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3.1.2 列代数式表示数量关系
列代数式是将实际问题中的数量关系用代数式表示出来的过程，是代数学习中从具体到抽象的关键环节。它要求我们准确理解文字描述的含义，抓住数量之间的运算关系，并用规范的代数式进行表达。这一技能不仅是解决数学问题的基础，也是用数学语言描述现实世界的重要工具。
一、列代数式的基本步骤
列代数式需要经历 “理解题意 — 分析关系 — 确定运算 — 规范表达” 四个核心步骤，具体如下：
理解题意，明确数量：
仔细阅读题目，找出题目中涉及的所有数量，区分已知量和未知量。已知量通常是具体的数字或明确的描述，未知量则需要用字母表示（通常用\(x,y,a,b\)等字母）。例如：“一个数的 3 倍与 5 的和” 中，未知量是 “一个数”，可设为\(x\)。
分析关系，确定运算：
梳理数量之间的关系，明确它们之间的运算类型（加、减、乘、除、乘方等）。关键是抓住题目中的关键词，如 “和、差、倍、分、积、商、平方、倒数、比…… 多、比…… 少” 等，这些词语直接决定了运算的种类和顺序。例如：“\(a\)比\(b\)的 2 倍少 3” 中，包含乘法（\(b\)的 2 倍）和减法（比…… 少 3）。
确定顺序，分层表达：
当数量关系较复杂时，需要按照运算顺序分层构建代数式。若涉及多层运算，需合理使用括号明确优先级。例如：“\(x\)与\(y\)的差的平方” 需先算差（\(x - y\)），再算平方，即\((x - y)^2\)，而非\(x - y^2\)。
规范书写，检查验证：
按照代数式的书写规则（如数字在前、字母在后，乘号省略，除法写成分数形式等）整理式子，并通过反向翻译（将代数式用文字描述）验证是否与原题意一致。例如：列代数式表示 “\(m\)的倒数与\(n\)的平方的和”，结果应为\(\frac{1}{m} + n^2\)，翻译验证为 “\(m\)的倒数加\(n\)的平方”，与题意一致。
二、常见数量关系的代数式表示
根据数量关系的类型，可分为以下几类进行分析：
和差倍分关系：
这类关系是列代数式的基础，核心是抓住 “加、减、乘、除” 的关键词：
和：“\(a\)与\(b\)的和” 表示为\(a + b\)；“比\(x\)大 5 的数” 表示为\(x + 5\)。
差：“\(m\)与\(n\)的差” 表示为\(m - n\)；“比\(y\)小 3 的数” 表示为\(y - 3\)；“\(a\)减去\(b\)的差” 表示为\(a - b\)。
倍：“\(x\)的 3 倍” 表示为\(3x\)；“\(a\)的一半”（即\(\frac{1}{2}\)倍）表示为\(\frac{1}{2}a\)；“\(b\)的\(n\)倍与 2 的和” 表示为\(nb + 2\)。
分：“\(p\)除以\(q\)的商” 表示为\(\frac{p}{q}\)（\(q 0\)）；“\(m\)的倒数” 表示为\(\frac{1}{m}\)（\(m 0\)）；“\(x\)与\(y\)的和的三分之一” 表示为\(\frac{x + y}{3}\)。
乘方与开方关系：
涉及平方、立方、平方根等运算时，需明确底数和指数（或根指数）：
“\(a\)的平方” 表示为\(a^2\)；“\(x\)的立方与 2 的差” 表示为\(x^3 - 2\)。
“\(m\)与\(n\)的和的平方” 表示为\((m + n)^2\)；“\(a\)的平方与\(b\)的平方的和” 表示为\(a^2 + b^2\)（注意与 “和的平方” 区分）。
“\(x\)的算术平方根” 表示为\(\sqrt{x}\)（\(x 0\)）；“\(y\)的立方根的 2 倍” 表示为\(2\sqrt[3]{y}\)。
数量增减与倍数变化：
这类关系常涉及 “增加了”“减少了”“增长到”“缩小为” 等描述：
“原来的数是\(a\)，增加 20% 后的值” 表示为\(a + 20\%a = 1.2a\)；
“一件商品原价\(x\)元，打八折后的售价” 表示为\(0.8x\)元；
“某厂去年产值为\(m\)万元，今年比去年增长\(n\%\)，今年产值” 表示为\(m(1 + n\%)\)万元。
几何图形中的数量关系：
结合几何图形的周长、面积、体积公式，用字母表示未知量：
长方形：若长为\(a\)，宽为\(b\)，则周长为\(2(a + b)\)，面积为\(ab\)；若宽比长短 3，长为\(x\)，则宽为\(x - 3\)，面积为\(x(x - 3)\)。
三角形：若底为\(a\)，高为\(h\)，则面积为\(\frac{1}{2}ah\)；若高是底的 2 倍，底为\(y\)，则高为\(2y\)，面积为\(\frac{1}{2}y ·2y = y^2\)。
圆：若半径为\(r\)，则周长为\(2\pi r\)，面积为\(\pi r^2\)；若直径为\(d\)，则半径为\(\frac{d}{2}\)，面积为\(\pi(\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}\)。
长方体：若长、宽、高分别为\(a,b,c\)，则体积为\(abc\)；若长和宽都是\(x\)，高比长多 1，则体积为\(x ·x ·(x + 1) = x^2(x + 1)\)。
实际问题中的数量关系：
结合生活场景（如行程、工程、购物等）提炼数量关系：
行程问题：路程 = 速度 × 时间。若速度为\(v\)千米 / 小时，时间为\(t\)小时，则路程为\(vt\)千米；若甲速度为\(a\)，乙速度为\(b\)，同时出发相向而行，\(t\)小时后相遇，则总路程为\(at + bt = (a + b)t\)。
工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间。若甲每天完成\(x\)件，乙每天完成\(y\)件，则两人合作 3 天完成\(3(x + y)\)件。
购物问题：总价 = 单价 × 数量。若苹果单价为\(m\)元 / 千克，买了\(n\)千克，付款\(50\)元，则应找回\((50 - mn)\)元。
数字问题：若一个两位数的十位数字为\(a\)，个位数字为\(b\)，则这个两位数表示为\(10a + b\)；将其十位与个位数字对调后，新数为\(10b + a\)，两数之和为\((10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)\)。
三、列代数式的关键技巧
抓住关键词，明确运算顺序：
题目中的关键词直接决定运算类型和顺序，常见关键词与对应运算如下表：
关键词
对应运算
示例
和、加、加上
加法
\(a\)与\(b\)的和：\(a + b\)
差、减、减去
减法
\(m\)比\(n\)少 5：\(n - 5\)
倍、乘
乘法
\(x\)的 3 倍：\(3x\)
分、商、除以
除法
\(p\)与\(q\)的商：\(\frac{p}{q}\)
平方、立方
乘方
\(a\)的平方：\(a^2\)
倒数
除法（\(1\)除以该数）
\(x\)的倒数：\(\frac{1}{x}\)
用字母表示未知量，化抽象为具体：
当题目中未明确未知量时，需自行设字母表示。通常设 “比、是、为” 后面的量为字母，或设问题中的核心未知量为字母。例如：“一个数的 5 倍与它的一半的差”，设这个数为\(x\)，则代数式为\(5x - \frac{1}{2}x\)。
分层处理复杂关系，先局部后整体：
对于多层嵌套的数量关系，可先表示局部关系，再逐步构建整体代数式。例如：“\(a\)的 2 倍与\(b\)的差的平方的 3 倍”，先表示 “\(a\)的 2 倍与\(b\)的差” 为\(2a - b\)，再表示 “差的平方” 为\((2a - b)^2\)，最后表示 “平方的 3 倍” 为\(3(2a - b)^2\)。
注意单位和实际意义，确保代数式有意义：
在实际问题中，列代数式需考虑字母的取值范围（如分母不为 0，边长、时间等为正数）。例如：“长方形的宽为\(x\)米，长比宽多 2 米”，则长为\(x + 2\)米，需满足\(x 0\)且\(x + 2 0\)（即\(x 0\)）。
四、常见错误与规避方法
运算顺序混淆：
常见错误：将 “\(a\)与\(b\)的差的平方” 表示为\(a - b^2\)（正确应为\((a - b)^2\)）；将 “\(x\)的 2 倍与\(y\)的和的 3 倍” 表示为\(2x + 3y\)（正确应为\(3(2x + y)\)）。
规避方法：遇到 “的…… 的” 结构时，从后往前逐层分析，必要时用括号明确运算顺序，可通过画横线标注优先级（如 “\(a\)与\(b\)的差的平方”：先算\(\underline{a b · }\)，再算\(\underline{ · }\)）。
关键词理解偏差：
常见错误：将 “\(a\)比\(b\)大 5” 表示为\(a + 5 = b\)（混淆代数式与等式，正确应为\(a = b + 5\)或代数式\(b + 5\)）；将 “减少到原来的\(\frac{1}{3}\)” 表示为\(x - \frac{1}{3}x\)（“减少到” 是指最终结果为原来的\(\frac{1}{3}\)，正确应为\(\frac{1}{3}x\)，而 “减少了\(\frac{1}{3}\)” 才是\(x - \frac{1}{3}x\)）。
规避方法：区分 “代数式” 与 “等式”，代数式中不含等号；明确 “减少了”（减去部分量）与 “减少到”（最终量为目标值）、“比\(A\)多\(B\)”（\(A + B\)）与 “\(A\)比\(B\)多”（\(A - B\)）的差异。
字母表示不规范或遗漏：
常见错误：未明确字母含义，如 “某数的 3 倍” 直接表示为\(3x\)但未说明\(x\)表示该数；几何问题中未标注字母对应的图形元素（如未说明\(a\)表示长方形的长）。
规避方法：列代数式前先明确 “设…… 为\(x\)”，在实际问题中注明字母的单位和含义（如 “设长方形的长为\(x\)米，则宽为\(x - 2\)米”）。
忽略实际意义导致取值错误：
常见错误：在 “除数为某数的倒数” 中未注明除数不为 0（如 “\(x\)的倒数与\(y\)的和” 应表示为\(\frac{1}{x} + y\)，并注明\(x 0\)）；在面积问题中出现边长为负数的代数式（如 “边长为\(a - 3\)的正方形” 未注明\(a 3\)）。
规避方法：列代数式后检查是否存在分母为 0、开偶次方数为负、长度 / 时间为负等不合理情况，必要时标注字母的取值范围。
五、典型例题解析
基础数量关系：
用代数式表示下列数量关系：
（1）\(x\)的\(\frac{1}{2}\)与\(y\)的 3 倍的差；
（2）\(a\)与\(b\)的平方和的倒数；
（3）比\(m\)的相反数大 2 的数。
解：
（1）“\(x\)的\(\frac{1}{2}\)” 为\(\frac{1}{2}x\)，“\(y\)的 3 倍” 为\(3y\)，差为\(\frac{1}{2}x - 3y\)；
（2）“\(a\)与\(b\)的平方和” 为\(a^2 + b^2\)，倒数为\(\frac{1}{a^2 + b^2}\)（\(a^2 + b^2 0\)）；
（3）“\(m\)的相反数” 为\(-m\)，比其大 2 的数为\(-m + 2\)。
几何图形问题：
一个梯形的上底长为\(a\)，下底长是上底的 2 倍，高比上底小 1，用代数式表示该梯形的面积。
解：
下底长为\(2a\)，高为\(a - 1\)（需满足\(a 1\)）；
梯形面积公式为\(\frac{1}{2} ( + ) é \)，因此面积为\(\frac{1}{2}(a + 2a)(a - 1) = \frac{3a(a - 1)}{2}\)。
实际应用问题：
某班有男生\(x\)人，女生人数比男生的\(\frac{3}{4}\)多 2 人，
（1）用代数式表示该班的总人数；
（2）若男生有 20 人，求该班总人数。
解：
（1）女生人数为\(\frac{3}{4}x + 2\)，总人数为 (x + (\frac {3}{4} x + 2) = \frac {7
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.2列代数式表示数量关系
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 会列代数式表示数量关系
2. 会列代数式表示规律.
橡皮擦的单价是 3 元，钢笔的单价比橡皮擦的 2 倍还多 2.5 元，则钢笔的单价为多少元？
列出算式：
2×3 + 2.5
橡皮擦的单价是 x 元，钢笔的单价比橡皮擦的 2 倍还多 2.5 元，则钢笔的单价为多少元？
算术（数） 代数（式）
用字母表示数
2x + 2.5
在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式.
新知探索
思 考
如何用代数式表示 a，b 两数的和与差的积？
可以按下面的步骤列代数式：
a
b
两数的和
a + b
a
b
两数的差
a - b
它们的积
(a+b)(a-b)
在本套书中，如无特别说明，a，b 两数的差，a 与 b 的差，都指
“a－b”.
用代数式表示：
（1）a 与 b 的积的 5 倍； （2）a 与 b 的 5% 的差；
（3）x 与 y 的和的平方； （4）x，y 两数的平方和.
5ab
a - 5%b
(x + y)2
x2 + y2
例 题
【教材P72】
例 3 用代数式表示：
（1）购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数.
分析：总钱数 = 2 个面包的总价 + 3 瓶饮料的总价
所需的钱数为(2a + 3b)元
（2）把 a 元钱存入银行，存期 3 年，年利率为 2.75%，
到期时的利息是多少元？
分析：利息 = 本金×年利率×存期
根据题意，得 a×2.75%×3 = 8.25%a
到期时的利息为 8.25%a 元.
（3）某商品的进价为 x 元，先按进价的 1.1 倍标价，后又降价 80 元出售，现在的售价是多少元？
分析：现在的售价 = 原来的标价 – 降价数
现在的售价为(1.1x - 80)元
列代数式时的注意点：
1. 认真审题，将问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算. 如：“大”“小”“多”“少”“和”“差”
“积”“商”“倍”“分”“比”“几分之几”“平方”
“除以”等都是表示数量关系的常用词语.
2. 注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般是“先读先写”.
列代数式时的注意点：
3. 要掌握各类实际问题中的基本量的关系和公式.
4. 根据运算顺序及与数量关系有关的“与”“的”等字，将句子分成几个层次，逐层分析，一步步地列出代数式.
例 题
【教材P72】
例 4 甲、乙两地之间公路全长 240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为 v km/h.
（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？
时间 =
路程
速度
汽车从甲地到乙地需要行驶 h.
（2）如果汽车的行驶速度增加 3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？
早到的时间 = 原来需要行驶的时间 – 加快速度后需要行驶的时间
速度增加 3 km/h，需要的行驶时间 h.
加快速度后可以早到（ - ）h.
列代数式表示规律
有一组按规律排列的数：1，-2，3，-4，5，-6，… .
（1）这组数的第 100 个数是_______；
（2）用代数式表示第 n 个数为_____________.
（3）2026 在这组数中吗？
数
符号规律
绝对值规律
偶数位上的数符号为负，
奇数位上的数符号为正
第 n 个数的符号为(-1)n+1
第 n 个数的绝对值为n
-100
(-1)n+1·n
2026 不在这组数中
观察一组数： … .
根据你发现的规律，用代数式表示这组数中的第 n 个数为
_______________.
练 习
【教材P73】
1. 用代数式表示：
（1）比 a 的 2 倍大 1 的数；
（2）a 的相反数与 b 的一半的差；
（3）a 的平方除以 b 的商.
2a + 1
-a -
2. 某种商品每袋 4.8 元，一个月内销售了 m 袋，用代数式
表示这个月内销售这种商品的收入.
4.8m
1. 设表示任意一个整数，用含 的代数式表示任意一个奇数
为( )
D
A. B. C. D.
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2. ［2025福州期中］用代数式表示“的3倍与 的差的平方”，
正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 母题教材P73练习 如图，阴影部
分的面积为( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆的面积，
由题图可知圆的直径等于 ，所以阴影部分的面积为
.
返回
4. “元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以
孟春三月为元，其时正朔元旦之春.”为庆祝元旦，某商场举
行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商
品按原价打8折后，再减少20元”.若某商品的原价为 元
，则购买该商品实际付款的金额是( )
A
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
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5.某银行一年定期存款的利率是,存入 元钱，一年后所
得利息是_______元.
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列代数式时要厘清运算顺序，一般按先读先写的原则确定其先后顺序.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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