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3.2.2 几何中的代数式求值
在几何学习中，我们常常需要计算图形的周长、面积、体积等几何量。当图形的边长、半径、高等量用字母表示时，这些几何量可以用代数式来描述。几何中的代数式求值，就是将图形中字母的具体数值代入对应的代数式，计算出图形的周长、面积、体积等实际结果的过程。这一过程不仅能巩固代数式求值的基本方法，还能深化对几何公式的理解和应用。
一、几何中代数式的表示
几何图形的周长、面积、体积等公式本身就是代数式的重要应用。用字母表示图形的边长、角度、半径等基本量后，可通过几何公式得到对应的代数式：
平面图形：
长方形：若长为\(a\)，宽为\(b\)，则周长\(C = 2(a + b)\)，面积\(S = ab\)。
正方形：若边长为\(a\)，则周长\(C = 4a\)，面积\(S = a^2\)。
三角形：若底为\(a\)，高为\(h\)，则面积\(S = \frac{1}{2}ah\)。
圆：若半径为\(r\)，则周长\(C = 2\pi r\)，面积\(S = \pi r^2\)（\(\pi\)为圆周率，通常取\(3.14\)）。
梯形：若上底为\(a\)，下底为\(b\)，高为\(h\)，则面积\(S = \frac{1}{2}(a + b)h\)。
立体图形：
长方体：若长、宽、高分别为\(a,b,c\)，则棱长总和\(L = 4(a + b + c)\)，表面积\(S = 2(ab + bc + ac)\)，体积\(V = abc\)。
正方体：若棱长为\(a\)，则棱长总和\(L = 12a\)，表面积\(S = 6a^2\)，体积\(V = a^3\)。
圆柱：若底面半径为\(r\)，高为\(h\)，则侧面积\(S_{ §} = 2\pi rh\)，表面积\(S = 2\pi r(r + h)\)，体积\(V = \pi r^2h\)。
圆锥：若底面半径为\(r\)，高为\(h\)，则体积\(V = \frac{1}{3}\pi r^2h\)。
示例：一个长方形的长比宽多\(3\)厘米，设宽为\(x\)厘米，则长为\((x + 3)\)厘米，周长可表示为\(2[x + (x + 3)] = 2(2x + 3) = 4x + 6\)厘米，面积可表示为\(x(x + 3) = x^2 + 3x\)平方厘米。
二、几何中代数式求值的基本步骤
几何中的代数式求值需结合几何公式和代数式求值的基本方法，具体步骤如下：
确定几何量与字母表示：
明确要求的几何量（如周长、面积），并用字母表示图形中的未知量（如边长、半径），根据几何公式列出代数式。例如：求半径为\(r\)的圆的面积，代数式为\(S = \pi r^2\)。
获取字母的具体数值：
根据题目条件，得到字母的具体取值（如已知长方形的宽为\(5\)厘米，即\(x = 5\)）。注意单位需统一，若题目未明确单位，结果需注明单位。
代入代数式计算：
将字母的数值代入代数式，按照运算顺序计算结果。若代数式涉及几何公式，需确保公式应用正确，避免混淆周长与面积、表面积与体积等概念。
示例：已知长方形的宽\(x = 4\)厘米（长为\(x + 3\)厘米），求其面积。
面积代数式为\(x^2 + 3x\)，代入\(x = 4\)得：\(4^2 + 3 4 = 16 + 12 = 28\)平方厘米。
验证结果的合理性：
结合几何图形的实际意义检验结果，例如长度、面积、体积不能为负数，计算结果的单位需与几何量匹配（如面积单位为平方厘米，体积单位为立方厘米）。
三、常见几何场景的代数式求值
平面图形的周长与面积求值：
示例 1：一个正方形的边长为\(a = 6\)米，求其周长和面积。
解：周长\(C = 4a = 4 6 = 24\)米；面积\(S = a^2 = 6^2 = 36\)平方米。
示例 2：一个梯形的上底\(a = 3\)厘米，下底\(b = 5\)厘米，高\(h = 4\)厘米，求其面积。
解：面积\(S = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2} (3 + 5) 4 = \frac{1}{2} 8 4 = 16\)平方厘米。
立体图形的表面积与体积求值：
示例 1：一个正方体的棱长\(a = 2\)分米，求其表面积和体积。
解：表面积\(S = 6a^2 = 6 2^2 = 6 4 = 24\)平方分米；体积\(V = a^3 = 2^3 = 8\)立方分米。
示例 2：一个圆柱的底面半径\(r = 5\)厘米，高\(h = 10\)厘米，求其体积（\(\pi\)取\(3.14\)）。
解：体积\(V = \pi r^2h = 3.14 5^2 10 = 3.14 25 10 = 785\)立方厘米。
含动态关系的几何求值：
当图形的边长或角度随某个量变化时，需先列出含变量的代数式，再代入具体数值。
示例：一个长方形的长为\(x\)厘米，宽为\(y\)厘米，若长增加\(2\)厘米，宽减少\(1\)厘米，求新长方形的面积当\(x = 8\)，\(y = 5\)时的值。
解：新长方形的长为\((x + 2)\)厘米，宽为\((y - 1)\)厘米，面积代数式为\((x + 2)(y - 1)\)。
代入\(x = 8\)，\(y = 5\)得：\((8 + 2) (5 - 1) = 10 4 = 40\)平方厘米。
组合图形的代数式求值：
组合图形的几何量可表示为基本图形几何量的和或差，列出代数式后再求值。
示例：一个由正方形和半圆组成的图形，正方形边长为\(a = 4\)厘米，半圆的直径等于正方形的边长，求该图形的面积（\(\pi\)取\(3.14\)）。
解：正方形面积为\(a^2\)，半圆面积为\(\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2\)，总面积代数式为\(a^2 + \frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2\)。
代入\(a = 4\)得：\(4^2 + \frac{1}{2} 3.14 (\frac{4}{2})^2 = 16 + \frac{1}{2} 3.14 4 = 16 + 6.28 = 22.28\)平方厘米。
四、几何中代数式求值的技巧与注意事项
公式记忆与准确应用：
熟练掌握各类几何图形的周长、面积、体积公式是求值的基础，避免混淆相似公式（如长方形面积与周长公式、圆柱侧面积与表面积公式）。例如：长方形面积是\(ab\)，周长是\(2(a + b)\)，不可将面积计算为\(2(a + b)\)。
单位统一与规范标注：
几何量的单位需统一，计算结果必须注明单位，且单位需与几何量类型匹配（长度单位：厘米、米等；面积单位：平方厘米、平方米等；体积单位：立方厘米、立方米等）。例如：计算圆的面积时，结果单位应为 “平方\(+\)长度单位”。
动态图形的变量关系分析：
当图形的部分量变化时，需明确变量之间的关系（如 “长增加\(m\)” 表示为\(a + m\)，“宽减少到原来的一半” 表示为\(\frac{b}{2}\)），再列出代数式。例如：“一个三角形的底扩大到原来的\(2\)倍，高不变”，新面积代数式为\(\frac{1}{2} 2a h = ah\)（原面积为\(\frac{1}{2}ah\)）。
组合图形的分解技巧：
组合图形求值时，先将其分解为基本图形（如三角形、矩形、圆），分别表示各部分的几何量，再通过加、减关系得到总几何量的代数式。例如：求圆环的面积，可表示为外圆面积减去内圆面积，即\(\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)\)（\(R\)为外圆半径，\(r\)为内圆半径）。
\(\pi\)的取值处理：
涉及圆、圆柱、圆锥等含\(\pi\)的图形时，题目通常会明确\(\pi\)的取值（如取\(3.14\)或\(\frac{22}{7}\)），若未明确可保留\(\pi\)在结果中（如 “面积为\(4\pi\)平方厘米”）。例如：半径为\(2\)的圆面积，未说明\(\pi\)取值时，结果可表示为\(4\pi\)。
五、典型例题解析
基础图形求值：
一个三角形的底为\(a = 10\)厘米，高为\(h = 6\)厘米，求其面积。若底增加\(2\)厘米，高减少\(1\)厘米，新面积是多少？
解：原面积\(S_1 = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} 10 6 = 30\)平方厘米；
新底为\(10 + 2 = 12\)厘米，新高为\(6 - 1 = 5\)厘米，新面积\(S_2 = \frac{1}{2} 12 5 = 30\)平方厘米。
含字母关系的求值：
已知一个长方形的周长为\(24\)厘米，长比宽多\(2\)厘米，设宽为\(x\)厘米，求长方形的面积。
解：长为\((x + 2)\)厘米，周长代数式为\(2[x + (x + 2)] = 24\)，
化简得\(2(2x + 2) = 24\)，即\(4x + 4 = 24\)，解得\(x = 5\)；
长为\(5 + 2 = 7\)厘米，面积\(S = 5 7 = 35\)平方厘米。
立体图形求值：
一个长方体的长、宽、高分别为\(a = 3\)米，\(b = 2\)米，\(c = 1\)米，求其表面积和体积。若长、宽、高都扩大到原来的\(2\)倍，表面积和体积各变为多少？
解：原表面积\(S_1 = 2(ab + bc + ac) = 2(3 2 + 2 1 + 3 1) = 2(6 + 2 + 3) = 22\)平方米；
原体积\(V_1 = abc = 3 2 1 = 6\)立方米；
扩大后长、宽、高为\(6\)米、\(4\)米、\(2\)米，
新表面积\(S_2 = 2(6 4 + 4 2 + 6 2) = 2(24 + 8 + 12) = 88\)平方米（是原表面积的\(4\)倍）；
新体积\(V_2 = 6 4 2 = 48\)立方米（是原体积的\(8\)倍）。
组合图形求值：
如图，一个正方形内有一个最大的圆，正方形边长为\(a = 8\)厘米，求阴影部分（正方形减去圆）的面积（\(\pi\)取\(3.14\)）。
解：正方形面积为\(a^2 = 8^2 = 64\)平方厘米；
圆的直径等于正方形边长，半径\(r = 4\)厘米，圆面积为\(\pi r^2 = 3.14 4^2 = 50.24\)平方厘米；
阴影面积\( = 64 - 50.24 = 13.76\)平方厘米。
几何中的代数式求值是代数方法与几何知识的结合，其核心是用代数式表示几何量，再通过代入计算解决实际问题。在学习过程中，需熟练掌握几何公式，明确图形中各量的关系，规范处理单位和运算顺序。通过解决不同类型的几何求值问题，不仅能提高代数式求值的技能，还能培养空间想象能力和几何直观，为后续学习更复杂的几何知识和代数应用奠定基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.2几何中的代数式求值
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
掌握几何中的代数式求值
有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述.
面积：
体积：
周长公式
正方形：
长方形：
C = 4a（a 为正方形的边长）
C = 2(a+b)（a，b 分别为长方形的长、宽）
圆：
C = 2πr（r 为圆的半径）
面积公式
正方形：
三角形：
长方形：
圆：
梯形：
S = ah（h 为底边 a 上的高）
S = a2（a 为正方形的边长）
S = ab（a，b 分别为长方形的长、宽）
S = πr2（r 为圆的半径）
S = (a+b)（a，b，h 分别为上底、下底、高）
体积公式
长方形：
正方形：
V = abc（a，b，c 分别为长方体的长、宽、高）
V = a3（a为长方体的棱长）
新知探索
例 3 如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 a，半圆形弯道的直径为 b.
（1）用代数式表示这条跑道的周长；
（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）.
跑道的周长是两段直道和两段弯道的长度和. 由圆的周长公式可以求出弯道的长度
解：（1）两段直道的长为 2a；
两段弯道组成一个圆，
它的直径为 b，周长为 πb.
因此，这条跑道的周长为 2a + πb.
（1）用代数式表示这条跑道的周长；
（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）.
（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，
2a + πb = 2×67.3 + 3.14×52.6
≈ 300（m）
因此，这条跑道的周长约为 300 m.
（1）用代数式表示这条跑道的周长；
（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）.
例 题
【教材P81】
例 4 一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积 S. 当 a = 10 cm，b = 17.3 cm，r = 2 cm 时，求这个三角尺的面积（π 取 3. 14）
r
a
b
分析：三角尺的面积 = 三角形的面积 - 圆的面积.
根据三角形、圆的面积公式可以求出三角尺的面积.
解：三角形的面积为 ab，圆的面积为 πr2，
这个三角尺的面积（单位：cm2）S = ab = πr2.
当 a = 10 cm，b = 17.3 cm，r = 2 cm 时，
因此，这个三角尺的面积是 73.94 cm2.
r
a
b
S = ×10×17.3 - 3.14×22 = 73.94(cm2).
巩固练习
如图是一个长为 x，宽为 y 的长方形休闲广场，在它的四角各修建一块半径为 r 的四分之一圆形的花坛（阴影部分），其余部分作为休闲区.
（1）用代数式表示休闲区的面积；
（2）若长方形休闲广场的长为 50 m，
宽为 20 m，四分之一圆形花坛的半径为 8 m，求休闲区
的面积（π 取3.14，结果取整数）.
数量关系
休闲区的面积 = 长方形休闲广场的面积-花坛的面积
花坛的面积=4× 圆的面积
（1）用代数式表示休闲区的面积；
（2）若长方形休闲广场的长为 50 m，宽为 20 m，四分之一圆形花坛的半径为 8 m，求休闲区的面积（π 取3.14，结果取整数）.
解:（1）休闲区的面积为 xy - πr2.
（2）当x = 50 m，y = 20 m，r = 8 m 时，
xy - πr2 = 50×20 - 3.14×82 ≈ 799 (m2).
因此，休闲区的面积约为 799 m2.
用代数式解决与图形面积有关的问题时，通常将图形分解成几部分，根据它们的构成利用和差关系求解.
对于不能直接求得的图形面积，常运用转化思想将其转化成其他规则图形面积的和或差进行求解.
练 习
【教材P81】
1. 填空题.
（1）若 a，b 分别表示平行四边形的底和高，则面积
S =_____；当 a = 2 cm，b = 3 cm 时，S =____cm2.
ab
6
（2）若 a，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则面积 S =_________；当 a = 2 cm，b = 4 cm，h = 5 cm 时，S =________cm2.
(a + b)h
2
15
2. 一个长方体纸箱的长是 a，宽与高都是 b，用代数式表示这个纸箱的体积 V . 当 a = 60 cm，b = 40 cm 时，求这个纸箱的体积。
解：这个纸箱的体积 V = ab2 .
当 a = 60 cm，b = 40 cm 时，
V=ab2 = 60×402 = 96000 (cm3).
因此，这个纸箱的体积是 96000 cm3 .
3. 如图，用代数式表示圆环的面积. 当 R = 15 cm，r = 10 cm 时，求圆环的面积（π 取 3.14).
解：圆环的面积为 πR2 - πr2 .
当 R = 15 cm，r = 10 cm 时，
πR2 – πr2 = 3.14×152 - 3.14×102 = 392.5 (cm2).
因此，圆环的面积为392.5 cm2 .
习题3.2
1. 填空题.
【教材P82】
（1）当 a = -1 时，代数式 2-a 的值是______；
（2）当 b = - 时，代数式 1-b2 的值是______；
3
2. 已知 a = 12，b = -18，求下表中代数式的值：
代数式 a+b a-b ab
代数式的值
-6
30
-216
3. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2 + b2 与
(a + b)2 的值：
（1）a = 3，b = -2；（2）a = -3，b = 2.
解：（1）当 a = 3，b = -2 时，
a2 + b2 = 32 + (-2)2 = 13，
(a + b)2 = [3 + (-2)]2 = 1.
3. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2 + b2 与
(a + b)2 的值：
（1）a = 3，b = -2；（2）a = -3，b = 2.
（2）当 a = -3，b = 2 时，
a2 + b2 = (-3)2 + 22 = 13，
(a + b)2 = (-3 + 2)2 = 1.
4. 求下列代数式的值：
（1） ，其中 n = 4；
（2）(a-c)2 + b，其中 a = 7，b = 3，c = 5.
（2）当 a = 7，b = 3，c = 5 时，
(a-c)2 + b = (7-5)2 + ×3 = .
解：（1）当 n = 4，
5. 已知圆锥的体积 V = πr2h，其中 r 为底面半径，
h 为圆锥的高. 当 r = 15 cm，h = 16 cm 时，求圆锥
的体积（π 取 3.14）
解：当 r = 15 cm，h = 16 cm 时，
V = πr2h = ×3.14×152×16 =3768（cm3）.
因此，圆锥的体积为 3768 cm3.
综合运用
6. 一段钢管的形状和尺寸如图所示，如果大圆的半径是 R，小圆的半径是 r，钢管的长度是 a，用代数式表示这段钢管的体积 V. 当 R = 30 mm，r = 15 mm，a = 120 mm 时，求这段钢管的体积（π 取 3.14）.
解：V = πa(R2-r2).
当 R = 30 mm，r = 25 mm，a = 200 mm 时，
V = πa(R2-r2) = 3.14×200×(302 -252) = 172700(mm3).
因此，这段钢管的体积为 172700 mm3.
7. A，B 两地相距 s km，甲、乙两人驾车分别以 a km/h，b km/h 的速度从 A 地到 B 地，且甲用的时间较少.
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
解：甲比乙少用的时间为 h.
（2）当 s = 180，a = 72，b = 60 时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义.
当 s = 180，a = 72，b = 60 时， .
这个值表示甲比乙少用 0.5 h.
8. 摄氏温标与华氏温标是两种计量温度的标准，它们分别用摄氏度和华氏度（℉）来计量温度，二者可以互相转换，请你查阅有关资料，解决下列问题：
（1）将 25 ℃ 转换成华氏度；（2）将-4℉ 转换成摄氏度.
拓广探索
解：查阅资料可得华氏温度 = 摄氏温度×1.8 + 32.
（1）25 ℃ = 77 ℉；（2）-4 ℉ = -20 ℃.
在实际生活中，经常将数值代入到几何图形的公式中进行求值，从而解决相应的问题.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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