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2.3.1.2 有理数的混合运算
有理数的混合运算是对有理数加减、乘除、乘方运算的综合应用，它需要在遵循严格运算顺序的基础上，灵活运用各种运算律简化计算过程。掌握混合运算的规则和技巧，是提升数学运算能力的关键环节。
混合运算的顺序规则
有理数混合运算的核心顺序可概括为 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的运算”，具体分级如下：
第一级运算：加法和减法（同级运算，从左到右依次进行）。
第二级运算：乘法和除法（同级运算，从左到右依次进行）。
第三级运算：乘方（优先级最高，需最先计算）。
若算式中含有多层括号，需按照 “小括号→中括号→大括号” 的顺序逐层计算，每去掉一层括号后，再按上述分级顺序进行运算。例如计算\(10 - [2^3 + (5 - 3 2) ·(-1)]\)，运算步骤如下：
小括号内：先算乘法\(3 2 = 6\)，再算减法\(5 - 6 = -1\)；
中括号内：先算乘方\(2^3 = 8\)，再算除法\(-1 ·(-1) = 1\)，最后算加法\(8 + 1 = 9\)；
括号外：算减法\(10 - 9 = 1\)。
运算顺序的具体应用
不含括号的混合运算：
严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的顺序。例如计算\(-2^2 + 3 (-4) ·(-\frac{1}{2})\)：
第一步（乘方）：\(-2^2 = -4\)（注意区别\(-2^2\)与\((-2)^2\)）；
第二步（乘除）：\(3 (-4) = -12\)，\(-12 ·(-\frac{1}{2}) = 24\)；
第三步（加减）：\(-4 + 24 = 20\)。
含多层括号的混合运算：
从内到外逐层去括号，每步只处理当前最内层的运算。例如计算\(\{1 - [(-1)^3 + (1 - 0.5 \frac{1}{3})] 6\} ·(-2)\)：
最内层小括号：\(0.5 \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)，\(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)；
中层括号：\((-1)^3 = -1\)，\(-1 + \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}\)，\(-\frac{1}{6} 6 = -1\)；
外层括号：\(1 - (-1) = 2\)；
括号外：\(2 ·(-2) = -1\)。
简化运算的技巧
优先处理乘方运算：
乘方运算结果的符号和数值往往对后续计算影响较大，需优先准确计算。例如计算\((-3)^2 - 2^3 (-\frac{1}{2})^3\)：
先算乘方：\((-3)^2 = 9\)，\(2^3 = 8\)，\((-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}\)；
再算乘法：\(8 (-\frac{1}{8}) = -1\)，注意符号变化；
最后算减法：\(9 - (-1) = 10\)。
巧用运算律简化计算：
乘法分配律：在含括号的乘法运算中，可将括号外的因数分配到括号内各项。例如计算\((\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) (-12)\)：
原式\(=\frac{1}{2} (-12) - \frac{1}{3} (-12) + \frac{1}{4} (-12) = -6 + 4 - 3 = -5\)。
加法结合律与交换律：在加减运算中，将易凑整、互为相反数的数结合。例如计算\(3^2 + (-5) + (-9) + 5\)：
原式\(=9 + [(-5) + 5] + (-9) = 9 + 0 - 9 = 0\)。
乘法交换律与结合律：在乘除运算中，将互为倒数、能约分的数结合。例如计算\((-8) (-\frac{1}{2}) (-0.125) 4\)：
原式\(=[(-8) (-0.125)] [(-\frac{1}{2}) 4] = 1 (-2) = -2\)。
拆数与凑整技巧：
对于接近整数的数，可拆分为整数与小数的和或差，再用分配律简化。例如计算\(99 (-5)^2\)：
原式\(=(100 - 1) 25 = 100 25 - 1 25 = 2500 - 25 = 2475\)。
实际应用问题解析
财务预算问题：某公司一周的收支情况如下（收入为正）：周一收入\(2^4 100\)元，周二支出\((-3)^3 20\)元，周三收入\(5^2 30\)元，周四支出\(|-4^2| 15\)元，周五无收支。求该公司这一周的净利润。
解：各项收支计算如下：
周一：\(16 100 = 1600\)元；
周二：\(-27 20 = -540\)元；
周三：\(25 30 = 750\)元；
周四：\(-16 15 = -240\)元；
净利润：\(1600 - 540 + 750 - 240 = (1600 + 750) - (540 + 240) = 2350 - 780 = 1570\)元。
工程进度问题：一项工程需要完成\(1000\)立方米的土方量，第一天完成了\(2^3 15\)立方米，第二天完成了\((-3)^2 20\)立方米（负号表示返工），第三天完成了\(5^2 8\)立方米。问还需完成多少立方米？
解：已完成量：\(8 15 + 9 20 + 25 8 = 120 + 180 + 200 = 500\)立方米；
剩余量：\(1000 - 500 = 500\)立方米。
易错点警示与规避
运算顺序错误：
常见错误：未先算乘方，例如\(2 + 3^2 = 5^2 = 25\)（正确应为\(2 + 9 = 11\)）；同级运算未从左到右，例如\(10 ·2 5 = 10 ·10 = 1\)（正确应为\(5 5 = 25\)）。
规避方法：在算式中标注运算顺序，用箭头或序号标记每一步的计算对象，严格按 “三级运算→二级运算→一级运算” 的顺序推进。
乘方符号混淆：
常见错误：\((-2)^4 = -16\)（正确应为\(16\)）；\(-(-3)^2 = 9\)（正确应为\(-9\)）。
规避方法：计算乘方时，先明确底数是否包含负号，再根据 “奇负偶正” 规律判断结果符号，可单独写出乘方的展开形式辅助判断。
括号处理不当：
常见错误：去括号时漏乘或符号错误，例如\(2 (3 - 4) = 6 - 4 = 2\)（正确应为\(6 - 8 = -2\)）；多层括号遗漏内层运算，例如\([1 + (2 3)]^2 = (1 + 2)^2 3^2 = 9 9 = 81\)（正确应为\((1 + 6)^2 = 49\)）。
规避方法：去括号时逐项处理，每去一层括号后检查是否所有项都已参与运算，多层括号可分步书写中间结果。
运算律滥用：
常见错误：在非同级运算中滥用交换律，例如\(3 - 5 2 = (3 - 5) 2 = -4\)（正确应为\(3 - 10 = -7\)）。
规避方法：牢记运算律仅适合同级运算或符合分配律条件的情况，乘除运算不可随意与加减运算交换顺序。
典型例题解析
例 1：计算\(-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - (-3)^2]\)
解：
① 乘方运算：\(-1^4 = -1\)，\((-3)^2 = 9\)；
② 括号内运算：\(1 - 0.5 = 0.5\)，\(2 - 9 = -7\)；
③ 乘除运算：\(0.5 \frac{1}{3} (-7) = \frac{1}{2} \frac{1}{3} (-7) = -\frac{7}{6}\)；
④ 加减运算：\(-1 - (-\frac{7}{6}) = -1 + \frac{7}{6} = \frac{1}{6}\)。
例 2：计算\((-2)^3 0.5 - (-1.6)^2 ·(-2)^2\)
解：
① 乘方运算：\((-2)^3 = -8\)，\((-1.6)^2 = 2.56\)，\((-2)^2 = 4\)；
② 乘除运算：\(-8 0.5 = -4\)，\(2.56 ·4 = 0.64\)；
③ 加减运算：\(-4 - 0.64 = -4.64\)（或化为分数\(-\frac{116}{25}\)）。
例 3：计算\(4 (-3)^2 - 5 (-2)^3 + 6\)
解：
① 乘方运算：\((-3)^2 = 9\)，\((-2)^3 = -8\)；
② 乘法运算：\(4 9 = 36\)，\(5 (-8) = -40\)；
③ 加减运算：\(36 - (-40) + 6 = 36 + 40 + 6 = 82\)。
有理数的混合运算考验的是对运算规则的熟练掌握和细节把控能力。解题时需保持清晰的逻辑，先明确运算顺序，再分步拆解复杂算式，灵活运用运算律简化计算，同时警惕符号、括号等易出错环节。通过大量练习形成规范的运算习惯，能有效提高运算的准确性和效率，为后续学习更复杂的数学知识奠定坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
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2.3.1.2有理数的混合运算
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知道有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序.
会进行有理数的混合运算.
符号 计算绝对值
加法
减法 乘法
除法
乘方 同号取相同的符号
绝对值相加
异号取绝对值大的符号
绝对值相减
减去一个数等于加上这个数的相反数
同号得正
异号得负
绝对值相乘
同号得正
异号得负
绝对值相除
除以一个不为 0 的数等于乘以这个数的倒数
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
【教材P53】
例 3 计算：
（1）2×(-3)3-4×(-3)+ 15；
一级运算（加减运算）
左边算式中包含哪几种运算？
二级运算（乘法运算）
三级运算（乘方运算）
例 题
【教材P53】
例 3 计算：
（1）2×(-3)3-4×(-3)+ 15；
解：（1）原式 = 2×(-27)-(-12)+ 15
= -54 + 12 + 15
= -27；
乘方运算
乘法运算
加减运算
（2）原式 = -8 + (-3)×(-16 + 2)-9÷(-2)
（2）(-2)3+(-3)×(-42 + 2)-(-3)2÷(-2).
= -8 + (-3)×(-14)-(-4.5)
= -8 + 42 + 4.5
= -38.5
有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
归 纳
及时巩固
计算：（1） ；
解：原式 = ；
在运算过程中，先将带分数化为假分数、小数化为分数再进行计算较为简便.
（2）(-4)×[(-3)2 + 2]-(-3)3÷2 .
原式 = (-4)×(9 + 2)-(-27)÷2
= (-4)×11+13.5
= -44+13.5
= -30.5
（3）－22 + (－2)4× －| 0.28 |÷ .
原式 = -4 + 16× - 0.28 ÷
= -4 + 2 - 0.28 × 100
= - 2 - 28
= - 30.
拓 展
有理数的基本运算分为三级：
加与减是第一级运算，
乘与除是第二级运算，
乘方是第三级运算.
例 题
【教材P53】
例 4 观察下面三行数：
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6，18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…. ③
（1）第①行中的数可以看成按什么规律排列？
解：第①行中的数可以看成按如下规律排列：
-2，(-2)2，(-2)3，(-2)4，… .
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6，18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…. ③
（2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
对比第①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行中的数是第①行中相应的数加 2，即
-2+2，(-2)2+2，(-2)3+2，(-2)4+2，… .
对比第①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行中的数是第①行中相应数的 ，即
(-2)× ，(-2)2× ，(-2)3× ，(-2)4× ，… .
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6，18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…. ③
（2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6，18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…. ③
（3）取每行中的第 10 个数，计算这三个数的和.
(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×
= 1024 +(1024+2)+ 1024×
= 1024 +1026 + 512
= 2562
练 习
1. 计算：
（1）(-1)10 ×2+(-2)3÷4；
【教材P54】
（2）(-5)3 -3×(- )4；
解：原式 = 1×2+(-8)÷4
= 2 - 2
= 0
原式 = (-125)- 3×
（3） ；
（4）(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2].
原式 =
原式 = 10000+[16-12×2]
= 10000 - 8
= 9992
1. 下列各式化简后结果最大的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 下列各式计算正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
3. 在算式中的“ ”里填
入下列运算符号，使得它的计算结果最小，则“ ”里应填入
的是( )
C
A. B. - C. × D.
返回
4.［2025成都青羊区期中］“24点”游戏规则：从一副扑克牌
抽去大小王剩下这52张牌代表1，,, 分别代表
11,12,13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代
表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每
张牌必须用且只能用一次.如果抽到黑桃、红桃 、梅花3、
方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数
字凑成24：_________________________________.
（答案不唯一）
返回
6. 根据如图的流程图计算，若输入的值为0，则输出 的值
为( )
C
A. 5 B. 7 C. 70 D. 187
有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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