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3.1.3 反比例关系
在现实生活中，我们常常会遇到这样的数量关系：当一个量增大时，另一个量反而减小，且它们的乘积始终保持不变。这种特殊的数量关系就是反比例关系。反比例关系是继正比例关系之后又一重要的函数关系，它在数学、物理、经济等多个领域都有着广泛的应用。理解反比例关系的本质、表达式及图像特征，能帮助我们更好地分析和解决实际问题。
一、反比例关系的定义
核心概念：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
例如：路程一定时，速度和时间成反比例关系（速度 × 时间 = 路程，路程不变）；总价一定时，单价和数量成反比例关系（单价 × 数量 = 总价，总价不变）。
关键词解析：
相关联的量：两种量之间存在依赖关系，一种量的变化会引起另一种量的变化。例如 “工作总量一定时，工作效率和工作时间”，工作效率变化会导致工作时间变化，二者相关联。
乘积一定：这是反比例关系的本质特征。若用字母\(x\)和\(y\)表示两种相关联的量，用\(k\)表示它们的乘积（定值），则有\(x y = k\)（\(k\)为常数，且\(k 0\)）。
与正比例关系的区别：
正比例关系的核心是 “比值一定”（\(\frac{y}{x}=k\)），而反比例关系的核心是 “乘积一定”（\(x y=k\)）；正比例关系中两种量变化方向相同（同增同减），反比例关系中两种量变化方向相反（一增一减）。
二、反比例关系的数学表达式
基本形式：
若两种量\(x\)和\(y\)成反比例关系，则它们的关系可表示为：\(
x \times y = k \quad (\text{ }\ k \text{ ° }\ k \neq 0)
\)
也可变形为：\(
y = \frac{k}{x} \quad (\text{ }\ x = \frac{k}{y})
\)
其中\(k\)叫做反比例系数，它表示两种量相对应的乘积定值。
表达式的意义：
在\(y = \frac{k}{x}\)中，当\(k 0\)时，\(x\)增大，\(y\)减小；\(x\)减小，\(y\)增大（如路程为正数时，速度和时间的关系）。
当\(k 0\)时，\(x\)为正数时\(y\)为负数，\(x\)增大，\(y\)（负数）反而减小（绝对值增大），这在实际问题中需结合具体情境判断合理性（如涉及相反意义的量时可能出现）。
字母取值范围：
由于分母不能为\(0\)，且乘积\(k 0\)，因此\(x\)和\(y\)都不能为\(0\)，即\(x 0\)，\(y 0\)。在实际问题中，\(x\)和\(y\)通常为正数（如时间、数量、长度等）。
三、反比例关系的判断方法
判断两种量是否成反比例关系，需遵循以下步骤：
确定是否相关联：分析两种量是否存在依赖关系，一种量变化是否会引起另一种量的变化。
计算相对应的乘积：列出两种量相对应的几组数值，计算每组数值的乘积。
验证乘积是否一定：若所有组的乘积都相等（为同一个常数），则这两种量成反比例关系；否则不成反比例关系。
示例：判断下表中\(x\)和\(y\)是否成反比例关系。
\(x\)
1
2
3
4
5
\(y\)
6
3
2
1.5
1.2
计算乘积：\(1 6 = 6\)，\(2 3 = 6\)，\(3 2 = 6\)，\(4 1.5 = 6\)，\(5 1.2 = 6\)。
所有组的乘积均为\(6\)（定值），因此\(x\)和\(y\)成反比例关系，表达式为\(x y = 6\)或\(y = \frac{6}{x}\)。
四、反比例关系的图像特征
反比例关系的图像是双曲线，它具有以下特征：
分布区域：当\(k 0\)时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当\(k 0\)时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。
与坐标轴的关系：双曲线永不与\(x\)轴、\(y\)轴相交（因为\(x\)和\(y\)都不能为\(0\)）。
变化趋势：在每一支上，\(y\)随\(x\)的增大而减小（\(k 0\)时）或增大（\(k 0\)时），但图像不会与坐标轴重合。
对称性：双曲线关于原点对称，即若点\((a,b)\)在图像上，则点\((-a,-b)\)也在图像上（\(k 0\)时）。
示例：反比例关系\(y = \frac{6}{x}\)（\(k=6 0\)）的图像在第一、三象限，当\(x\)从\(1\)增大到\(6\)时，\(y\)从\(6\)减小到\(1\)，呈现典型的双曲线形态。
五、反比例关系的实际应用场景
行程问题：
当路程\(s\)一定时，速度\(v\)和时间\(t\)成反比例关系，即\(v t = s\)。例如：从\(A\)地到\(B\)地的路程为\(120\)千米，若速度为\(60\)千米 / 小时，时间为\(2\)小时；若速度变为\(40\)千米 / 小时，时间则变为\(3\)小时（\(60 2 = 40 3 = 120\)）。
工程问题：
当工作总量\(W\)一定时，工作效率\(p\)和工作时间\(t\)成反比例关系，即\(p t = W\)。例如：一项工程总量为\(600\)个工时，若\(10\)人合作（每人效率为\(1\)工时 / 天），需\(60\)天完成；若增加到\(15\)人，只需\(40\)天完成（\(10 60 = 15 40 = 600\)）。
经济问题：
当总价\(C\)一定时，单价\(p\)和数量\(n\)成反比例关系，即\(p n = C\)。例如：用\(300\)元买笔记本，若单价为\(15\)元，可买\(20\)本；若单价降至\(10\)元，则可买\(30\)本（\(15 20 = 10 30 = 300\)）。
几何问题：
当长方形面积\(S\)一定时，长\(a\)和宽\(b\)成反比例关系，即\(a b = S\)。例如：面积为\(24\)平方厘米的长方形，若长为\(8\)厘米，宽为\(3\)厘米；若长变为\(6\)厘米，宽则变为\(4\)厘米（\(8 3 = 6 4 = 24\)）。
物理问题：
在物理学中，压强\(p\)、压力\(F\)和受力面积\(S\)的关系为\(p = \frac{F}{S}\)，当压力\(F\)一定时，压强\(p\)和受力面积\(S\)成反比例关系（\(p S = F\)）。例如：压力为\(100\)牛时，受力面积为\(2\)平方米，压强为\(50\)帕；若受力面积变为\(5\)平方米，压强则变为\(20\)帕（\(50 2 = 20 5 = 100\)）。
六、反比例关系的计算与应用
求反比例系数\(k\)：
若已知一组对应值\((x_0,y_0)\)，则\(k = x_0 y_0\)，进而可确定反比例关系表达式。
示例：已知\(x\)和\(y\)成反比例关系，且当\(x = 3\)时，\(y = 4\)，求表达式。
解：\(k = 3 4 = 12\)，因此表达式为\(x y = 12\)或\(y = \frac{12}{x}\)。
根据表达式求对应值：
已知反比例关系表达式和其中一个量的值，可求出另一个量的值。
示例：若\(y = \frac{10}{x}\)，当\(x = 5\)时，\(y = \frac{10}{5} = 2\)；当\(y = 0.5\)时，\(x = \frac{10}{0.5} = 20\)。
解决实际问题：
步骤：① 确定两种相关联的量，判断是否成反比例关系；② 设表达式为\(x y = k\)，根据已知条件求\(k\)；③ 利用表达式解决问题。
示例：一批货物，若用载重量为\(8\)吨的卡车运输，需\(15\)辆；若改用载重量为\(10\)吨的卡车，需多少辆？
解：货物总量一定，载重量和卡车数量成反比例关系。设需\(x\)辆，\(8 15 = 10 x\)，解得\(x = 12\)，即需\(12\)辆。
七、常见错误与规避方法
混淆正比例与反比例：
常见错误：认为 “一种量增大另一种量减小就是反比例关系”（忽略 “乘积一定” 的核心条件）。例如：身高和体重的关系，身高增大体重不一定按乘积定值变化，不成反比例。
规避方法：严格按照定义判断，关键看两种量的乘积是否为定值，而非单纯看变化方向。
忽略实际意义中的取值范围：
常见错误：在实际问题中未考虑\(x\)和\(y\)的正数限制，如计算人数、时间时出现负数或零。
规避方法：结合具体情境，明确字母的实际含义，确保取值符合现实意义（如时间、数量为正数）。
图像理解错误：
常见错误：认为反比例图像会与坐标轴相交，或认为在不同象限中\(y\)随\(x\)的变化趋势一致。
规避方法：牢记反比例图像是双曲线，永不与坐标轴相交，且不同象限的变化趋势需结合\(k\)的符号判断。
八、典型例题解析
判断反比例关系：
下列两种量是否成反比例关系？为什么？
（1）长方形的周长一定，长和宽；（2）总页数一定，每天看的页数和看完书的天数。
解：
（1）不成反比例。长方形周长\(= 2 (é + )\)，周长一定时，长和宽的和一定，但乘积不一定，因此不成反比例。
（2）成反比例。总页数\(= ¤ é ° ¤ °\)，总页数一定，即乘积一定，因此成反比例。
求反比例表达式及对应值：
已知\(y\)与\(x\)成反比例关系，且当\(x = 2\)时，\(y = -6\)，
（1）求\(y\)与\(x\)的表达式；（2）当\(x = -3\)时，求\(y\)的值；（3）当\(y = 4\)时，求\(x\)的值。
解：
（1）设表达式为\(y = \frac{k}{x}\)，代入\(x = 2\)，\(y = -6\)得\(-6 = \frac{k}{2}\)，解得\(k = -12\)，因此表达式为\(y = \frac{-12}{x}\)；
（2）当\(x = -3\)时，\(y = \frac{-12}{-3} = 4\)；
（3）当\(y = 4\)时，\(4 = \frac{-12}{x}\)，解得\(x = -3\)。
实际应用问题：
某工厂要生产一批零件，原计划每天生产\(50\)个，\(20\)天完成；实际每天生产的数量是原计划的\(1.25\)倍，实际多少天完成？
解：
零件总数一定，每天生产数量和天数成反比例关系。
原计划每天生产\(50\)个，实际每天生产\(50 1.25 = 62.5\)个。
设实际\(x\)天完成，\(50 20 = 62.5 x\)，解得\(x = 16\)，即实际\(16\)天完成。
反比例关系是描述两种量反向变化且乘积一定的重要数学模型，它通过简洁的表达式\(x y = k\)揭示了数量之间的内在规律。在学习过程中，需重点把握 “乘积一定” 的核心特征，学会区分反比例与正比例关系，熟练运用表达式解决实际问题。通过分析反比例关系的图像和应用场景，能进一步加深对其本质的理解，为后续学习反比例函数奠定坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.3反比例关系
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 知道反比例关系的概念
2. 掌握反比例关系的表示
3.会判断两个量是否成反比例关系
一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比的量.
工作效率×工作时间 = 工作量
（保持不变）
什么关系？
问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 m3. 解答下列问题：
（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表格.
每天造雪量/m3 5000 5200 6500 …
造雪天数 …
52
50
40
（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们这间有什么关系？
每天造雪量/m3 5000 5200 6500 …
造雪天数 …
52
50
40
每天造雪量变大
造雪天数变小
5 000×52 = 5 200×50 = 6 500×40 = 260 000
造雪天数随着每天造雪量的变大而变小
造雪天数与每天造雪量的乘积一定
每天造雪量/m3 5000 5200 6500 …
造雪天数 …
52
50
40
（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们这间有什么关系？
反比例关系
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k ≠ 0），反比例关系可以 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数.
x，y 是两个相关联的量 正比例关系
反比例关系
y = kx（k是一个确定的值，且 k ≠ 0）
xy = k（k是一个确定的值，且 k ≠ 0）
特别提醒
理解成反比例关系的两个量应注意以下两点:
（1）一个量随着另一个量的变化而变化，且变化的方向相反，即一个量随着另一个量的变大而变小；
（2）这两个量的乘积一定.
例 题
【教材P74】
例 5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水.
（1）四个容器中的高度分别是多少厘米？
分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：
圆柱的体积 = 底面积×高
圆柱的体积
底面积
高 =
例 题
【教材P74】
例 5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水.
（1）四个容器中的高度分别是多少厘米？
解：四个容器中水的高度分别为
（2）分别用 x（单位：cm2）和 y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 y 与 x 的关系，y 与 x 成什么比例关系？
xy = 300. y 与 x 成反比例关系.
思 考
生活中，成反比例关系的例子是很常见的. 例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系. 你还能举出一些例子吗？
铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数
判断两个量是否成反比例关系的方法：
两个量是不是相关联的量
不是
是
不成比例关系
比较两个量中相对
应的两个数的乘积
乘积改变，不成反比例关系
乘积一定，成反比例关系
练 习
【教材P75】
1. 如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？
成反比例关系
速度×时间 = 路程
2. 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：
（1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量；
（2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高；
（3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用.
成反比例关系
成反比例关系
不成反比例关系
3. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数
与运输的天数之间的关系如下表所示.
每天运输的吨数 500 250 10 50 …
运输的天数 1 2 5 10 …
（1）这批货物共有多少吨？
500 吨
（2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？
每天运输的吨数 500 250 10 50 …
运输的天数 1 2 5 10 …
运输的天数对着每天运输的吨数减少而增多
（3）用 t 表示运输的天数，用 a 表示每天运输的吨数，用式子表示 t 与 a 的关系. t 与 a 成什么比例关系？
t 与 a 成反比例关系
每天运输的吨数 500 250 10 50 …
运输的天数 1 2 5 10 …
1. 用代数式表示：
【习题3.1教材P75~77】
（1）m 的 2 倍； （2）n 的 ；
2m
（3）比 x 的 2 倍少 1 的数； （4）a 的立方除以 b 的商.
2x -1
2. 说出下列代数式的意义：
（1）3x + 6；
（2）5(m - 2)；
（3）a2 + b2；
（4） .
x 的 3 倍与 6 的和
m 与 2 的差的 5 倍
a 的平方与 b 的平方的和
n 与 1 的和除以 n 与 1 的差的商
3. 用代数式表示：
（1）棱长为 a 的正方体的表面积.
（2）位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观者 a 万人，预计今后每年平均接待参观者 b 万人，c 年后累计接待的总人数为多少万人？
6a2
a + bc
（3）设某银行一年定期存款的利率是 1.5%，存入 a 元钱，一年后得到的利息是多少元？本息和（存入的钱与利息的和）是多少元？
1.5%a
（1+ 1.5%）a
（4）甲、乙两地相距 s km. 李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时 t h；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前 1 h 到达乙地. 公交车的速度是多少？
4. 判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：
（1）200 名同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数；
（2）三角形的面积是 6 cm2，它的一条边的长与这条边上的高；
成反比例关系
成反比例关系
（3）张华每小时可以制作 120 朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间.
不成反比例关系
5. 糖果厂生产一批水果糖. 把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表所示.
每袋装的颗数 10 12 18 20 24 …
总袋数 360 300 200 180 150 …
（1）这批水果糖共有多少颗？
（2）总袋数是怎样随着每袋数的颗数的变化而变化的？
3600 颗
总袋数随着每袋数的颗数的变大而变小.
每袋装的颗数 10 12 18 20 24 …
总袋数 360 300 200 180 150 …
（3）用 n 表示总袋数，m 表示每袋装的颗数，用式子表示 n 与 m 的关系. n 与 m 成什么比例关系？
n 与 m 成反比例关系
综合运用
6.（1）如图，一个手工串珠作品由 5 颗红色珠子与 5 颗黑色珠子串成，红色珠子每颗 a 元，黑色珠子每颗 b 元，购买这些珠子共花费___________元.
5(a + b)
（2）甲、乙两车间生产同一种化工产品，甲车间每天生产 a t，乙车间每天生产 b t. 两车间各生产 5 天，
一共生产___________t 化工产品.
5(a + b)
7. 说出下列各组代数式的意义有什么不同，并举例说明它们表示的实际问题中的数量关系：
（1）2m-1 与 2(m-1)；
2m-1 表示 m 的 2 倍与 1 的差，2(m-1) 表示 m 与 1 的差的 2 倍.
（2） 与 .
表示 a 的一半， 表示 与 a 的和
8. 观察一组数：5，10，15，20，25，… .
（1）你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能得排列规律.
（2）根据（1）中的规律，用代数式表示第 n 个数.
每个位置的数为所处位置的序数的 5 倍.
5n
9. 甲、乙、丙 3 名同学阅读同一本书，丙的阅读时间最长.
（1）甲读完这本书用了 14 天，每天读 18 页. 乙读完这本书用了 21 天，每天读多少页？丙读完这本书用了 x 天，每天读多少页？他们读的天数和每天读的页数之间有什么关系？
14×18 = 252，252÷21 = 12.
因此，乙每天读 12 页，丙每天读 页，他们读的天数和每天读的页数之间成反比例关系.
（2）两星期内，照这样的速度阅读 t 天，他们各读了多少页？还剩多少页？已读的页数和剩下的页数成反比例关系吗？为什么？
甲读了 18t 页，还剩 (252-18t)页；
乙读了 12t 页，还剩(252-12t)页；
丙读了 页，还剩 页.
已读的页数和剩下的页数不成反比例关系，理由：它们的乘积不是定值.
10.（1）设 n 表示任意一个整数，用含 n 的代数式表示任意一个偶数及任意一个奇数；
拓广探索
（2）一个三位数的个位上的数字为 a，十位上的数字为 b，百位上的数字为 c，用含 a，b，c 的代数式表示这个三位数.
偶数：2n； 奇数：2n+1（或2n-1）
100c + 10b + a
11. 3 支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数是多少？4 支球队呢？5 支球队呢？n 支球队呢？
3 支球队总的比赛场数是 3 场
4 支球队总的比赛场数是 6 场
5 支球队总的比赛场数是 10 场
n 支球队总的比赛场数是 场
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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