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2.3.2 科学记数法
在日常生活和科学研究中，我们经常会遇到一些极大的数（如地球与太阳的距离）或极小的数（如原子的直径）。这些数的书写和计算非常繁琐，科学记数法应运而生，它通过简洁的形式将这些数表示出来，极大地简化了运算和交流。
科学记数法的定义与表示形式
定义：
把一个大于\(10\)的数表示成\(a 10^n\)的形式（其中\(1 ¤a 10\)，\(n\)是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。对于小于\(1\)的正数，也可以类似表示为\(a 10^{-n}\)的形式（其中\(1 ¤a 10\)，\(n\)是正整数）。
例如：太阳的直径约为\(1390000\)千米，用科学记数法表示为\(1.39 10^6\)千米；某种细菌的直径约为\(0.000002\)米，用科学记数法表示为\(2 10^{-6}\)米。
核心要素：
\(a\)的取值范围：\(1 ¤a 10\)，即\(a\)是一个整数位只有一位的数（可以是整数或小数）。例如\(3.6 10^5\)中\(a = 3.6\)符合要求，而\(36 10^4\)中\(a = 36\)不符合（需调整为\(3.6 10^5\)）。
\(n\)的确定：对于大于\(10\)的数，\(n\)等于原数的整数位数减\(1\)；对于小于\(1\)的正数，\(n\)等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的那个零）。
科学记数法的表示方法
表示大于 10 的数：
步骤：
① 确定\(a\)：将原数的小数点向左移动，使\(a\)满足\(1 ¤a 10\)，记录移动的位数。
② 确定\(n\)：移动的位数即为\(n\)的值（正整数）。
示例：
表示\(567000\)：小数点向左移动\(5\)位得到\(a = 5.67\)，\(n = 5\)，即\(5.67 10^5\)。
表示\(12345.6\)：小数点向左移动\(4\)位得到\(a = 1.23456\)，\(n = 4\)，即\(1.23456 10^4\)。
表示小于 1 的正数：
步骤：
① 确定\(a\)：将原数的小数点向右移动，使\(a\)满足\(1 ¤a 10\)，记录移动的位数。
② 确定\(n\)：移动的位数即为\(n\)的值（负整数）。
示例：
表示\(0.000089\)：小数点向右移动\(5\)位得到\(a = 8.9\)，\(n = -5\)，即\(8.9 10^{-5}\)。
表示\(0.0123\)：小数点向右移动\(2\)位得到\(a = 1.23\)，\(n = -2\)，即\(1.23 10^{-2}\)。
特殊数的表示：
整数部分为\(0\)的小数：如\(0.0000001 = 1 10^{-7}\)（小数点向右移动\(7\)位）。
带整数部分的小数：如\(230.004 = 2.30004 10^2\)（整数部分是\(3\)位，\(n = 3 - 1 = 2\)）。
科学记数法与原数的互化
将科学记数法表示的数还原为原数：
对于\(a 10^n\)（\(n 0\)）：将\(a\)的小数点向右移动\(n\)位，位数不足时补\(0\)。
示例：\(3.02 10^4\)还原为原数：小数点向右移动\(4\)位，得到\(30200\)。
对于\(a 10^{-n}\)（\(n 0\)）：将\(a\)的小数点向左移动\(n\)位，位数不足时补\(0\)。
示例：\(5.6 10^{-3}\)还原为原数：小数点向左移动\(3\)位，得到\(0.0056\)。
还原技巧：
正数\(n\)：移动方向为右，移动位数为\(n\)，原数 = \(a\)的小数点右移\(n\)位。
负数\(n\)：移动方向为左，移动位数为\(\vert n\vert\)，原数 = \(a\)的小数点左移\(\vert n\vert\)位。
科学记数法的实际应用场景
天文学与地理学：
地球与月球的平均距离约为\(384400\)千米，用科学记数法表示为\(3.844 10^5\)千米。
地球的表面积约为\(510000000\)平方千米，即\(5.1 10^8\)平方千米。
生物学与医学：
一个成年人的红细胞数量约为\(500000000000\)个，用科学记数法表示为\(5 10^{12}\)个。
某种病毒的直径约为\(0.0000001\)米，即\(1 10^{-7}\)米。
科技与工程：
我国 “嫦娥五号” 探测器带回的月球土壤样本质量约为\(1731\)克，用科学记数法表示为\(1.731 10^3\)克。
芯片上某晶体管的长度约为\(0.00000002\)米，即\(2 10^{-8}\)米。
经济与统计：
2023 年我国国内生产总值（GDP）约为\(1260000\)亿元，用科学记数法表示为\(1.26 10^6\)亿元。
某城市人口约为\(8500000\)人，即\(8.5 10^6\)人。
科学记数法的运算技巧
乘法运算：
规则：\((a 10^m) (b 10^n) = (a b) 10^{m + n}\)，结果需调整使\(a b\)满足\(1 ¤a b 10\)。
示例：\((2 10^3) (3 10^4) = (2 3) 10^{3 + 4} = 6 10^7\)；\((5 10^5) (4 10^6) = 20 10^{11} = 2 10^{12}\)（调整\(a\)的值）。
除法运算：
规则：\((a 10^m) ·(b 10^n) = (a ·b) 10^{m - n}\)，结果需调整使\(a ·b\)满足\(1 ¤a ·b 10\)。
示例：\((8 10^6) ·(2 10^2) = (8 ·2) 10^{6 - 2} = 4 10^4\)；\((9 10^8) ·(3 10^5) = 3 10^3\)。
比较大小：
规则：先比较\(10\)的指数\(n\)，\(n\)越大则数越大；若\(n\)相同，再比较\(a\)的值，\(a\)越大则数越大。
示例：比较\(3.2 10^5\)与\(4.1 10^4\)，因\(5 4\)，故\(3.2 10^5 4.1 10^4\)；
比较\(5.6 10^3\)与\(5.8 10^3\)，因\(5.6 5.8\)，故\(5.6 10^3 5.8 10^3\)。
易错点警示与规避
a 的取值错误：
常见错误：\(12000 = 12 10^3\)（\(a = 12\)不符合\(1 ¤a 10\)，正确应为\(1.2 10^4\)）；\(0.003 = 30 10^{-4}\)（正确应为\(3 10^{-3}\)）。
规避方法：确定\(a\)时，务必保证其整数位只有一位，若移动小数点后\(a\)超出范围，需重新调整并对应修改\(n\)的值。
n 的确定错误：
常见错误：\(56700 = 5.67 10^3\)（原数整数位是\(5\)位，\(n = 5 - 1 = 4\)，正确应为\(5.67 10^4\)）；\(0.00004 = 4 10^{-4}\)（左起第一个非零数字前有\(5\)个零，\(n = 5\)，正确应为\(4 10^{-5}\)）。
规避方法：对于大数，用整数位数减\(1\)验证\(n\)；对于小数，数出左起第一个非零数字前的零的个数（包括小数点前的零）确定\(n\)。
还原原数时出错：
常见错误：\(2.5 10^3\)还原为\(25000\)（多移一位，正确应为\(2500\)）；\(3.1 10^{-2}\)还原为\(0.31\)（少移一位，正确应为\(0.031\)）。
规避方法：还原时牢记 “正右负左”，移动位数与\(\vert n\vert\)一致，移动后检查小数点位置是否正确。
运算时指数处理错误：
常见错误：\((3 10^2) (2 10^3) = 6 10^5\)（正确），但\((3 10^2) + (2 10^3) = 5 10^5\)（错误，加减需先还原原数再计算：\(300 + 2000 = 2300 = 2.3 10^3\)）。
规避方法：乘除运算可直接对\(a\)和指数分别运算，加减运算需先还原为原数再计算，结果再用科学记数法表示。
典型例题解析
例 1：用科学记数法表示下列各数：
（1）\(7800000\) （2）\(0.00000056\)
解：
（1）小数点向左移动\(6\)位得\(a = 7.8\)，\(n = 6\)，即\(7.8 10^6\)；
（2）小数点向右移动\(7\)位得\(a = 5.6\)，\(n = -7\)，即\(5.6 10^{-7}\)。
例 2：将下列科学记数法表示的数还原为原数：
（1）\(3.05 10^4\) （2）\(9.2 10^{-5}\)
解：
（1）小数点向右移动\(4\)位，得\(30500\)；
（2）小数点向左移动\(5\)位，得\(0.000092\)。
例 3：计算：\((2 10^5) (5 10^{-3})\)
解：原式\(=(2 5) 10^{5 + (-3)} = 10 10^2 = 1 10^3\)（调整\(a\)的值）。
例 4：比较\(9.8 10^6\)与\(1.02 10^7\)的大小。
解：\(1.02 10^7 = 10.2 10^6\)，因\(10.2 9.8\)，故\(9.8 10^6 1.02 10^7\)。
科学记数法是处理大数和小数的高效工具，其核心在于通过规范的形式简化数的表示和运算。掌握\(a\)和\(n\)的确定方法，熟悉原数与科学记数法的互化规则，能在实际应用中准确传递和计算数据。无论是科学研究、工程技术还是日常生活，科学记数法都发挥着重要作用，是数学与现实世界连接的重要桥梁。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.2 科学记数法
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
了解科学记数法的现实意义，学会用科学记数法表示较大的数.
会用科学记数法表示的数进行简单的运算.
据有关资料统计：
2023年我国国内生产总值为 126 058 200 000 000 元，
国民总收入 125 129 700 000 000 元.
1. 读并写出这些数字；
2. 有没有比较简便的、科学的方法来读写这些较大的数？
在现实生活中，我们会遇到一些比较大的数.
太阳的半径约 696 000 km
光速约
300 000 000 m/s
2022年世界总人口
8 000 000 000 人
这些数有简单的表示方法吗？
结果 指数 结果中 0 的个数
101
102
103
104
105
10n
10
1
1
100
2
2
1 000
3
3
10 000
4
4
100 000
5
5
10 … 0
n 个 0
n
n
观察10的乘方：
一般地，10 的 n 次幂等于 10···0（在 1 的后面有 n 个 0），因此可以利用 10 的乘方表示一些大数.
例如 696000 =
6.96×105
读作“6.96 乘 10 的 5 次方（幂）”
填空：
（1）300 000 000 = 3×( ) = 3×10( )
（2）78 000 000 = 7.8×( ) = 7.8×10( )
（3）6 100 000 000 = 6.1×( ) = 6.1×10( )
100 000 000
8
10 000 000
7
1 000 000 000
9
归 纳
把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 a 大于或等于 1 ，且 a 小于 10，n 是正整数），使用的是科学记数法.
科学记数法是一种记数的简便方法，它不改变数的大小.
例 5 用科学记数法表示下列各数：
例 题
【教材P55】
1 000 000，300 000 000，8 000 000 000，10 100 000.
解：1 000 000 = 1×106，
300 000 000 = 3×108，
8 000 000 000 = 8×109，
10 100 000 = 1.01×107.
步 骤
确定 a
将原数的小数点从右向左移动到最高数位的数字的后面即可得到 a（a大于或等于 1 且小于 10）
确定 n
方法 1：根据原数的整数位数确定
方法 2：按小数点移动的位数确定
写成 a×10n 的形式
n = 原数的整数位数-1
小数点向左移动了几位，n 就等于几
思 考
对于小于 -10 的数怎么用科学记数法表示？
-567 000 000
-76 500 000
= -5.67×108
= -7.65×107
用科学记数法也可以表示一个小于 -10 的数，只需要先写出它的相反数的形式，再添加负号就可以了.
1 000 000 = 1×106，
300 000 000 = 3×108，
8 000 000 000 = 8×109，
10 100 000 = 1.01×107.
思 考
在上面的式子中，等号左边整数的位数与右边 10 的指数有什么关系？
用科学记数法表示一个 n 位整数(n 大于或等于2)，其中 10 的指数是________.
n-1
下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
1.23×107
2.345×103
3.141 592×105
= 12 300 000
= 2 345
= 314 159.2
把用科学记数法表示的绝对值较大的数 a×10n 还原成原数时，只需把 a 中的小数点向右移动 n 位，若 a 中的数字不够，应用 0 补位.
1. 2025年春节档电影《哪吒2》爆火，截至3月1日全球票房
累计142亿元，其中142亿用科学记数法表示为( )
B
A. B.
C. D.
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2. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为
本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电
子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重
的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新
能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达 .将销售数据用
科学记数法表示为( )
C
A. B.
C. D.
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3. 废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污
染环境，有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染
水.数据 可表示为( )
C
A. 6 000 B. 6万
C. 60万 D. 600万
【点拨】 万.
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4. 求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞
机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准
自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机 完成研
发、制造、取证、投运.2024年9月19日中午，印有“ ”字
样的南航 航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹
桥机场，（标准航程型）最大起飞质量为 ，数
据72 500用科学记数法表示为___________.
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把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 a 大于或等于 1 ，且 a 小于 10，n 是正整数），使用的是科学记数法.
用科学记数法也可以表示一个小于 -10 的数，只需要先写出它的相反数的形式，再添加负号就可以了.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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