (-4)=-8\)，得到\(8 - 5 + (-8)\)，再按从左到右顺序计算\(8 - 5=3\)，\(3 + (-8)=-5\)。
混合运算的简化技巧
分步转化减法：根据减法法则，先将所有减法运算转化为加法运算，即将算式中的 “\(-b\)” 转化为 “\(+(-b)\)”，使算式统一为代数和的形式，便于后续分组计算。例如计算\(5 - 3 (-2) ·(-1)\)，先转化为\(5 + (-3) (-2) ·(-1)\)，再进行乘除运算。
乘除统一为乘法：利用除法法则，将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个数等于乘它的倒数），使算式成为只含乘法和加法的形式，再运用乘法运算律简化。例如计算\(2 ·(-\frac{1}{3}) (-\frac{3}{4})\)，转化为\(2 (-3) (-\frac{3}{4})\)，运用乘法结合律先算\((-3) (-\frac{3}{4})=\frac{9}{4}\)，再算\(2 \frac{9}{4}=\frac{9}{2}\)。
合理分组结合：在转化后的算式中，利用加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，将便于计算的数优先结合。
加法中优先结合互为相反数、同号数或能凑整的数，例如\(7 + (-3) + 3 + (-7) + 5=(7 - 7)+(-3 + 3)+5=0 + 0 + 5=5\)。
乘法中优先结合互为倒数、能约分或凑整的数，例如\((-8) \frac{1}{2} (-\frac{1}{4}) 2=[(-8) (-\frac{1}{4})] (\frac{1}{2} 2)=2 1=2\)。
逆向运用分配律：当算式中存在公共因数时，提取公共因数简化计算。例如计算\(6 (-\frac{1}{2}) + 6 (-\frac{1}{3})=6 [(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3})]=6 (-\frac{5}{6})=-5\)。
含括号的混合运算处理
单层括号运算：直接按括号优先原则计算括号内的运算，再处理括号外的部分。例如计算\((-5 + 3) (-2) - 12 ·(-4)\)，先算括号内\(-5 + 3=-2\)，再算乘除\(-2 (-2)=4\)、\(12 ·(-4)=-3\)，最后算减法\(4 - (-3)=7\)。
多层括号运算：从最内层括号开始逐层计算，每去一层括号后及时整理符号和运算顺序。例如计算\(10 - \{8 - [2 + (-5) 1] ·3\}\)：
最内层括号：\(2 + (-5) 1=2 - 5=-3\)
中层括号：\(8 - (-3) ·3=8 - (-1)=9\)
外层括号：\(10 - 9=1\)
去括号技巧：括号前是 “\(+\)” 号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前是 “\(-\)” 号时，去括号后括号内各项符号全变；括号前是乘数时，需用分配律将乘数与括号内每一项相乘。例如：
\(5 + (3 - 2 4)=5 + 3 - 8=0\)（括号前是 “\(+\)”，符号不变）
\(5 - (3 - 2 4)=5 - 3 + 8=10\)（括号前是 “\(-\)”，符号全变）
\(-2 (3 - 4)=-2 3 + (-2) (-4)=-6 + 8=2\)（分配律去括号）
实际应用问题解析
行程问题：一辆汽车沿直线行驶，先以每小时\(60\)千米的速度向东行驶\(2\)小时，接着以每小时\(50\)千米的速度向西行驶\(3\)小时，最后以每小时\(70\)千米的速度向东行驶\(1\)小时。求汽车最终相对起点的位置。
解：规定向东为正，各段行程的位移为：
第一段：\(60 2=120\)千米
第二段：\(-50 3=-150\)千米
第三段：\(70 1=70\)千米
总位移：\(120 + (-150) + 70=(120 + 70)-150=190 - 150=40\)千米，即汽车最终在起点东边\(40\)千米处。
财务收支问题：某商店一周的收支情况如下（收入为正）：周一收入\(500\)元，周二支出\(200\)元，周三收入\(300\)元，周四支出\(150\)元，周五收入\(400\)元，周六支出\(350\)元，周日休息无收支。求该商店这一周的净利润。
解：净利润为各天收支总和：\(500 + (-200) + 300 + (-150) + 400 + (-350)\)\(=(500 + 300 + 400)+(-200 - 150 - 350)\)\(=1200 - 700=500\)元
易错点警示与规避
运算顺序错误：
常见错误：未遵循 “先乘除后加减”，例如\(10 - 6 ·2=4 ·2=2\)（正确应为\(10 - 3=7\)）；同级运算未从左到右，例如\(8 ·(-2) (-4)=8 ·8=1\)（正确应为\(-4 (-4)=16\)）。
规避方法：在算式中用横线或箭头标注运算顺序，优先标记乘除运算，完成后再标记加减运算，严格按顺序分步计算。
符号处理失误：
常见错误：去括号时符号未全变，例如\(5 - (3 - 2)=5 - 3 - 2=0\)（正确应为\(5 - 3 + 2=4\)）；乘除运算符号判断错误，例如\((-3) (-4) ·(-2)=12 ·(-2)=-6\)却误算为\(12 ·2=6\)。
规避方法：去括号前明确括号前符号，负号去括号时逐项变号；乘除运算中先单独统计负因数个数，奇负偶正确定符号后再算绝对值。
漏项或多算：
常见错误：运用分配律时漏乘某项，例如\(2 (3 + 4 - 5)=6 + 8=14\)（漏乘\(-5\)，正确应为\(6 + 8 - 10=4\)）。
规避方法：分配律运算时，将括号内每一项与乘数的乘积依次列出，并用加号连接，确保不遗漏任何一项。
分数与小数混淆：
常见错误：分数与小数混合运算时未统一形式，例如\(0.5 + \frac{1}{3} ·2\)直接计算导致错误。
规避方法：根据数字特点统一为分数或小数，例如\(0.5=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \frac{1}{2}=\frac{1}{2} + \frac{1}{6}=\frac{2}{3}\)。
典型例题解析
例 1：计算\(18 - 3 (-2) ·(-\frac{1}{3})\)
解：按顺序先算乘除：
原式\(=18 - [3 (-2) ·(-\frac{1}{3})]\)\(=18 - [(-6) (-3)]\)\(=18 - 18=0\)
例 2：计算\((-2)^2 5 - (-2)^3 ·4\)
解：先算乘方，再算乘除，最后算加减：
原式\(=4 5 - (-8) ·4\)\(=20 - (-2)=20 + 2=22\)
例 3：计算\(24 (\frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3}) - 15 ·(-3)\)
解：运用分配律简化括号内运算：
原式\(=24 \frac{1}{6} - 24 \frac{1}{4} + 24 \frac{1}{3} - (-5)\)\(=4 - 6 + 8 + 5=11\)
例 4：计算\(10 - [(-5) (-3) - (1 - 4 2)]\)
解：逐层计算括号内运算：
原式\(=10 - [15 - (1 - 8)]\)\(=10 - [15 - (-7)]\)\(=10 - (15 + 7)=10 - 22=-12\)
有理数加减乘除混合运算的核心是 “明确顺序、灵活转化、准确符号”。在运算过程中，需时刻牢记运算顺序规则，将复杂运算分步拆解，通过转化统一运算形式，利用运算律简化计算，并严格把控符号细节。通过大量练习培养对运算的直觉判断，能有效提高运算速度和准确性，为后续学习更复杂的数学知识奠定坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
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2.2.2.2有理数的加减乘除混合运算
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
熟练地进行有理数的乘除混合运算.
熟练地进行有理数的加减乘除混合运算.
会使用计算器进行计算.
下列算式中含有哪几种运算？先算什么？后算什么？
乘法运算（二级运算）
加减运算（一级运算）
( 3.5 × 3－1 ) + 9
因为有理数的除法可以转化为_____，所以可以
利用与乘法有关的运算律简化运算.
乘除混合运算往往先将除法转化为_____，然后
确定积的______，最后求出结果.
乘法
乘法
符号
例 题
【教材P45】
例 6 计算：
（1） ；
解：原式 =
（2） .
解：原式 =
= 1.
有理数乘除混合运算的顺序：
按从左到右的顺序依次计算，有括号的先算括号内的.
及时巩固
计算：（1） ； （2） ；
解：（1）原式 = ；
（2）原式 = =
（3） ； （4） .
（3）原式 = = = 5；
（4）原式 = =
= (-7)×(-3) = 21.
知识点睛
进行有理数的乘除混合运算要把握两个关键点：
（1）运算顺序：在没有统一成乘法运算之前，必须遵循从左到右的顺序，统一成乘法运算后才可以运用乘法运算律改变运算顺序.
（2）约分：通常把小数化为分数，带分数化为假分数，计算时便于约分.
例 题
【教材P46】
例 7 计算：
（1）-8+4÷(-2) ； （2）(-7)×(-5)-90÷(-15).
解：（1） -8+4÷(-2)
= -8+(-2)
= -10；
（2）(-7)×(-5)-90÷(-15)
= 35-(-6)
= 35 + 6
= 41.
归 纳
有理数的加、减、乘、除混合运算的顺序：
先乘除，后加减，有括号的先算括号内的.
同级运算按从左到右的顺序依次计算，并能合理运用运算律，简化运算.
及时巩固
计算：
（1）-66×4-(-2.5)÷(-0.1)；
（2） ；
解：（1）原式 = -264-25 = -289；
（2）原式 =
= 1；
（3） ；
（3）原式 =
= -10-80
= -90；
（4） .
（4）原式 =
例 8 某公司去年 1 月~3 月平均每月亏损 1.5 万元，4 月~6 月平均每月盈利 32 万元，7 月~10 月平均每月盈利 21.7 万元，11 月~12 月平均每月亏损 2.3 万元.
这个公司去年总的盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数.
(-1.5)×3 + 32×3 + 21.7×4 + (-2.3)×2
= -4.5 + 96 + 86.8 – 4.6
= 173.7
答：这个公司去年全年盈利 173.7 万元.
计算器的使用：
不同品牌计算器的操作方法可能有所不同，但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的.
（1）按 键开启计算器；
ON
（2）按照算式的书写顺序准确输入数据；
（3）按 键执行运算，计算器显示结果；
=
（4）每一次进行新的运算之前按 键清零.
AC
及时巩固
用计算器计算（结果保留小数点后三位）：
（1）-12.3×(-0.13)；
解：（1）按键顺序如下：
显示结果为 1.599.
(-)
1
=
2
.
×
(-)
0
.
1
3
3
（2）1.3÷(-3.26)+(-8.12)×(-3.26).
（2）按键顺序如下：
(-)
1
2
.
÷
(-)
8
.
3
3
6
+
=
1
×
.
2
(-)
3
.
2
6
显示结果为 26.072 426 99，结果保留小数点后三位为 26.072.
练 习
【教材P47】
1. 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
2. 计算：
（1）6-(-12)÷(-3)； （2）3×(-4)+(-28)÷7 ；
（3）(-48)÷8-(-25)×(-6)；
（4） .
2
-16
-156
1. 计算：
（1）(-8)×(-7)； （2）12×(-5)；
（3）2.9×(-0.4)； （4）(-30.5)×0.2；
（5）100×(-0.001)； （6）(-4.8)×(-1.25).
56
-60
-1.16
-6.1
-0.1
6
【教材P47，习题2.2】
（1） ； （2） ；
2. 计算：
（3） ； （4） .
3. 写出下列各数的倒数：
（1）-15 ； （2） ； （3）-0.25；
（4）0.17 ； （5） ； （6） .
（1） ； （2）(-10)×(-8.24)×(-0.1)；
4. 计算：
（3） ； （4） .
【教材P48】
-4.97
（1）(-2)×3×(-4)； （2）(-6)×(-5)×(-7)；
5. 计算：
（3）(-6)×(-0.25)× ； （4）(-17)×(-49)×0×13.
24
-210
0
（1）16÷(-3)； （2）(-91)÷ 13；
6. 计算：
（3）(-56)÷(-14)； （4） ÷(-1)；
（5）(-16)÷(-48)； （6）(-0.25)÷ .
-7
4
1×(-5)=_______； 1÷(-5)=______；
7. 填空题.
1+(-5)=_______； 1-(-5)=______；
(-1)×(-5)=_______； (-1)÷(-5)=______；
(-1)+(-5)=_______； (-1)-(-5)=______.
-5
-4
6
5
-6
4
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
8. 化简：
（1）0.1÷(-0.001)÷(-1)；
9. 计算：
（2） ；
（3）(-7)×(-56)×0÷(-13)；
（4）(-9)×(-11)÷3÷(-3).
100
0
-11
综合运用
（1）23×(-5)-(-3)÷ ；
10. 计算：
（2）(-7)×(-3)×(-0.5)+ (-12)×(-2.6)；
（3） ；
（4） .
13
20.7
11. 用计算器计算（结果保留小数点后两位）：
（1）(-36)×128÷(-74)；
（2）(-6.23)÷(-0.25)×94；
（3）(-4.325)×(-0.012)-2.31÷(-5.315)；
（4）180.65-(-32)×47.8÷(-15.5).
≈ 62.27
= 2342.48
≈ 0.49
≈ 81.97
【教材P49】
12. 记盈利额为正数，用正数或负数填空：
（1）小商店平均每天盈利 250 元，一个月（按 30 天计算）的利润是________元；
（2）小商店一星期的利润是 1400 元，平均每天的利润是_______元；
（3）小商店一星期共亏损 840 元，平均每天的利润是_______元.
7500
200
-120
13. 一架直升机从高度为 450 m 的位置开始，先以 4 m/s 的速度竖直上升 60 s，后以 5 m/s 的速度竖直下降 120 s，这时直升机所在高度是多少？
解：450 + 4×60 - 5×120
= 450 + 240 - 600
= 90
答：这时直升机所在的高度是 90 m.
14. 计算 2×1，2× ，2×(-1)，2×( ).
联系这类具体的数的乘法，你认为一个非零有理数一定小于它的 2 倍吗？为什么？
一个非零有理数不一定小于它的 2 倍. 理由：当这个非零有理数是负数时，它就大于它的 2 倍.
如：2×(-1) = -2，-1>-2；2×( )= -1， >-1.
2×1= 2，2× = 1，
2×(-1) = -2，2×( )= -1.
15. 利用分配律可以得到
-2×6 + 3×6 = (-2 + 3)×6，
-2×(-5)+ 3×(-5)= (-2+3)×(-5)，
如果用 a 表示任意一个数，那么利用分配律可以
得到 -2a + 3a 等于什么？
解：-2a + 3a =(-2 + 3)·a = a.
16. 计算(-4)÷2，4÷(-2)，(-4)÷(-2).
联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，且b≠0）？从中可以总结出什么规律？
（1） ；（2） .
解：(-4)÷2 = -2，4÷(-2) = -2 ，(-4)÷(-2) = 2.
（1） （a，b是有理数，且b≠0）成立；
（2） （a，b是有理数，且b≠0）成立 .
规律：分数的分子与分母中只有一个含有负号时，分数的结果中有负号；分子与分母中都有负号时，可以将负号约去.
有理数乘除混合运算的顺序：
按从左到右的顺序依次计算，有括号的先算括号内的.
有理数的加减乘除混合运算的顺序：
先乘除，后加减，有括号的先算括号内的.
同级运算按从左到右的顺序依次计算，并能合理运用运算律，简化运算.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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