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3.2.1 求代数式的值
求代数式的值是代数运算中的重要内容，它是将代数式中的字母用具体数值代替后，按照代数式规定的运算顺序计算出结果的过程。这一过程不仅能检验我们对代数式意义的理解，还能帮助我们将抽象的代数表达式与具体的数值结果联系起来，为解决实际问题提供有力工具。
一、求代数式的值的基本概念
定义：
用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指定的运算顺序进行计算，所得的结果叫做代数式的值。
例如：对于代数式\(2x + 3\)，当\(x = 4\)时，代入得\(2 4 + 3 = 11\)，则\(11\)就是代数式\(2x + 3\)当\(x = 4\)时的值。
代数式的值的特点：
代数式的值由代数式中字母的取值决定，同一个代数式，当字母取不同的值时，所得的代数式的值可能不同。例如：代数式\(x^2 - 1\)，当\(x = 2\)时的值为\(3\)；当\(x = -2\)时的值也为\(3\)；当\(x = 0\)时的值为\(-1\)。
若代数式化简后不含有字母（即常数），则无论字母取何值，代数式的值都不变。例如：代数式\((x + 1)^2 - x^2 - 2x\)化简后为\(1\)，因此无论\(x\)取什么值，该代数式的值恒为\(1\)。
二、求代数式的值的基本步骤
求代数式的值通常遵循 “代入 — 计算” 的流程，具体步骤如下：
明确代数式和字母取值：
确定需要求值的代数式以及题目中给出的字母的具体取值。例如：求代数式\(3a - 2b\)当\(a = 5\)，\(b = 4\)时的值，其中代数式为\(3a - 2b\)，字母取值为\(a = 5\)，\(b = 4\)。
代入数值：
将字母的取值代入代数式中对应的位置，注意代入时要保持代数式的运算结构不变。若字母的取值是负数、分数或含运算符号的式子，代入时需添加括号，避免运算符号混淆。
示例 1：当\(x = -3\)时，代入代数式\(x^2 + 2x\)，应写成\((-3)^2 + 2 (-3)\)，而非\(-3^2 + 2 -3\)。
示例 2：当\(a = \frac{1}{2}\)时，代入代数式\(2a^2\)，应写成\(2 (\frac{1}{2})^2\)，而非\(2 \frac{1}{2}^2\)。
按运算顺序计算：
代入数值后，按照代数式中规定的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的）进行计算，逐步得出结果。
示例：求代数式\(2x^2 - 3x + 1\)当\(x = 3\)时的值。
代入得：\(2 3^2 - 3 3 + 1\)
先算乘方：\(2 9 - 3 3 + 1\)
再算乘除：\(18 - 9 + 1\)
最后算加减：\(10\)
写出结果：
计算完成后，明确写出代数式的值。上例中，代数式\(2x^2 - 3x + 1\)当\(x = 3\)时的值为\(10\)。
三、代入求值的常见类型与技巧
直接代入求值：
当字母的取值直接给出，且代数式结构简单时，可直接按步骤代入计算。
示例：求代数式\(5m + n\)当\(m = 2\)，\(n = -3\)时的值。
解：代入得\(5 2 + (-3) = 10 - 3 = 7\)。
先化简再代入求值：
当代数式较为复杂（如含有同类项或括号）时，先化简代数式（合并同类项、去括号等），再代入数值计算，可简化运算过程。
示例：求代数式\(3(x^2 - 2xy) - 3x^2 + 2y - 2(xy + y)\)当\(x = \frac{1}{2}\)，\(y = -3\)时的值。
解：先化简代数式：
原式\(= 3x^2 - 6xy - 3x^2 + 2y - 2xy - 2y\)\(= (3x^2 - 3x^2) + (-6xy - 2xy) + (2y - 2y)\)\(= -8xy\)
代入\(x = \frac{1}{2}\)，\(y = -3\)得：\(-8 \frac{1}{2} (-3) = (-4) (-3) = 12\)。
整体代入求值：
当已知条件中给出的是字母的代数式的值，而非单个字母的具体取值时，可将该代数式视为一个整体，代入到需要求值的代数式中。
示例 1：已知\(a + b = 5\)，求代数式\(2(a + b) + 3\)的值。
解：将\(a + b = 5\)整体代入得：\(2 5 + 3 = 13\)。
示例 2：已知\(x^2 - 2x = 3\)，求代数式\(3x^2 - 6x + 5\)的值。
解：观察发现\(3x^2 - 6x = 3(x^2 - 2x)\)，将\(x^2 - 2x = 3\)整体代入得：\(3 3 + 5 = 9 + 5 = 14\)。
根据字母关系求值：
当题目中给出字母之间的关系（如比例关系、倍数关系）时，可先用一个字母表示另一个字母，再代入代数式求值。
示例：已知\(2a = 3b\)（\(b 0\)），求代数式\(\frac{a + b}{b}\)的值。
解：由\(2a = 3b\)得\(a = \frac{3}{2}b\)，代入代数式得：\(\frac{\frac{3}{2}b + b}{b} = \frac{\frac{5}{2}b}{b} = \frac{5}{2}\)（\(b 0\)，可约去\(b\)）。
四、求代数式的值的注意事项
代入时的符号处理：
当字母的取值为负数时，代入后需用括号括起来，避免负数的符号与运算符号混淆。例如：当\(x = -2\)时，\(x^2\)应写成\((-2)^2\)，而非\(-2^2\)（\((-2)^2 = 4\)，\(-2^2 = -4\)，结果不同）。
当字母的取值是分数且参与乘方运算时，分数需用括号括起来。例如：当\(x = \frac{2}{3}\)时，\(x^2\)应写成\((\frac{2}{3})^2\)，而非\(\frac{2^2}{3}\)（\((\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\)，\(\frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}\)，结果不同）。
运算顺序的严格遵循：
代入数值后，必须按照 “先乘方，再乘除，最后加减” 的顺序计算，有括号的先算括号内的运算。例如：计算\(2 (3 - 1)^2\)时，应先算括号内的\(3 - 1 = 2\)，再算乘方\(2^2 = 4\)，最后算乘法\(2 4 = 8\)，不可先算\(2 3 = 6\)。
代数式有意义的条件：
代入的字母取值需使代数式有意义，例如：分式的分母不能为\(0\)，开偶次方的被开方数不能为负数。若题目中未明确说明，需隐含满足这一条件。例如：求代数式\(\frac{1}{x - 1}\)的值时，\(x\)不能取\(1\)（否则分母为\(0\)，代数式无意义）。
化简与求值的先后顺序：
对于复杂代数式，先化简再求值可减少计算量，避免错误。但化简过程中需保证代数式的等价性（即化简前后的代数式对于字母的所有允许取值都有相同的值）。例如：化简\(x + x\)为\(2x\)是等价的，但不能随意改变运算符号或遗漏项。
五、典型例题解析
直接代入求值：
求代数式\(3a^2b - 2ab^2 + ab\)当\(a = 1\)，\(b = -2\)时的值。
解：代入\(a = 1\)，\(b = -2\)得：
原式\(= 3 1^2 (-2) - 2 1 (-2)^2 + 1 (-2)\)\(= 3 1 (-2) - 2 1 4 + (-2)\)\(= -6 - 8 - 2 = -16\)。
先化简再求值：
求代数式\((2x^2 - 5xy + 2y^2) - (x^2 - 4xy + y^2)\)当\(x = -1\)，\(y = 2\)时的值。
解：先化简代数式：
原式\(= 2x^2 - 5xy + 2y^2 - x^2 + 4xy - y^2\)\(= (2x^2 - x^2) + (-5xy + 4xy) + (2y^2 - y^2)\)\(= x^2 - xy + y^2\)
代入\(x = -1\)，\(y = 2\)得：\((-1)^2 - (-1) 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7\)。
整体代入求值：
已知\(m - n = 3\)，\(mn = 2\)，求代数式\(3mn - 2m + 2n\)的值。
解：将代数式变形为\(3mn - 2(m - n)\)，
代入\(m - n = 3\)，\(mn = 2\)得：\(3 2 - 2 3 = 6 - 6 = 0\)。
结合实际问题求值：
某商店销售一种商品，每件的利润为\(x\)元，每天可销售\((200 - 10x)\)件，若每天的总利润为\(y\)元，求当\(x = 5\)时，每天的总利润\(y\)的值（总利润 = 每件利润 × 销售量）。
解：根据题意，总利润\(y = x(200 - 10x)\)，
当\(x = 5\)时，\(y = 5 (200 - 10 5) = 5 150 = 750\)（元）。
答：当每件利润为\(5\)元时，每天的总利润为\(750\)元。
求代数式的值是连接代数式与具体数值的桥梁，其核心在于准确代入和规范计算。在学习过程中，需熟练掌握直接代入、化简后代入、整体代入等不同方法，根据代数式的特点和题目条件选择合适的求值策略。同时，要特别注意符号处理和运算顺序，避免因细节失误导致结果错误。通过大量练习，不仅能提高计算的准确性和效率，还能加深对代数式意义的理解，为后续学习方程、函数等知识奠定基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.1求代数式的值
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握代数式的值的概念
2. 会求代数式的值
某校大礼堂第 1 排有 a 个座位，后面每排都比前一排多 2 个座位.
（1）第 2 排有多少个座位？用代数式表示第 n 排的座位数.
解：第 2 排有 (a + 2) 个座位，
第 n 排的座位数为 a + 2(n-1).
（2）若 a＝20，计算第 20 排的座位数.
某校大礼堂第 1 排有 a 个座位，后面每排都比前一排多 2 个座位.
在解决具体问题时，列出代数式后，往往还需要求出所需的数值.
新知探索
问题 为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班配 5 个，学校另外留 20 个，学校总共需要购置多少个排球？
记全校的班级数是 n，则需要购置的排球总数是
5n + 20
当班级数确定时，我们怎么得出要购置的排球总数？
新知探索
问题 为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班配 5 个，学校另外留 20 个，学校总共需要购置多少个排球？
班级数 1 5 10 … n
排球总数 …
25
45
70
5n + 20
如果班级数是 15，用 15 代替字母 n，那么需要购置的排球总数是
5n + 20 = 5×15 + 20 = 95
班级数 1 5 10 … n
排球总数 …
25
45
70
5n + 20
班级数 1 5 10 … n
排球总数 …
25
45
70
5n + 20
如果班级数是 20，用 20 代替字母 n，那么需要购置的排球总数是
5n + 20 = 5×20 + 20 = 120
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.
当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同.
班级数 1 5 10 … n
排球总数 …
25
45
70
5n + 20
针对训练
1. 某动物园的门票价格是：成人票每张 10 元，学生票每张 5 元. 一个旅游团有成人 x 元，学生 y 人，那么该旅游团应付___________元门票费.
( 10x + 5y )
列代数式：体现了特殊 → 一般
2. 如果该旅游团有 37 人成人、15 个学生，那么他们应付_______元门票费.
445
求代数式的值：体现了一般 → 特殊
例 题
【教材P79】
例 1 根据下列 x，y 的值，分别求代数式 2x + 3y 的值：
（1）x = 15，y = 12；（2）x = 1，y = .
解：（1）当 x = 15，y = 12 时，
2x + 3y = 2×15 + 3×12 = 66；
（2）当 x = 1，y = 时，
2x + 3y = 2×1 + 3× = .
求代数式的值的步骤:
（1）代入：用具体数值代替代数式中的字母；
（2）计算：按照代数式指明的运算顺序计算得出结果.
例 2 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 的值：
（1）a = 4，b = 12； （2）a = -3，b = 2.
解：（1）当 a = 4，b = 12 时，
（2）当 a = -3，b = 2 时，
特别提醒
（1）代数式中的字母可以取不同的数值，但要满足以下两点：
②要符合实际意义，如李明买了 n 个足球，则 n 必须是非负整数.
①必须使代数式有意义，如代数式 中的 a 不能取 1，否则代数式没有意义；
（2）代入数值时，原代数式中省略的乘号要还原.如代数式 xy，若 x = -2，y = ，则用数值替换后
为 (－2)× .
1. 根据下列 x，y 的值，分别求代数式 x2 + xy - y2
与 的值：
（1）x = 4，y = 2；（2）x = -1，y = .
解：（1）当 x = 4，y = 2 时，
x2 + xy - y2 = 42 + 4×2-22 = 20，
（1）x = 4，y = 2；（2）x = -1，y = .
（2）当 x = -1，y = 时，
代入数值时，将相应的字母换成已知的数值，原式中的数及运算符号都不能改变.
x2 + xy - y2 = (-1)2 + (-1)× - ( )2 = ，
2. 已知代数式 2x2 -3x + 2 的值为 5，求代数式
-5 + 2x2 -3x 的值.
思路分析
已知
转化
整体代入
2x2-3x+2 = 5
2x2-3x = 3
-5+2x2-3x = -5+3
2. 已知代数式 2x2 -3x + 2 的值为 5，求代数式
-5 + 2x2 -3x 的值.
解：由 2x2 -3x + 2 = 5，可得 2x2 -3x = 3.
把 2x2-3x = 3 代入，得 -5 + 2x2 -3x = -5 + 3 = -2.
当用目前所学知识无法求出字母的值时，常将给出的代数式或要求值的代数式进行适当变形，通过整体代入法求值.
练 习
【教材P80】
1. 填图：
2
4
0
-
- 3
a
2-3a
-10
4
11
2. 根据下列 x，y 的值，分别求代数式 x2 + 2xy + y2 的值：
（1）x = 2，y = -3； （2）x = ，y = -4.
解：（1）当 x = 2，y = -3 时，
x2 + 2xy + y2 = 22 + 2×2×(-3) + (-3)2 = 1.
（2）当 x = ，y = -4 时，
x2 + 2xy + y2 = ( )2 + 2× ×(-4) + (-4)2 = .
1. 若，则 ( )
A
A. B. 3 C. D. 7
【解析】因为，所以 .
返回
2. 已知是最大的负整数， 是绝对值最小的整数，则
的值是( )
B
A. B. C. 1 D. 2 026
【解析】因为是最大的负整数， 是绝对值最小的整数，所
以， ，所以
.
返回
3. ［2025福州期中］已知代数式，当 的取值分别为
，0，1，2时，对应代数式的值如表所示：
… 0 1 2 …
… 1 3 5 …
则 的值为( )
C
A. B. 1 C. 3 D. 5
返回
4. 历史上，数学家欧拉最先把关于 的多项式
用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用 来
表示，例如时，多项式 的值记为
，那么 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
5. 小佳在解问题“当， 时，求代数式
的值.”他的解题过程如下：
解：当， 时，
.
你认为他的计算正确吗？若正确，请说出理由；若不正确，
请写出正确的解法.
求代数式的值时，如果代入的数是负数或分数一定
要记着加括号，否则容易出现错误.
【解】小佳的计算不正确，正确的解法如下：
当， 时，
.
返回
6. ［2025徐州月考］已知，，且 ，则
的值为( )
D
A. B. 14 C. 或14 D. 6或14
【解析】因为，，所以， .因为
，所以，.当， 时，
；当， 时，
.综上， 的值为6
或14.
返回
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.
当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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