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3.1.1 代数式
代数式是代数学习的基础工具，它将数、字母和运算符号有机结合，能够简洁地表示数量关系和数学规律。从具体的数字运算到用字母表示未知量，代数式的引入标志着数学从算术向代数的过渡，为后续学习方程、函数等知识奠定了重要基础。
一、代数式的定义与组成
定义：
用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。
例如：\(3x + 5\)、\(a^2 - 2b\)、\(\frac{m}{n}\)（\(n 0\)）、\(5\)、\(x\)等都是代数式；而\(3x + 5 = 8\)、\(2x 1\)等含有等号或不等号的式子不是代数式，它们分别是等式和不等式。
组成要素：
数：如\(2\)、\(-5\)、\(0.3\)等具体的数值。
字母：通常用小写英文字母\(a,b,c,x,y,z\)等表示未知的数或可变的量。
运算符号：包括加法（\(+\)）、减法（\(-\)）、乘法（\( \)或省略不写）、除法（\( ·\)或分数形式）、乘方（\(^n\)）等，但不包含等号（\(=\)）、不等号（\( ¤\)）等关系符号。
二、代数式的书写规则
为了保证代数式的规范性和可读性，书写时需遵循以下规则：
数字与字母、字母与字母相乘：
乘号可以省略不写，或用 “\(\cdot\)” 表示，但不能用 “\( \)”。例如：\(a b\)应写成\(ab\)或\(a\cdot b\)，\(3 x\)应写成\(3x\)或\(3\cdot x\)。
数字要写在字母前面。例如：\(x 5\)应写成\(5x\)，不能写成\(x5\)。
带分数与字母相乘时，带分数需化为假分数。例如：\(2\frac{1}{3} a\)应写成\(\frac{7}{3}a\)，不能写成\(2\frac{1}{3}a\)。
除法运算：
通常写成分数形式，被除数作为分子，除数作为分母，分数线具有除号和括号的双重作用。例如：\(a ·b\)应写成\(\frac{a}{b}\)（\(b 0\)），\((x + y) ·2\)应写成\(\frac{x + y}{2}\)。
乘方运算：
字母的指数要写在字母的右上角，且指数为\(1\)时通常省略不写。例如：\(x x\)应写成\(x^2\)，\(a a a\)应写成\(a^3\)，而\(x^1\)直接写成\(x\)。
括号的使用：
当式子中有多层运算或需要明确运算顺序时，需使用括号（小括号\(()\)、中括号\([]\)、大括号\(\{\}\)）。例如：\(a\)与\(b\)的和的平方应写成\((a + b)^2\)，而不是\(a + b^2\)；\(x\)的\(2\)倍与\(y\)的差的一半应写成\(\frac{2x - y}{2}\)。
多项式的书写：
按照某一字母的指数从高到低（降幂）或从低到高（升幂）的顺序排列，同类项通常合并后书写。例如：\(3x^2 + 5x - 2\)是按\(x\)的降幂排列。
三、代数式的分类
根据代数式的组成形式，可分为以下几类：
单项式：
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。例如：\(5\)、\(x\)、\(-3a^2b\)、\(\frac{2}{3}xy^3\)等都是单项式。
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，例如\(-3a^2b\)的系数是\(-3\)，\(x\)的系数是\(1\)，\(-5\)的系数是\(-5\)。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，例如\(3x^2y\)中\(x\)的指数是\(2\)，\(y\)的指数是\(1\)，次数为\(2 + 1 = 3\)；常数项（如\(5\)、\(-2\)）的次数是\(0\)。
多项式：
几个单项式的和叫做多项式。例如：\(2x + 3\)、\(a^2 - 2ab + b^2\)、\(x^3 - 5x^2 + x - 1\)等都是多项式。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如\(3x^2 - 2x + 5\)的项是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(5\)，其中\(5\)是常数项。
多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。例如\(x^3 + 2x^2y - xy^2 + 1\)中次数最高的项是\(x^3\)和\(2x^2y\)（次数均为\(3\)），因此该多项式是三次多项式。
整式：
单项式和多项式统称为整式。整式中分母不含字母（即除数不为字母），例如\(3x + 1\)、\(a^2b\)是整式，而\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{y}\)不是整式（因分母含字母）。
分式：
形如\(\frac{A}{B}\)（\(A\)、\(B\)是整式，且\(B\)中含有字母，\(B 0\)）的代数式叫做分式。例如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + y}{x - y}\)、\(\frac{2}{a^2 + 1}\)等都是分式。
四、代数式的意义
代数式的意义是指用文字语言描述代数式所表示的数量关系，理解代数式的意义有助于将实际问题转化为数学式子。
直接描述法：
逐一代替运算符号和字母的含义。例如：
\(3x + 5\)可表示 “\(x\)的\(3\)倍与\(5\)的和”；
\(a^2 - b^2\)可表示 “\(a\)的平方与\(b\)的平方的差”；
\(\frac{m + n}{2}\)可表示 “\(m\)与\(n\)的和的一半”。
结合实际情境：
根据具体问题赋予字母实际意义。例如：
若\(x\)表示一个苹果的重量（单位：克），则\(5x\)可表示 “\(5\)个苹果的总重量”；
若\(a\)表示长方形的长，\(b\)表示宽，则\(2(a + b)\)可表示 “长方形的周长”，\(ab\)可表示 “长方形的面积”。
注意运算顺序：
描述时需体现运算的先后顺序，避免歧义。例如：
\((a + b)^2\)表示 “\(a\)与\(b\)的和的平方”，而\(a^2 + b^2\)表示 “\(a\)的平方与\(b\)的平方的和”，二者意义不同；
\(2x - y^2\)表示 “\(x\)的\(2\)倍与\(y\)的平方的差”，而非 “\(2x\)与\(y\)的差的平方”。
五、代数式的值
用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指定的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值。
求值步骤：
① 代入：将字母所取的数值代入代数式中，注意字母的取值需使代数式有意义（如分式分母不为\(0\)）。
② 计算：按照代数式中的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号）进行计算。
示例：求代数式\(2x^2 - 3x + 1\)当\(x = 2\)时的值。
解：代入\(x = 2\)得：
原式\(= 2 2^2 - 3 2 + 1 = 2 4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3\)。
注意事项：
代入数值时，若字母取值为负数或分数，需添加括号。例如：当\(x = -3\)时，\(x^2\)应写成\((-3)^2\)；当\(x = \frac{1}{2}\)时，\(2x\)应写成\(2 \frac{1}{2}\)。
代数式的值由代数式中字母的取值决定，同一个代数式，字母取值不同，结果可能不同。例如：对于\(x + y\)，当\(x = 1,y = 2\)时的值为\(3\)；当\(x = 3,y = -1\)时的值为\(2\)。
若代数式化简后不含某字母，则该字母的取值不影响代数式的值。例如：代数式\((x + 1)^2 - x^2 - 2x\)化简后为\(1\)，因此无论\(x\)取何值，代数式的值恒为\(1\)。
六、典型例题解析
判断代数式及书写规范：
下列式子中，哪些是代数式？哪些书写不规范？请改正。
（1）\(3x + 2 = 5\) （2）\(a b - 3\) （3）\(2\frac{1}{2}xy\) （4）\(\frac{x}{y} + 1\)（\(y 0\)）
解：
代数式：（2）（3）（4）；（1）是等式，不是代数式。
书写不规范的式子及改正：
（2）应改为\(ab - 3\)；（3）应改为\(\frac{5}{2}xy\)。
代数式的意义描述：
用文字描述下列代数式的意义：
（1）\(3(a - 2)\) （2）\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) （3）\(x^3 - y^3\)
解：
（1）“\(a\)与\(2\)的差的\(3\)倍”；
（2）“\(a\)的倒数与\(b\)的倒数的和”；
（3）“\(x\)的立方与\(y\)的立方的差”。
单项式与多项式的相关概念：
指出单项式\(-\frac{2}{3}x^2y^3\)的系数和次数；指出多项式\(3x^3 - 2x^2y + y^3 - 5\)的项、常数项和次数。
解：
单项式\(-\frac{2}{3}x^2y^3\)的系数是\(-\frac{2}{3}\)，次数是\(2 + 3 = 5\)；
多项式的项是\(3x^3\)、\(-2x^2y\)、\(y^3\)、\(-5\)，常数项是\(-5\)，次数是\(3\)（最高次项\(3x^3\)和\(-2x^2y\)的次数均为\(3\)）。
代数式求值：
当\(a = -1\)，\(b = 2\)时，求代数式\(3a^2b - [2ab^2 - 2(ab - \frac{3}{2}a^2b) + ab] + 3ab^2\)的值。
解：
先化简代数式：
原式\(= 3a^2b - [2ab^2 - 2ab + 3a^2b + ab] + 3ab^2\)\(= 3a^2b - 2ab^2 + 2ab - 3a^2b - ab + 3ab^2\)\(= (3a^2b - 3a^2b) + (-2ab^2 + 3ab^2) + (2ab - ab)\)\(= ab^2 + ab\)
代入\(a = -1\)，\(b = 2\)：
原式\(= (-1) 2^2 + (-1) 2 = -4 - 2 = -6\)。
代数式是数学表达和解决问题的重要工具，其核心在于用字母表示未知量，通过运算符号构建数量关系。掌握代数式的定义、书写规则、分类及求值方法，不仅能提升数学表达的规范性，更能为后续学习方程、函数等知识打下坚实基础。在学习过程中，需注重结合实际情境理解代数式的意义，通过大量练习熟练掌握代数式的化简与求值技巧，培养抽象思维和代数运算能力。
2024人教版数学七年级上册
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3.1.1代数式
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 代数式的概念
2. 代数式的书写规范
3. 代数式的意义
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新课导入
智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一. 某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成 5 m2 范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均 8 s 可以采摘一个苹果. 根据这些数据回答下列问题：
（1）该机器人 10 s 能识别多大范围内的苹果？60 s 呢？t s 呢？
（2）该机器人识别 n m2 范围内的苹果需要多少秒？
（3）若该机器人搭载了 m 个机械手（m > 1），它与采摘工人同时工作 1 h，已知工人平均 5 s 可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？
回答上面的问题，要用到含有字母的式子.
新知探索
先看本章引言中的问题，其中包含三个量：______、__________和___________.
工作量
工作效率
工作时间
它们之间的关系为：
工作量 = 工作效率×工作时间
工作时间 =
工作量
工作效率
机器人平均每秒可以完成 5 m2 范围内苹果的识别.
该机器人 10 s 能识别的范围（单位：m2）是
5×10 = 50；
60 s 能识别的范围（单位：m2）是
5×60 = 300；
t s 能识别的范围（单位：m2）是
5×t = 5t；
在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写. 例如，5×t 可以写成 5·t 或 5t.
工作量 = 工作效率×工作时间
5×10 = 50
5×60 = 300
5×t = 5t
观察这三个式子，你有什么发现？
表示机器人在两个具体时间内完成的工作量.
含有字母 t 的式子 5t 表示机器人在任意时间 t 内完成的工作量.
用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性.
（2）该机器人识别 n m2 范围内的苹果需要多少秒？
需要时间是 s
n
5
机器人平均每秒可以完成 5 m2 范围内苹果的识别.
工作量 = 工作效率×工作时间
（3）若该机器人搭载了 m 个机械手（m > 1），它与采摘工人同时工作 1 h，已知工人 5 s 可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？
机器人多采摘的苹果个数
= 机器人采摘的苹果个数 - 工人采摘的苹果个数
= 一个机械手的采摘效率×工作时间×机械手的个数 -
工人的采摘效率×工作时间
= 450m - 720 .
工作量 = 工作效率×工作时间
（1）某工程队负责铺设一条长 2 km的地下管道，经过 d 天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度.
平均每天铺设的管道长度=铺设的管道总长度÷工作天数
探 究
这支工程队平均每天铺设的管道长度是 km
2
d
（2）一个正方形的边长是 a，这个正方形的周长 l 是多少？面积 S 呢？
由正方形的周长及面积公式，可得
周长 l = 4a
面积 S = a2
归 纳
5t
n
5
450m - 720
2
d
4a
a2
它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
单独的一个数或字母也是代数式.
例如，5，t 都是代数式.
代数式的书写规范
类型 规定 示例
数字与字母相乘或字母与字母相乘
乘数是“1”或 “-1”
将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写
“1”或省略不写
如 3×m 写成 3·m或 3m，a×b 写成a·b 或 ab
如 1×a 写成 a
-1×ab 写成 -ab
乘数是带分数
除法运算
式子后面有单位且式子是和或差的形式
带分数要化成假分数
要用分数线
把式子用括号括起来
如 (x - y)km
如 2÷a 写成
如 写成
代数式的书写规范
例 题
【教材P70】
例 1 （1）苹果原价是 p 元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价；
（2）一个长方形的长是 0.9 m，宽是 p m，用代数式表示这个长方形的面积；
苹果的售价是 0.9p 元/kg
这个长方形的面积 0.9p m2
（3）某产品前年的产量是 n 件，去年的产量比前年产量的 2 倍少 10 件，用代数式表示去年的产量；
（4）一个长方体水池底面的长和宽都是 a m，高是 h m，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积.
去年的产量是 (2n - 10)件
水池容积 a2h m3，池内水的体积为 a2h m3.
苹果的售价是 0.9p 元/kg
这个长方形的面积 0.9p m2
0.9p 既可以表示苹果的售价，也可以表示长方形的面积.
用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系.
例 题
【教材P71】
例 2 说出下列代数式的意义：
（1）2a+3；（2）2(a+3)；（3） ；（4）x2+2x+8.
解：（1）2a + 3 的意义是 a 的 2 倍与 3 的和；
（2）2(a + 3) 的意义是 a 与 3 的和的 2 倍；
（3） 的意义是 c 除以 a，b 的积的商；
（4）x2+2x+8 的意义是 x 的平方，x 的 2 倍，与 8 的和.
归 纳
代数式表示的意义包括三种：
（1）运算意义：几个字母加、减、乘、除、乘方等运算的结果；
（2）实际意义：表示实际问题中的数量或数量关系；
（3）几何意义：主要从图形的周长、面积和体积三个方面考虑.
及时巩固
1. 说出下列代数式的意义：
（1）2a + 5；（2）2(a + 5)；
解：（1）2a + 5 的意义是 a 的 2 倍与 5 的和；
（2）2(a + 5) 的意义是长为 a，宽为 5 的长方形的周长.
2. 举例说明下列代数式表示的实际问题中的数量或数量关系：
（1）5m + 2； （2）50-4p.
解：（1）一些苹果分给 m 名同学，每人 5 个，还剩下 2 个，这些苹果一共有 (5m + 2) 个.
（2）中性笔每支 p 元，买 4 支中性笔，给了 50 元后商店找回 (50 - 4p) 元.
练 习
【教材P71】
1. 填空题.
（1）每包书有 10 册，6 包书有_____册，n 包书有______册；
（2）王芳今年 m 岁，她去年_______岁，6 年后________岁；
60
10n
（m-1）
（m+6）
（3）将 p kg 糖装入 n 个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋装入糖______kg；
（4）棱长为 a 的正方体的体积是_______.
p
n
a3
2. 说出下列代数式的意义：
（1）2a + 3c；（2）3(m-n)；（3）a2 + 1；（4） .
3a
5b
解：（1）a 的 2 倍与 c 的 3 倍的和；
（2）m 与 n 的差的 3 倍；
（3）a 的平方与 1 的和；
（4）a 的 3 倍除以 b 的 5 倍的商.
1. 下列各式符合代数式书写规范的是( )
A
A. B. C. D.
返回
2. ［2025徐州期中］下列式子：0,,,, ,
, ,其中代数式有( )
B
A. 3个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
【点拨】在0,,,,,, 中，代数式
有0,,,, ，共5个.
返回
3. 下列能用 表示的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. 三个连续整数中，中间一个是 ，则最大的一个是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5. “黄河远上白云间，一片孤城万仞山”中，
“仞”是古时的一种长度计量单位，每仞长度大约是 ，
则仞约是______ .
返回
6. ［2025济宁期中］有下列各式： ； ；
；；； .其中，符合代数
式书写要求的有( )
A
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【点拨】 ，正确；应为； 应
为；，正确；应为 ；
应为 .故正确的有①④，共2个.故选A.
返回
7. ［2025菏泽期中］下列对代数式表示的意义解释错误的是
( )
B
A. 表示的2倍与 的和
B. 表示与 的和的平方
C. 表示， 两数的和与差的乘积
D. 表示， 两数的平方和减去它们乘积的2倍
【点拨】表示的平方与 的平方的和，原叙述错误，
故选B.
返回
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
单独的一个数或字母也是代数式.
代数式的三种意义
运算意义
实际意义
几何意义
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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