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2.3.1.1 有理数的乘方
有理数的乘方是有理数乘法的一种特殊形式，它将多个相同因数的乘法运算简化表达，是初中数学中重要的基本运算之一。乘方的引入不仅丰富了有理数的运算体系，也为后续学习更复杂的数学知识（如科学记数法、开方运算等）奠定了基础。
乘方的定义与表示
定义解读：
求\(n\)个相同因数\(a\)的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。其中，\(a\)叫做底数，\(n\)叫做指数。用符号表示为\(a^n\)，读作 “\(a\)的\(n\)次方” 或 “\(a\)的\(n\)次幂”。
例如：\(2 2 2 2\)表示\(4\)个\(2\)相乘，可简写为\(2^4\)，其中底数是\(2\)，指数是\(4\)，结果\(16\)是\(2\)的\(4\)次幂。
各部分名称：
在乘方表达式\(a^n\)中：
底数\(a\)：表示相同的因数，可以是任意有理数（正数、负数或\(0\)）。
指数\(n\)：表示相同因数的个数，通常为正整数（后续会学习零指数和负指数幂）。
幂：乘方运算的结果，即\(a^n\)的值。
特殊表示：
当指数为\(1\)时，通常省略不写，如\(a^1 = a\)（例如\(5^1 = 5\)）。
指数为\(2\)时，读作 “平方”，如\(a^2\)读作 “\(a\)的平方” 或 “\(a\) squared”；指数为\(3\)时，读作 “立方”，如\(a^3\)读作 “\(a\)的立方” 或 “\(a\) cubed”。
乘方与乘法的关系
乘方是乘法的简便运算，二者本质上是一致的：
\(2^3 = 2 2 2\)（\(3\)个\(2\)相乘）
\((-3)^4 = (-3) (-3) (-3) (-3)\)（\(4\)个\(-3\)相乘）
\(0^5 = 0 0 0 0 0\)（\(5\)个\(0\)相乘）
通过这种转化关系，可将乘方运算转化为熟悉的乘法运算来计算结果。例如计算\((-2)^5\)，可转化为\((-2) (-2) (-2) (-2) (-2)\)，先算前两个因数的积\(4\)，再依次乘以后面的因数，最终得到\(-32\)。
乘方运算的符号规律
有理数乘方的结果符号由底数和指数共同决定，具体规律如下：
正数的任何次幂都是正数：
因为正数相乘的结果始终为正，与指数的奇偶性无关。例如：\(3^2 = 9\)（正数的平方为正），\(2^5 = 32\)（正数的五次方为正）。
负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数：
负数的奇次幂：多个负数相乘时，若负因数个数为奇数（指数为奇），积为负。例如\((-2)^3 = -8\)（\(3\)个负数相乘，结果为负）。
负数的偶次幂：若负因数个数为偶数（指数为偶），积为正。例如\((-3)^4 = 81\)（\(4\)个负数相乘，结果为正）。
\(0\)的任何正整数次幂都是\(0\)：
因为\(0\)乘以任何数都得\(0\)，无论多少个\(0\)相乘，结果始终为\(0\)。例如\(0^7 = 0\)，\(0^{100} = 0\)。
注意区分\(-a^n\)与\((-a)^n\)：
\(-a^n\)表示\(a^n\)的相反数，底数是\(a\)，指数是\(n\)，即\(-a^n = -(a a a)\)（\(n\)个\(a\)相乘的相反数）。例如\(-2^3 = -(2 2 2) = -8\)。
\((-a)^n\)表示\(n\)个\(-a\)相乘，底数是\(-a\)，指数是\(n\)。例如\((-2)^3 = (-2) (-2) (-2) = -8\)（此处结果虽与\(-2^3\)相同，但意义不同）。
当\(n\)为偶数时，二者结果不同：\(-3^4 = -81\)，而\((-3)^4 = 81\)。
乘方运算的步骤与示例
基本运算步骤：
① 确定底数和指数，明确运算意义（几个相同因数相乘）。
② 根据底数的符号和指数的奇偶性，预判结果的符号。
③ 计算底数绝对值的乘方，再结合预判的符号得到最终结果。
具体示例：
例 1：计算\(5^3\)
解：底数为\(5\)（正数），指数为\(3\)（奇），结果为正。
原式\(=5 5 5 = 125\)
例 2：计算\((-4)^2\)
解：底数为\(-4\)（负数），指数为\(2\)（偶），结果为正。
原式\(=(-4) (-4) = 16\)
例 3：计算\(-(-2)^5\)
解：先算\((-2)^5\)，底数为\(-2\)，指数为\(5\)（奇），结果为\(-32\)；再取其相反数，原式\(=-(-32) = 32\)
例 4：计算\(0.1^4\)
解：底数为\(0.1\)（正数），指数为\(4\)（偶），结果为正。
原式\(=0.1 0.1 0.1 0.1 = 0.0001\)
例 5：计算\((-\frac{2}{3})^3\)
解：底数为\(-\frac{2}{3}\)（负数），指数为\(3\)（奇），结果为负。
原式\(=(-\frac{2}{3}) (-\frac{2}{3}) (-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27}\)
乘方的实际应用场景
面积与体积计算：
正方形面积公式\(S = a^2\)（边长为\(a\)）和正方体体积公式\(V = a^3\)（棱长为\(a\)）是乘方的典型应用。例如：边长为\(5\)米的正方形面积为\(5^2 = 25\)平方米；棱长为\(-2\)分米（此处负号表示方向）的正方体体积为\((-2)^3 = -8\)立方分米（体积的正负可表示方向或增减）。
细胞分裂问题：
某种细胞每小时分裂一次（一个细胞分裂为\(2\)个），经过\(n\)小时后，细胞总数为\(2^n\)个。例如：经过\(3\)小时，细胞总数为\(2^3 = 8\)个；经过\(5\)小时，总数为\(2^5 = 32\)个。
指数增长与衰减：
人口增长、细菌繁殖等指数增长问题，或放射性物质衰变等衰减问题，常涉及乘方运算。例如：某细菌初始数量为\(100\)个，每小时数量变为原来的\(2\)倍，\(4\)小时后数量为\(100 2^4 = 1600\)个。
易错点警示与规避
底数与指数混淆：
常见错误：将\(2^3\)误理解为\(2 3 = 6\)（正确应为\(2 2 2 = 8\)）。
规避方法：牢记乘方的定义 —— 指数表示相同因数的个数，而非底数与指数相乘。
符号处理错误：
常见错误：\((-2)^4 = -16\)（正确应为\(16\)，忽略负数偶次幂为正）；\(-3^2 = 9\)（正确应为\(-9\)，混淆\(-3^2\)与\((-3)^2\)）。
规避方法：计算前先明确底数是否带负号，再根据 “奇负偶正” 规律判断符号，最后计算绝对值的乘方。
0 的乘方误区：
常见错误：认为\(0^0 = 1\)（实际上\(0^0\)无意义）；忽略\(0\)的正整数次幂为\(0\)，如\(0^5 = 5\)（正确应为\(0\)）。
规避方法：牢记 “\(0\)的任何正整数次幂都是\(0\)”，且\(0\)不能作为底数的指数为\(0\)的情况。
分数乘方未加括号：
常见错误：\(\frac{2^3}{5} = (\frac{2}{5})^3\)（错误，前者是\(\frac{8}{5}\)，后者是\(\frac{8}{125}\)）。
规避方法：分数的乘方需给分数整体加括号，如\((\frac{2}{5})^3\)表示\(3\)个\(\frac{2}{5}\)相乘，而\(\frac{2^3}{5}\)仅分子乘方。
典型例题解析
例 1：计算\((-1)^{2024}\)
解：底数为\(-1\)，指数\(2024\)是偶数，根据 “负数偶次幂为正”，原式\(=1\)。
例 2：计算\(-2^4 + (-3)^3\)
解：先算乘方：\(-2^4 = -16\)，\((-3)^3 = -27\)；再算加法：\(-16 + (-27) = -43\)。
例 3：计算\((-\frac{1}{2})^3 (-4)^2\)
解：分步计算乘方：\((-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}\)，\((-4)^2 = 16\)；再算乘法：\(-\frac{1}{8} 16 = -2\)。
例 4：若\(a^2 = 16\)，求\(a\)的值。
解：因为\(4^2 = 16\)，\((-4)^2 = 16\)，所以\(a = 4\)或\(a = -4\)（注意平方等于正数的数有两个，互为相反数）。
有理数的乘方是对乘法运算的高度概括，其核心在于理解 “相同因数相乘” 的本质和符号规律。通过明确底数、指数的含义，掌握 “奇负偶正” 的符号判断方法，并结合实际问题理解乘方的意义，能有效提升运算的准确性和应用能力。在后续学习中，乘方将成为科学记数法、一元二次方程等知识的重要基础，因此务必扎实掌握。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.1.1有理数的乘方
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知道有理数乘方的意义，能说出乘方运算、幂、底数、指数等概念.
能正确进行有理数乘方运算.
边长为 2 cm 的正方形的面积是
2×2 = 4（cm2）
棱长为 2 cm 的正方体的体积是
2×2×2 = 8（cm3）
这两个算式有什么特点？
2×2，2×2×2 都是相同乘数的乘法.
为了简便，我们将它们分别记作 22，23.
22 读作“2 的平方”（或“2 的 2 次方”）
23 读作“2 的立方”（或“2 的 3 次方”）
记作_______，
记作_______，
读作______________.
读作______________.
的 4 次方
的 5 次方
如果是几个负整数、负分数相乘呢？
同样地，
(-2)×(-2)×(-2)×(-2) 记作_______，
读作______________.
(-2)4
-2 的 4 次方
记作_______，
读作______________.
- 的 5 次方
乘方的概念
类型 概念 示例
乘方
幂
底数 指数 求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方
a · a · … · a = an
n 个
乘方的结果叫作幂
在 an 中，a 叫作底数
在 an 中，n 叫作指数
an
底数
幂
指数
an 看作一种运算，读作“a 的 n 次方”；
an 看作乘方的结果，也可读作“a 的 n 次幂”.
读法：
特别提醒
（1）an 表示 n 个 a 相乘，其中 a 表示相同的乘数，n 表示相同乘数的个数.
（2）一个数可以看作这个数本身的 1 次方. 例如，5 就是 51. 指数 1 通常省略不写. 指数是 2 时可读作平方，指数是 3 时可读作立方.
思 考
－24 和 (－2)4 的意义一样吗？结果一样吗？
－24 的意义是 24 的相反数，
(－2)4 的意义是 －2 的四次方，
－24 和 (－2)4 的意义不一样.
－24 = －(2×2×2×2) = －16，
(－2)4 = (－2)×(－2)×(－2)×(－2) = 16，
－24 和 (－2)4 的结果不一样.
例 题
【教材P51】
例 1 计算：
（1）(-4)3； （2）(-2)4； （3） .
解：（1）(-4)3 = (-4)×(-4)×(-4) = -64；
（2）(-2)4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16；
（3） .
探 究
请再举一些计算乘方的例子，结合例 1，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？
(-3)4
(-5)3
(-1)5
(-1)6
= 81
= -125
= -1
= 1
幂的奇/偶
结果
偶数
正数
奇数
负数
奇数
负数
偶数
正数
有理数的乘方运算的符号规律：
归 纳
符号
规律
负数
正数
0
负数的奇次幂是负数
负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数
0 的任何正整数次幂都是 0
巩固训练
1. 把乘法形式写成幂的形式.
（1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3) = ______.
（2）－5×5×5 = ______.
(－3)4
－53
（2） =
2. 把幂的形式写成乘法形式.
（1） =
拓 展
（1）互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数.
若 a + b = 0，则 a2n+1 + b2n+1 = 0（n 为自然数）.
（2）互为相反数的两个数的偶次幂相等.
若 a + b = 0，则 a2n = b2n （n 为正整数）.
an，－an 与 (－a)n 的异同点与联系：
幂 an －an (－a)n
相同点 不 同 点 意义不同
底数不同
联 系 n为奇数 n为偶数 n为正整数 指数都是 n
n 个 a 相乘的积
n 个 a 相乘的积的相反数
n 个 -a 相乘的积
a
a
-a
－an = (－a)n，它们分别与 an 互为相反数（a ≠ 0）
an = (－a)n，它们分别与 －an 互为相反数（a ≠ 0）
当 a = 0 时，an = －an = (－a)n = 0
例 题
【教材P52】
例 2 用计算器计算 (-8)5 和 (-3)6.
解：用带符号键 的计算器，有
(-)
(
(-)
8
)
5
=
显示结果为
-32768
(
(-)
3
)
6
=
显示结果为
729
因此，(-8)5 = -32768,(-3)6 = 729.
练 习
1.
（1）(-7)8 中，底数、指数各是什么？
（2）(-10)8 中，-10 叫作什么数？8 叫作什么数？
(-10)8 是正数还是负数？
解：（1）底数是 -7，指数是 8.
（2） -10 叫作底数， 8 叫作指数，(-10)8 是正数.
【教材P52】
2. 计算：
（1）(-1)10；（2）(-1)7；（3）83；（4）(-5)3；
（5）0.13；（6）(- )4；（7）(-10)4；（8）(-10)5.
1
-1
512
-125
0.001
10000
-100000
1. 母题教材P52练习 下列说法正确的是( )
C
A. 的底数是 B. 表示5个2相加
C. 的底数是 D. 与 的意义相同
【解析】的底数是2；表示5个2相乘； 的底数是
；与 的意义不相同.
返回
2. 与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 当是正整数时, 的值是( )
B
A. 2 B. C. 0 D. 2或
返回
4. 下列各组数中，运算结果相等的是( )
A
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【解析】因为， ,所以
；因为，，所以 ；因为
，，所以 ；因为
，，所以 .故选A.
返回
5. 如图，某种细胞每过 便由1个分
裂成2个.经过 ，这种细胞能由1个分裂成( )
D
A. 12个 B. 个
C. 个 D. 个
类型 概念 示例
乘方
幂
底数 指数 求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方
a · a · … · a = an
n 个
乘方的结果叫作幂
在 an 中，a 叫作底数
在 an 中，n 叫作指数
an
底数
幂
指数
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