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2.3.3 近似数
在实际生活和数学计算中，我们常常无法或不需要得到精确的结果，这时就需要用到近似数。近似数是与精确数相近的数值，它既能满足实际问题的需求，又能简化计算过程。理解近似数的概念、精确度的表示方法以及取近似数的技巧，是运用数学知识解决实际问题的重要基础。
近似数的定义与产生原因
定义：
近似数是指与精确数非常接近的数，通常通过测量、估算或四舍五入等方法得到。精确数是指能准确表示某一量的数，而近似数则是对精确数的近似描述。
例如：教室里有\(45\)名学生，这里的 “\(45\)” 是精确数；小明的身高约为\(1.75\)米，这里的 “\(1.75\)” 是近似数。
产生原因：
测量限制：许多实际测量结果无法得到精确值，如长度、重量、时间等的测量，受测量工具精度的影响，只能得到近似数。例如用直尺测量一本书的长度，结果可能是\(21.3\)厘米，这是一个近似数。
计算简化：在复杂计算中，为了降低难度，通常会将精确数取近似值后再计算。例如计算\(\pi 10^2\)时，取\(\pi 3.14\)进行计算。
实际需求：某些场景不需要精确值，只需知道大致范围即可。例如某城市人口约为\(800\)万，这里的 “\(800\)万” 是近似数。
精确度的表示方法
精确度是描述近似数与精确数接近程度的量，常用的表示方法有两种：
精确到哪一位：
指近似数精确到的最后一位数字所在的数位。例如：
\(3.14\)精确到百分位（即小数点后第二位），表示该数与精确数的差距小于\(0.005\)。
\(12300\)精确到个位，而\(1.23 10^4\)精确到百位（因为\(1.23 10^4 = 12300\)，最后一位 “\(3\)” 在百位上）。
有效数字：
从一个数的左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。例如：
\(0.025\)的有效数字是\(2\)、\(5\)（左边的两个零不是有效数字）。
\(3.1415\)的有效数字是\(3\)、\(1\)、\(4\)、\(1\)、\(5\)（共\(5\)个有效数字）。
\(1.20 10^3\)的有效数字是\(1\)、\(2\)、\(0\)（末尾的零是有效数字，因为它在小数点后且表示精确度）。
取近似数的常用方法
四舍五入法：
这是最常用的取近似数的方法。具体规则是：当要保留的数位后一位数字小于\(5\)时，直接舍去；当大于或等于\(5\)时，向前一位进\(1\)后再舍去。
示例：
将\(3.14159\)精确到百分位：看千分位数字是\(1\)，小于\(5\)，所以舍去，结果为\(3.14\)。
将\(2.789\)精确到十分位：看百分位数字是\(8\)，大于\(5\)，向十分位进\(1\)，\(7 + 1 = 8\)，结果为\(2.8\)。
将\(12345\)精确到千位：看百位数字是\(3\)，小于\(5\)，舍去，结果为\(12000\)（或表示为\(1.2 10^4\)）。
进一法：
去掉多余部分的数字后，在保留部分的末尾数字上加\(1\)。这种方法常用于需要保证 “至少” 的场景，如物品装箱、用料计算等。
示例：
有\(34\)个苹果，每箱装\(10\)个，需要多少个箱子？\(34 ·10 = 3.4\)，用进一法取近似数，结果为\(4\)个箱子（因为\(3\)个箱子装不下\(34\)个苹果）。
制作一个长方体铁盒需要\(2.1\)平方米的铁皮，实际需要准备多少铁皮？用进一法取近似数，结果为\(3\)平方米（确保材料足够）。
去尾法：
去掉多余部分的数字后，保留部分不变。这种方法常用于需要保证 “不超过” 的场景，如用固定长度的材料制作物品等。
示例：
一根\(10\)米长的绳子，每\(3\)米做一根跳绳，能做多少根？\(10 ·3 3.33\)，用去尾法取近似数，结果为\(3\)根（剩余的绳子不够做一根完整的跳绳）。
用\(50\)元买单价为\(8\)元的笔记本，最多能买多少本？\(50 ·8 = 6.25\)，用去尾法取近似数，结果为\(6\)本。
近似数的实际应用场景
测量领域：
用体温计测量体温，结果显示为\(36.5 \)，这是精确到十分位的近似数。
用天平称取物体质量，结果为\(25.4\)克，精确到十分位。
经济生活：
某商品的价格标签为\(9.99\)元，这里的 “\(9.99\)” 是精确到分的近似数（实际定价可能经过四舍五入）。
某公司年利润约为\(5.6\)千万元，精确到千万元，有效数字是\(5\)、\(6\)。
科学研究：
光速约为\(3 10^8\)米 / 秒，这是精确到亿位的近似数，有效数字是\(3\)。
地球绕太阳公转的周期约为\(365.24\)天，精确到百分位，有效数字是\(3\)、\(6\)、\(5\)、\(2\)、\(4\)。
工程技术：
某建筑物的高度设计为\(150.5\)米，精确到十分位，确保施工误差在允许范围内。
一根钢筋的直径要求为\(10 ±0.02\)毫米，即直径的近似数范围在\(9.98\)毫米到\(10.02\)毫米之间。
近似数的运算与注意事项
近似数的运算规则：
加减法：结果的精确度以已知数中精确度最低的数为准（即小数点后位数最少的数）。例如：\(3.14 + 2.5 = 5.64\)，因\(2.5\)精确到十分位，结果应取\(5.6\)。
乘除法：结果的有效数字个数以已知数中有效数字最少的数为准。例如：\(2.5 3.1416 7.854\)，因\(2.5\)有\(2\)个有效数字，结果应取\(7.9\)（保留\(2\)个有效数字）。
混合运算：先按上述规则分步运算，最后对结果取近似值，避免中间步骤过早取近似值导致误差积累。
注意事项：
区分精确数与近似数：在实际问题中，需明确哪些是精确数，哪些是近似数，避免对精确数进行不必要的近似处理。例如 “\(5\)名学生” 是精确数，不能表示为 “约\(5\)名学生”。
正确表示精确度：用科学记数法表示的近似数，其精确度由\(a\)的最后一位数字所在的数位决定。例如\(1.20 10^5\)精确到千位（\(1.20 10^5 = 120000\)，最后一位 “\(0\)” 在千位），有效数字是\(1\)、\(2\)、\(0\)。
避免过度近似：取近似数时应根据实际需求选择合适的精确度，并非越精确越好。例如表示城市人口时，精确到万位即可，无需精确到个位。
零的意义：近似数末尾的零不能随意去掉，它表示精确度。例如\(3.0\)精确到十分位，而\(3\)精确到个位，二者精确度不同。
典型例题解析
例 1：指出下列近似数的精确度和有效数字：
（1）\(2.40\) （2）\(1.8 10^3\) （3）\(0.0035\)
解：
（1）\(2.40\)精确到百分位，有效数字是\(2\)、\(4\)、\(0\)；
（2）\(1.8 10^3 = 1800\)，精确到百位，有效数字是\(1\)、\(8\)；
（3）\(0.0035\)精确到万分位，有效数字是\(3\)、\(5\)。
例 2：用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）\(0.03049\)精确到千分位； （2）\(2.876\)精确到十分位； （3）\(56789\)精确到千位。
解：
（1）千分位后一位是\(4\)，小于\(5\)，舍去，结果为\(0.030\)；
（2）十分位后一位是\(7\)，大于\(5\)，进\(1\)，\(8 + 1 = 9\)，结果为\(2.9\)；
（3）千位后一位是\(7\)，大于\(5\)，进\(1\)，\(6 + 1 = 7\)，结果为\(5.7 10^4\)（或\(57000\)）。
例 3：某工厂生产的一批零件，直径要求为\(10\)毫米，实际测量时，一个零件的直径为\(10.02\)毫米，另一个为\(9.97\)毫米，这两个零件是否合格？（误差允许范围为 ±\(0.05\)毫米）
解：合格范围是\(10 - 0.05 = 9.95\)毫米到\(10 + 0.05 = 10.05\)毫米之间。\(10.02\)毫米和\(9.97\)毫米均在该范围内，因此两个零件都合格。
例 4：计算\(1.2 3.64 + 2.5\)（结果保留一位小数）。
解：先算乘法\(1.2 3.64 = 4.368\)，再算加法\(4.368 + 2.5 = 6.868\)，保留一位小数得\(6.9\)。
近似数是数学与现实世界连接的重要纽带，它在测量、计算、统计等领域都有着广泛的应用。掌握近似数的精确度表示方法、取近似值的技巧以及运算规则，能帮助我们更准确地描述和解决实际问题。在运用近似数时，需根据具体场景选择合适的精确度和取法，既要保证结果的合理性，又要避免不必要的误差，让数学知识更好地服务于实际生活。
2024人教版数学七年级上册
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2.3.3 近似数
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
了解近似数的现实存在及意义.
能准确地按要求的精确度取一个数的近似数.
（1）七（4）班有 42 名同学；
（2）每个三角形都有 3 个内角；
（3）我国的领土面积约为 960 万多平方千米；
这里的 42，3，960 万与实际数量准确一致吗？960 万平方千米中“960万”是一个准确的数吗？
今天我们就来研究近似数.
新知探索
对于参加同一个会议的人数，有两则报道. 一则报道说:“会议秘书处宣布，参加今天会议的有 505 人.”另一则报道说:“约有五百人参加了今天的会议.”
505
约有五百
准确数
近似数
实 验
1. 统计班级的男生人数和女生人数.
2. 量一量《数学课本》的宽度.
准确数：与实际完全符合的数叫作准确数.
近似数：与实际数据接近但还有差别的数叫作近似数.
说一说
（1）下面的数据，哪些是准确的？哪些是近似的？
（2）举例说明生活中哪些数据是准确的，哪些数据是近似的？
2020年我国人口总数约为14.43亿
某词典共有
1 234页
小明身高约为1.65 m
下列各数中，是准确数的有________，是近似数的有_________（均填序号）.
①绿化队今年植树约 20 000 棵；
②数学课本定价 9.65 元；
③王大伯家里养了 8 只鸡；
④今天的气温最高约为 24 ℃；
⑤买门票估计需要 1 000元.
巩固训练
与实际接近→近似数
与实际完全符合→准确数
与实际完全符合→准确数
与实际接近→近似数
与实际接近→近似数
②③
①④⑤
下面是两种不同的测量方法，测量同一片树叶的长度，所用的直尺的最小单位是不同的，分别是厘米和毫米.
猜想：哪个测量结果会更精确一些？说说你的理由.
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.
按四舍五入法对圆周率 π 取近似数时，有
π ≈ 3（精确到个位），
π ≈ 3.1（精确到 0.1，或叫作精确到十分位），
π ≈ 3.14（精确到 0.01，或叫作精确到百分位），
π ≈ 3.142（精确到 ，或叫作精确到 ），
π ≈ 3.141 6（精确到 ，或叫作精确到 ），
·······
我们知道圆周率 π ≈ 3.141592653…
0.001
千分位
0.0001
万分位
用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）0.036 4（精确到 0.001）；
（2）14.046（精确到个位）；
（3）14.046（精确到 0.1）；
（4）21.3589（精确到百分位）.
≈ 0.036
≈ 14
≈ 14.0
≈ 21.36
取近似数时，先根据精确度确定精确到哪一位，然后根据这个数位下一个数位上的数字进行四舍五入.
归 纳
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用
精确度表示.
精确度有两种表述方法：
①用数位表示，如精确到个位或百分位等；
②用小数表示，如精确到 0.001 或 0.1 等.
例 6 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
例 题
【教材P56】
（1）0.0158（精确到 0.001）；
（2）304.35（精确到个位）；
（3）1.804（精确到 0.1）；
（4）1.804（精确到百分位）.
解：（1）0.0158 ≈ 0.016；
（3）1.804 ≈ 1.8；
（2）304.35 ≈ 304；
（4）1.804 ≈ 1.80.
这里的 1.8 和 1.80 的精确度相同吗？表示近似数时，能简单地把 1.80 后面的 0 去掉吗？
练 习
【教材P56】
1. 用科学记数法表示下列各数：
100 000，7 400 000，56 000 000，567 000 000.
解：100 000 = 1×105，
7 400 000 = 7.4×106，
56 000 000 = 5.6×107，
567 000 000 = 5.67×108.
2. 下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？
1×107，4×103，8.5×106，7.04×105，3.96×107.
解：1×107 = 10 000 000，
4×103 = 4 000，
8.5×106 = 8 500 000，
7.04×105 = 704 000，
3.96×107 = 39 600 000.
3. 我国的陆地面积约为 9 600 000 km2，用科学记数法
表示这个数.
解：9 600 000 = 9.6×106
4. 用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）0.003 56（精确到万分位）；
（2）61.235（精确到个位）；
（3）1.893 5（精确到 0.001）；
（4）0.057 1（精确到 0.1）.
解：（1）0.003 56 ≈ 0.003 6；
（2）61.235 ≈ 61；
（3）1.893 5 ≈ 1.894；
（4）0.057 1 ≈ 0.1.
习题2.3
1. 计算：
（1）(-3)3； （2）(-5)4； （3）(-1.7)2；
（4）(- )3； （5）-(-2)3； （6）(-2)2×(-3)2.
-27
625
2.89
8
36
【教材P56】
2. 用计算器计算：
（1）(-12)8； （2）1034；
（3）7.123； （4）(-45.7)3.
解：（1）(-12)8 = 429 981 696；
（2）1034 = 112 550 881；
（3）7.123 = 360.944 128；
（4）(-45.7)3 = -95 443.993.
3. 计算：
（1）(-1)100×5 +(-2)4÷4；
（2）(-3)3 - 3×(- )4；
= 9
（3） ；
（4）(-10)3 +[(-4)2-(1-32)×2]；
= -968
（5） ；
（6）4 + (-2)3×5-(-0.28)÷4.
= -35.93
4. 用科学记数法表示下列各数：
（1）235 000 000； （2）188 520 000；
（3）701 000 000 000；（4）36 000 000.
解：（1）235 000 000 = 2.35×108；
（2）188 520 000 = 1.8852×108；
（3）701 000 000 000 = 7.01×1011；
（4）36 000 000 = 3.6×107.
【教材P57】
5. 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
3×107，1.3×103，8.05×106，2.004×105.
解：其原数分别是 30 000 000，1 300，8 050 000，200 400.
6. 用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）0.004 57（精确到 0.000 1）；
（2）566.123 5（精确到个位）；
（3）3.896 3（精确到 0.01）；
（4）0.057 1（精确到千分位）；
≈ 0.004 6
≈ 566
≈ 3.90
≈ 0.057
7. 什么数的平方等于 9？什么数的立方等于 -27？
综合运用
解：3 或 -3 的平方等于 9，-3的立方等于 -27.
8. 一个长方体的长、宽都是 a，高是 h，它的体积和表面积怎样计算？当 a = 2 cm，h = 5 cm 时，它的体积和表面积各是多少？
解：其体积为 a2h，其表面积为 2a2+4ah.
当 a = 2 cm，h = 5 cm时，体积为 22×5 = 20 (cm3)，
表面积为 2×22 +4×2×5 = 48 (cm2).
9. 一天有 8.64×104 s，一年按 365 天计算，一年有多少秒（用科学记数法表示）？
解：由题意有 8.64×104×365 = 3.1536×107（s）
答：一年有 3.1536×107 s.
10. 地球绕太阳公转的速度约是 1.1×105 km/h，声音在空气中的传播速度约是 340 m/s，比较两个速度的大小.
解：地球公转的速度为
(m/s).
因为 30555.6 > 340，所以地球绕太阳公转的速度大于声音在空气中的传播速度.
拓广探索
11.（1）计算 0.12，12，102，1002. 观察这些结果，底数的小数点向左（或右）移动一位时，平方数的小数点有什么移动规律？
解：0.12 = 0.01，12 = 1，102 = 100，1002 = 10 000.
底数的小数点向左（或右）移动一位时，平方数小数点相应地向左（或右）移动两位.
11.（2）计算 0.13，13，103，1003. 观察这些结果，底数的小数点向左（或右）移动一位时，立方数的小数点有什么移动规律？
0.13 = 0.001，13 = 1，103 = 1 000，1003 = 1 000 000.
底数的小数点向左（或右）移动一位时，立方数小数点相应地向左（或右）移动三位.
11.（3）计算 0.14，14，104，1004. 观察这些结果，底数的小数点向左（或右）移动一位时，四次方数的小数点有什么移动规律？
0.14 = 0.0 001，14 = 1，104 = 10 000，1004 = 100 000 000.
底数的小数点向左（或右）移动一位时，立方数小数点相应地向左（或右）移动三位.
12. 计算 (-2)2，22，(-2)3，23. 联系这类具体的数的乘方，
你认为当 a < 0 时下列各式是否成立？
（1）a2 > 0； （2）a2 = (-a)2；
（3）a2 = -a2；（4）a3 = -a3.
解：(-2)2 = 4；22 = 4；(-2)3 = -8；23 = 8.
当 a < 0 时，（1）a2 > 0 成立，（2）a2 = (-a)2成立，
（3）a2 = -a2 不成立，（4）a3 = -a3 不成立.
准确数：与实际完全符合的数叫作准确数.
近似数：与实际数据接近但还有差别的数叫作近似数.
精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用
精确度表示.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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